7.3.2: Problemas de Valor Límite: Problema Neumann
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\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
El problema de Neumann (problema del segundo valor límite) es encontrar una solución\(u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})\) de
\ begin {eqnarray}
\ label {N1}\ tag {7.3.2.1}
\ triángulo u&=&0\\\ mbox {in}\\ Omega\
\ etiqueta {N2}\ tag {7.3.2.2}
\ frac {\ u parcial} {\ parcial n} &=&\ Phi\\\ mbox {on}\\ parcial\ Omega,
\ end {eqnarray}
donde\(\Phi\) se da y continua encendido\(\partial\Omega\).
Proposición 7.5. Supongamos que\(\Omega\) está acotado, entonces una solución al problema de Dirichlet está en la clase determinada de\(u\in C^2(\overline{\Omega})\) manera única hasta una constante.
Prueba. Ejercicio. Pista: Multiplique la ecuación diferencial\(\triangle w=0\) por\(w\) e integre el resultado sobre\(\Omega\).
Otra prueba bajo la suposición más débil se\(u\in C^1(\overline{\Omega})\cap C^2(\Omega)\) desprende del lema del punto límite Hopf, ver Notas de la Conferencia: Ecuaciones elípticas lineales de segundo orden, por ejemplo.