4.3: El Wronskian

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Supongamos que habiendo determinado que dos soluciones de (4.2.1) son\(x = X_1(t)\) y\(x = X_2(t)\), intentamos escribir la solución general a (4.2.1) como (4.2.2). Debemos entonces preguntarnos si esta solución general podrá satisfacer las dos condiciones iniciales dadas por \[\label{eq:1}x(t_0)=x_0,\quad\overset{.}{x}(t_0)=u_0.\]

Aplicando estas condiciones iniciales a (4.2.2), obtenemos \[\begin{align}c_1X_1(t_0)+c_2X_2(t_0)&=x_0,\nonumber \\ c_1\overset{.}{X}_1(t_0)+c_2\overset{.}{X}_2(t_0)&=u_0,\label{eq:2}\end{align}\]) que se observa que es un sistema de dos ecuaciones lineales para las dos incógnitas\(c_1\) y\(c_2\). La solución de\(\eqref{eq:2}\) por métodos estándar da como resultado\[c_1=\frac{x_0\overset{.}{X}_2(t_0)-u_0X_2(t_0)}{W},\quad c_2=\frac{u_0X_1(t_0)-x_0\overset{.}{X}_1(t_0)}{W},\nonumber\] donde\(W\) se llama Wronskian y es dada por \[\label{eq:3}W=X_1(t_0)\overset{.}{X}_2(t_0)-\overset{.}{X}_1(t_0)X_2(t_0).\]

Evidentemente, el wronskiano no debe ser igual a cero\((W\neq 0)\) para que exista una solución.

Por ejemplo, las dos soluciones\[X_1(t)=A\sin\omega t,\quad X_2(t)=B\sin\omega t,\nonumber\] tienen un Wronskian cero en\(t=t_0\), como puede demostrarse mediante la computación\[\begin{aligned} W&=(A\sin\omega t_0)(B\omega\cos\omega t_0)-(A\omega\cos\omega t_0)(B\sin\omega t_0) \\ &=0;\end{aligned}\] mientras que las dos soluciones\[X_1(t)=\sin\omega t,\quad X_2(t)=\cos\omega t,\nonumber\] con\(\omega\neq 0\), tienen un Wronskian distinto de cero en\(t=t_0\),\[\begin{aligned}W&=(\sin\omega t_0)(-\omega\sin\omega t_0)-(\omega\cos\omega t_0)(\cos\omega t_0) \\ &=-\omega.\end{aligned}\]

Cuando el Wronskian no es igual a cero, decimos que las dos soluciones\(X_1(t)\) y\(X_2(t)\) son linealmente independientes. El concepto de independencia lineal se toma prestado del álgebra lineal, y de hecho, el conjunto de todas las funciones que satisfacen (4.2.1) se puede mostrar para formar un espacio vectorial bidimensional.