12.4: Axioma I

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 114365

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$ \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} $

$ \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} $

$ \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} $

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$ \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} $

$ \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} $

$ \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} $

$ \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} $

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}$

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}$
$\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}$
$\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}$
$\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}$
$\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}$
$\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}$
$\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}$
$\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}$

$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$ $\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$ $\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$ $\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$ $\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$ $\newcommand{\evec}{\mathbf e}$ $\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$ $\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$ $\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$ $\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$ $\newcommand{\svec}{\mathbf s}$ $\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$ $\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$ $\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$ $\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$ $\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$ $\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$ $\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$ $\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$ $\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$ $\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$ $\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$ $\newcommand{\real}{\mathbb R}$ $\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$ $\newcommand{\bcal}{\cal B}$ $\newcommand{\ccal}{\cal C}$ $\newcommand{\scal}{\cal S}$ $\newcommand{\wcal}{\cal W}$ $\newcommand{\ecal}{\cal E}$ $\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$ $\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$ $\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$ $\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$ $\newcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\col}{\text{Col}}$ $\renewcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$ $\newcommand{\var}{\text{Var}}$ $\newcommand{\corr}{\text{corr}}$ $\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$ $\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$ $\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$ $\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$ $\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$ $\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$ $\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$ $\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$ $\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$ $\newcommand{\lt}{<}$ $\newcommand{\gt}{>}$ $\newcommand{\amp}{&}$ $\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

Evidentemente, el plano h contiene al menos dos puntos. Por lo tanto, para mostrar que el Axioma I se sostiene en el plano h, necesitamos mostrar que la distancia h definida en 12.1 es una métrica en el plano h; es decir, las condiciones (a) - (d) en la Definición 1.3.1 se mantienen para la distancia h.

En la siguiente afirmación se dice que la distancia h cumple con las condiciones a) y b)

Reclamación$\PageIndex{1}$

Dados los puntos h$P$ y$Q$, tenemos$PQ_h \ge 0$ y$PQ_h=0$ si y solo si$P=Q$.

Prueba

Según Lema 12.3.1 y la observación principal (Teorema 12.3.1), podemos suponer que$Q$ es el centro de lo absoluto. En este caso

y por lo tanto

Además, las igualdades se mantienen si y sólo si$P=Q$.

El siguiente reclamo dice que la distancia h cumple con la condición

Reclamación$\PageIndex{2}$

Para cualquier h-puntos$P$ y$Q$, tenemos$PQ_h=QP_h$.

Prueba

Dejar$A$ y$B$ ser puntos ideales de$(PQ)_h$ y$A,P,Q,B$ aparecer en la circlina que contiene$(PQ)_h$ en el mismo orden.

$2021-02-24 9.53.00.png$

Entonces

$\begin{array} {rcl} {PQ_h} & = & {\ln \dfrac{AQ \cdot BP}{QB \cdot PA} =} \\ {} & = & {=\ln \dfrac{BP \cdot AQ}{PA \cdot QB}=} \\ {} & = & {QP_h} \end{array}$

La siguiente afirmación muestra, en particular, que la desigualdad del triángulo (que es la Definición 1.3.1d) se mantiene para$h$ -distancia.

Reclamación$\PageIndex{3}$

Dado un triple de puntos h$P$$Q$,, y$R$, tenemos

Además, la igualdad se mantiene si y sólo si$P$,$Q$, y$R$ se encuentran en una línea h en el mismo orden.

Prueba

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que$P$ es el centro de lo absoluto y$PQ_h \ge QR_h >0$.

Supongamos que$\Delta$ denota el círculo h con el centro$Q$ y el radio h$\rho=QR_h$. Dejar$S$ y$T$ ser los puntos de intersección de$(PQ)$ y$\Delta$.

Por Lemma 12.3.3,$PQ_h\z\ge QR_h$. Por lo tanto, podemos suponer que los puntos$P$$S$,$Q$,, y$T$ aparecen en la línea h en el mismo orden.

Según Lemma Lemma 12.3.4,$\Delta$ es un círculo euclidiano; supongamos que eso$\hat Q$ denota su centro euclidiano. Tenga en cuenta que$\hat Q$ es el punto medio euclidiano de$[ST]$.

$2021-02-24 9.59.23.png$

Por la desigualdad del triángulo euclidiano

\[PT = P\hat{Q}+\hat{Q} R \ge PR\]

y la igualdad se mantiene si y sólo si$T=R$.

Por Lemma Lemma 12.3.2,

$\begin{array} {l} {PT_h = \ln \dfrac{1 + PT}{1 - PT},} \\ {PR_h = \ln \dfrac{1 + PR}{1 - PR}.} \end{array}$

Dado que la función$f(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}$ va en aumento para$x\in[0,1)$, la desigualdad 12.4.1 implica

$PT_h\ge PR_h$

y la igualdad se mantiene si y sólo si$T=R$.

Por último, aplicando de nuevo Lemma 12.3.3, obtenemos que

$PT_h=PQ_h+QR_h.$

De ahí que siga el reclamo.

Search

Text Color

Text Size

Margin Size

Font Type

Reclamación\(\PageIndex{1}\)

Reclamación\(\PageIndex{2}\)

Reclamación\(\PageIndex{3}\)