3.2E: El Método Euler Mejorado y Métodos Relacionados (Ejercicios)
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Q3.2.1
En Ejercicios 3.2.1—3.2.5 se utiliza el método mejorado de Euler para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial dado en los puntos\(x_i=x_0+ih\), donde\(x_0\) está el punto donde se impone la condición inicial y\(i=1\),\(2\),\(3\).
1. \(y'=2x^2+3y^2-2,\quad y(2)=1;\quad h=0.05\)
2. \(y'=y+\sqrt{x^2+y^2},\quad y(0)=1;\quad h=0.1\)
3. \(y'+3y=x^2-3xy+y^2,\quad y(0)=2;\quad h=0.05\)
4. \(y'= {1+x\over1-y^2},\quad y(2)=3;\quad h=0.1\)
5. \(y'+x^2y=\sin xy,\quad y(1)=\pi;\quad h=0.2\)
Q3.2.2
6. Utilice el método Euler mejorado con tamaños de paso\(h=0.1\)\(h=0.05\),, y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial\[y'+3y=7e^{4x},\quad y(0)=2\nonumber \] en\(x=0\),\(0.1\),\(0.2\),\(0.3\),...,\(1.0\). Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta\(y=e^{4x}+e^{-3x}\), los cuales pueden obtenerse por el método de la Sección 2.1. Presente sus resultados en una tabla como la Tabla 3.2.2.
7. Utilice el método Euler mejorado con tamaños de paso\(h=0.1\)\(h=0.05\),, y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial\[y'+{2\over x}y={3\over x^3}+1,\quad y(1)=1\nonumber \] en\(x=1.0\),\(1.1\),\(1.2\),\(1.3\),...,\(2.0\). Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta\[y={1\over3x^2}(9\ln x+x^3+2)\nonumber \] que se puede obtener por el método de la Sección 2.1. Presente sus resultados en una tabla como la Tabla 3.2.2.
8. Utilice el método Euler mejorado con tamaños de paso\(h=0.05\)\(h=0.025\),, y\(h=0.0125\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial\[y'={y^2+xy-x^2\over x^2},\quad y(1)=2,\nonumber \] en\(x=1.0\),\(1.05\),\(1.10\),\(1.15\),...,\(1.5\). Compara estos valores aproximados con los valores de la solución exacta\[y={x(1+x^2/3)\over1-x^2/3}\nonumber \] obtenida en Ejemplo [ejemplo:2.4.3}. Presente sus resultados en una tabla como la Tabla 3.2.2.
9. En Ejemplo [ejemplo:3.2.2} se demostró que\[y^5+y=x^2+x-4\nonumber \] es una solución implícita del problema de valor inicial\[y'={2x+1\over5y^4+1},\quad y(2)=1. \tag{A}\] Usar el método Euler mejorado con tamaños de paso\(h=0.1\),\(h=0.05\), y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución de (A) en\(x=2.0\),\(2.1\),\(2.2\),\(2.3\), ...,\(3.0\). Presente sus resultados en forma tabular. Para verificar el error en estos valores aproximados, construya otra tabla de valores del residual\[R(x,y)=y^5+y-x^2-x+4\nonumber \] para cada valor de\((x,y)\) aparecer en la primera tabla.
10. Se puede ver en el Ejemplo 2.5.1 que\[x^4y^3+x^2y^5+2xy=4\nonumber \] es una solución implícita del problema de valor inicial\[y'=-{4x^3y^3+2xy^5+2y\over3x^4y^2+5x^2y^4+2x},\quad y(1)=1. \tag{A} \] Utilice el método Euler mejorado con tamaños de paso\(h=0.1\)\(h=0.05\),, y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución de (A) en\(x=1.0\)\(1.14\),\(1.2\), \(1.3\),...,\(2.0\). Presente sus resultados en forma tabular. Para verificar el error en estos valores aproximados, construya otra tabla de valores del residual\[R(x,y)=x^4y^3+x^2y^5+2xy-4\nonumber \] para cada valor de\((x,y)\) aparecer en la primera tabla.
11. Utilice el método Euler mejorado con tamaños de paso\(h=0.1\)\(h=0.05\),, y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial\[(3y^2+4y)y'+2x+\cos x=0, \quad y(0)=1 \quad\text{(Exercise 2.2.13)}\] en\(x=0\),\(0.1\),\(0.2\),\(0.3\),...,\(1.0\).
12. Utilice el método Euler mejorado con tamaños de paso\(h=0.1\)\(h=0.05\),, y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial\[y'+{(y+1)(y-1)(y-2)\over x+1}=0, \quad y(1)=0\quad\text{(Exercise 2.2.14)}\] en\(x=1.0\),\(1.1\),\(1.2\),\(1.3\),...,\(2.0\).
