2.1: Ejemplos de PDE
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}\)
\(\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}\)
\(\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}\)
\(\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}\)
\(\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}\)
\(\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}\)
\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
Las ecuaciones diferenciales parciales ocurren en muchas áreas diferentes de la física, química e ingeniería. Permítanme dar algunos ejemplos, con su contexto físico. Aquí, como es práctica común, escribiré\({\nabla}^2\) para denotar la suma
\[{\nabla}^2 = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\ldots \nonumber \]
- La ecuación de onda:\[{\nabla}^2 u= \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} \nonumber \] Esta puede ser utilizada para describir el movimiento de una cuerda o de tambor (\(u\)es desplazamiento vertical), así como una variedad de otras ondas (sonido, luz,...). La cantidad\(c\) es la velocidad de propagación de la onda.
- La ecuación de calor o difusión,\[ {\nabla}^2 u= \dfrac{1}{k} \dfrac{\partial u}{\partial t} \nonumber \] Esta puede ser utilizada para describir el cambio de temperatura (\(u\)) en un sistema de conducción de calor, o la difusión de una sustancia en otra (\(u\)es la concentración). La cantidad\(k\), a veces reemplazada por\(a^2\), es la constante de difusión, o la capacidad calorífica. Observe la naturaleza irreversible: Si\(t→ −t\) la ecuación de onda se convierte en sí misma, pero no en la ecuación de difusión.
- Ecuación de Laplace:\[{\nabla}^2 u= 0 \nonumber \]
- Ecuación de Helmholtz:\[{\nabla}^2 u + \lambda u = 0 \nonumber \] Esto ocurre para las ondas en las guías de ondas, cuando se buscan modos propios (resonancias).
- La ecuación de Poisson:\[{\nabla}^2 u = f( x, y, \ldots) \nonumber \] La ecuación para el campo gravitacional dentro de un cuerpo gravitacional, o el campo eléctrico dentro de una esfera cargada.
- Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:\[{\nabla}^2 u= \dfrac{2 m}{\hbar^2}[ E− V( x, y,\ldots)] u= 0 \nonumber \]\(| u|^2\) tiene una interpretación de probabilidad.
- Ecuación de Klein-Gordon Partículas cuánticas\[{\nabla}^2 u − \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}+\lambda^2 u= 0 \nonumber \] relativistas,\(|u|^2\) tiene una interpretación de probabilidad.
Todas estas son ecuaciones diferenciales de segundo orden. (Recuerde que el orden se define como la derivada más alta que aparece en la ecuación).