20.7: Área de triángulos sólidos

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Teorema$\PageIndex{1}$

Dejar$a=BC$ y$h_A$ ser la altitud desde$A$ adentro$\triangle ABC$. Entonces

$\text{area }(\blacktriangle ABC)=\tfrac12\cdot a\cdot h_A.$

Prueba

Dibuja la línea$m$ a través$A$ que es paralela$(BC)$ y la línea a$n$ través de$C$ paralela a$(AB)$. Tenga en cuenta que las líneas$m$ y no$n$ son paralelas; denotan por$D$ su punto de intersección. Por construcción,$\square ABCD$ es un paralelogramo.

Tenga en cuenta que$\blacksquare ABCD$ admite una subdivisión en$\blacktriangle ABC$ y$\blacktriangle CDA$. Por lo tanto,\[\text{area }(\blacksquare ABCD) = \text{area }(\blacktriangle ABC) + \text{area }(\blacktriangle CDA)\]

$2021-03-03 9.20.57.png$

Dado que$\square ABCD$ es un paralelogramo, Lemma 7.5.1 implica que

$AB=CD \quad \text{and} \quad BC=DA.$

Por lo tanto, por la condición de congruencia SSS, tenemos$\triangle ABC\cong\triangle CDA$. En particular

$\text{area }(\blacktriangle ABC) = \text{area }(\blacktriangle CDA).$

De arriba y de la Proposición 20.6.1, obtenemos que

$\begin{aligned} \text{area }(\blacktriangle ABC) &=\tfrac12\cdot\text{area }(\blacksquare ABCD)= \\ &=\tfrac12\cdot h_A\cdot a\end{aligned}$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Dejar$h_A$,$h_B$, y$h_C$ denotar las altitudes de$\triangle ABC$ desde vértices$A$,$B$ y$C$ respectivamente. Tenga en cuenta que del teorema$\PageIndex{1}$, se deduce que

$h_A\cdot BC=h_B\cdot CA=h_C\cdot AB.$

Dar una prueba de esta declaración sin usar área.

Insinuación

$2021-03-03 9.33.48.png$

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que los ángulos$ABC$ y$BCA$ son agudos.

Dejar$A'$ y$B'$ denotar los puntos del pie de$A$ y$B$ sobre$(BC)$ y$(AC)$ respectivamente. Tenga en cuenta que$h_A = AA'$ y$h_B = BB'$.

Tenga en cuenta que$\triangle AA'C \sim \triangle BB'C$; de hecho el ángulo a$C$ es compartido y los ángulos en$A'$ y$B'$ son correctos. En particular$\dfrac{AA'}{BB'} = \dfrac{AC}{BC}$ o, de manera equivalente,$h_A \cdot BC = h_B \cdot AC$.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Supongamos que$M$ se encuentra dentro del paralelogramo$ABCD$; es decir,$M$ pertenece al paralelogramo sólido$\blacksquare ABCD$, pero no se encuentra en sus lados. Demostrar que

$\text{area }(\blacktriangle ABM)+\text{area }(\blacktriangle CDM) =\tfrac12\cdot \text{area }(\blacksquare ABCD).$

Insinuación

Dibuja la$\ell$ línea$M$ paralela a$[AB]$ y$[CD]$; se$\blacksquare ABCD$ subdivide en dos paralelogramos sólidos que se denotarán por$\blacksquare ABEF$ y$\blacksquare CDFE$. En particular,

$\text{area } (\blacksquare ABCD) = \text{area } (\blacksquare ABEF) + \text{area } (\blacksquare CDFE)$.

Por la Proposición 20.6.1 y Teorema$\PageIndex{1}$ obtenemos que

$2021-03-03 9.38.29.png$

$\begin{array} {l} {\text{area } (\blacktriangle ABM) = \dfrac{1}{2} \cdot \text{area } (\blacksquare ABEF),} \\ {\text{area } (\blacktriangle CDM) = \dfrac{1}{2} \cdot \text{area } (\blacksquare CDFE)} \end{array}$

y de ahí el resultado.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Supongamos que las diagonales de un cuadriángulo no degenerado se$ABCD$ cruzan en el punto$M$. Demostrar que

$\text{area }(\blacktriangle ABM)\cdot\text{area }(\blacktriangle CDM) = \text{area }(\blacktriangle BCM)\cdot\text{area }(\blacktriangle DAM).$

Insinuación

Dejar$h_A$ y$h_C$ denotar las distancias desde$A$ y$C$ hacia la línea$(BD)$ respectivamente. Según el teorema$\PageIndex{1}$,

$\text{area }(\blacktriangle ABM) = \dfrac{1}{2} \cdot h_A \cdot BM$;$\text{area }(\blacktriangle BCM) = \dfrac{1}{2} \cdot h_C \cdot BM$;
$\text{area }(\blacktriangle CDM) = \dfrac{1}{2} \cdot h_C \cdot DM$;$\text{area }(\blacktriangle ABM) = \dfrac{1}{2} \cdot h_A \cdot DM$.

Por lo tanto

$\begin{array} {rcl} {\text{area } (\blacktriangle ABM) \cdot \text{area } (\blacktriangle CDM)} & = & {\dfrac{1}{4} \cdot h_A \cdot h_C \cdot DM \cdot BM =} \\ {} & = & {\text{area } (\blacktriangle BCM) \cdot \text{area } (\blacktriangle DAM)} \end{array}$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

$r$Sea el inradio de$\triangle ABC$ y$p$ sea su semiperímetro; es decir,$p=\tfrac12\cdot(AB+BC+CA)$. Demostrar que

$\text{area }(\blacktriangle ABC)=p\cdot r.$

Insinuación

$I$Déjese ser el incenter de$\triangle ABC$. Tenga en cuenta que se$\blacktriangle ABC$ puede subdividir en$\blacktriangle IAB, \blacktriangle IBC$ y$\blacktriangle ICA$.

Queda por aplicar el Teorema$\PageIndex{1}$ a cada uno de estos triángulos y resumir los resultados.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Mostrar que cualquier conjunto poligonal admite una subdivisión en una colección finita de triángulos sólidos y un conjunto degenerado. Concluimos que para cualquier conjunto poligonal, su área está definida de manera única.

Insinuación: Fijar un conjunto poligonal$\mathcal{P}$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que$\mathcal{P}$ es una unión de una colección finita de triángulos sólidos. Corta$\mathcal{P}$ a lo largo de las extensiones de los lados de todos los triángulos, se$\mathcal{P}$ subdivide en polígonos convexos. Cortar cada polígono por diagonales de un vértice produce una subdivisión en triángulos sólidos.

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