13. Utilice el método mejorado de Euler y el método semilineal de Euler mejorado con tamaños de paso\(h=0.1\)\(h=0.05\), y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial\[y'+3y=e^{-3x}(1-2x),\quad y(0)=2,\nonumber \] en\(x=0\)\(0.1\),\(0.2\),,\(0.3\),...,\(1.0\). Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta\(y=e^{-3x}(2+x-x^2)\), los cuales pueden obtenerse por el método de la Sección 2.1. ¿Notaste algo especial en los resultados? Explique.
Q3.2.3
Los problemas de valor inicial lineal en los Ejercicios 3.2.14-3.2.19 no pueden resolverse exactamente en términos de funciones elementales conocidas. En cada ejercicio se utilizan los métodos semilineales mejorados de Euler y Euler mejorados con los tamaños de paso indicados para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial dado en 11 puntos igualmente espaciados (incluyendo los puntos finales) en el intervalo.
14. \(y'-2y= {1\over1+x^2},\quad y(2)=2\);\(h=0.1,0.05,0.025\) en\([2,3]\)
15. \(y'+2xy=x^2,\quad y(0)=3\);\(h=0.2,0.1,0.05\) on\([0,2]\) (Ejercicio 2.1.38)
16. \( {y'+{1\over x}y={\sin x\over x^2},\quad y(1)=2}\),\(h=0.2,0.1,0.05\) on\([1,3]\) (Ejercicio 2.1.39)
17. \( {y'+y={e^{-x}\tan x\over x},\quad y(1)=0}\);\(h=0.05,0.025,0.0125\) on\([1,1.5]\) (Ejercicio 2.1.40),
18. \( {y'+{2x\over 1+x^2}y={e^x\over (1+x^2)^2}, \quad y(0)=1}\);\(h=0.2,0.1,0.05\) on\([0,2]\) (Ejercicio 2.1.41)
19. \(xy'+(x+1)y=e^{x^2},\quad y(1)=2\);\(h=0.05,0.025,0.0125\) on\([1,1.5]\) (Ejercicio 2.1.42)
Q3.2.4
En Ejercicios 3.2.20-3.2.22 se utiliza el método mejorado de Euler y el método semilineal de Euler mejorado con los tamaños de paso indicados para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial dado en 11 puntos igualmente espaciados (incluyendo los puntos finales) en el intervalo.
20. \(y'+3y=xy^2(y+1),\quad y(0)=1\);\(h=0.1,0.05,0.025\) en\([0,1]\)
21. \( {y'-4y={x\over y^2(y+1)},\quad y(0)=1}\);\(h=0.1,0.05,0.025\) en\([0,1]\)
22. \( {y'+2y={x^2\over1+y^2},\quad y(2)=1}\);\(h=0.1,0.05,0.025\) en\([2,3]\)
Q3.2.5
23. Haz ejercicio 3.2E.7 con “método Euler mejorado” reemplazado por “método de punto medio”.
24. Haz ejercicio 3.2E.7 con “método Euler mejorado” reemplazado por “método de Heun”.
25. Haz ejercicio 3.2E.8 con “método Euler mejorado” reemplazado por “método de punto medio”.
26. Haz ejercicio 3.2E.8 con “método Euler mejorado” reemplazado por “método de Heun”.
27. Haz ejercicio 3.2E.11 con “método Euler mejorado” reemplazado por “método de punto medio”.
28. Haz ejercicio 3.2E.11 con “método Euler mejorado” reemplazado por “método de Heun”.
29. Haz ejercicio 3.2E.12 con “método Euler mejorado” reemplazado por “método de punto medio”.
30. Haz ejercicio 3.2E.12 con “método Euler mejorado” reemplazado por “método de Heun”.
31. Demostrar que si\(f\)\(f_x\)\(f_y\),\(f_{xx}\),\(f_{yy}\),, y\(f_{xy}\) son continuos y acotados para todos\((x,y)\) y\(y\) es la solución del problema de valor inicial\[y'=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0,\nonumber \] entonces\(y''\) y\(y'''\) están acotados.
32. Cuadratura Numérica (ver Ejercicio 3.1.23).
- Derivar la fórmula de cuadratura\[\int_a^bf(x)\,dx \approx 0.5h(f(a)+f(b))+h\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih) \tag{A}\nonumber \] (donde\(h=(b-a)/n)\) aplicando el método Euler mejorado al problema de valor inicial\[y'=f(x),\quad y(a)=0.\nonumber \]
- La fórmula de cuadratura (A) se llama regla trapezoidal. Dibuja una figura que justifique esta terminología.
- Para varias opciones de\(a\),\(b\),\(A\), y\(B\), aplicar (A) a\(f(x)=A+Bx\), con\(n = 10,20,40,80,160,320\). Compara tus resultados con las respuestas exactas y explica lo que encuentras.
- Para varias opciones de\(a\),\(b\),\(A\),\(B\), y\(C\), aplicar (A) a\(f(x)=A+Bx+Cx^2\), con\(n=10\),\(20\),\(40\),\(80\),\(160\),\(320\). Compara tus resultados con las respuestas exactas y explica lo que encuentras.