11.6: Capítulo 11 Ejercicios de revisión

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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¿Verdadero o Falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1) Las coordenadas rectangulares del punto$\left(4,\frac{5π}{6}\right)$ son$\left(2\sqrt{3},−2\right).$

2) Las ecuaciones$x=\cosh(3t), \; y=2\sinh(3t)$ representan una hipérbola.

Contestar: Cierto

3) La longitud del arco de la espiral dada por$r=\dfrac{θ}{2}$ for$0≤θ≤3π$ es$\frac{9}{4}π^3$ unidades.

4) Dado$x=f(t)$ y$y=g(t)$, si$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{dy}{dx}$, entonces$f(t)=g(t)+C,$ donde$C$ es una constante.

Contestar: Falso. Imagina$y=t+1, \; x=−t+1.$

En los ejercicios 5 -8, esboza la curva paramétrica y elimina el parámetro para encontrar la ecuación cartesiana de la curva.

5)$x=1+t, \; y=t^2−1, \quad −1≤t≤1$

6)$x=e^t, \; y=1−e^{3t}, \quad 0≤t≤1$

Contestar

$y=1−x^3$

$Gráfica de una curva que comienza en (1, 0) y decreciente en el cuarto cuadrante.$

7)$x=\sin θ, \; y=1−\csc θ, \quad 0≤θ≤2π$

8)$x=4\cos ϕ, \; y=1−\sin ϕ, \quad 0≤ϕ≤2π$

Contestar

$\dfrac{x^2}{16}+(y−1)^2=1$

$Gráfica de una elipse con centro (0, 1), eje mayor horizontal y de longitud 8, y eje menor de longitud 2.$

En los ejercicios 9 - 10, esboza la curva polar y determina qué tipo de simetría existe, si la hay.

9)$r=4\sin\left(\frac{θ}{3}\right)$

10)$r=5\cos(5θ)$

Contestar

Simétrico alrededor del eje polar

$Gráfica de una rosa de cinco pétalos con pétalo inicial en θ = 0.$

En los ejercicios 11 - 12, encuentra la ecuación polar para la curva dada como una ecuación cartesiana.

11)$x+y=5$

12)$y^2=4+x^2$

Contestar: $r^2=\dfrac{4}{\sin^2θ−\cos^2θ}$

En los ejercicios 13 - 14, encuentra la ecuación de la línea tangente a la curva dada. Grafica tanto la función como su línea tangente.

13)$x=\ln(t),\; y=t^2−1, \; t=1$

14)$r=3+\cos(2θ), \; θ=\frac{3π}{4}$

Contestar

$y=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{5}\left(x+\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$

$Gráfico de una figura en forma de cacahuete, con intercepciones y a ±2 y x intercepciones a ±4. La línea tangente ocurre en el segundo cuadrante.$

15) Encontrar$\dfrac{dy}{dx}, \; \dfrac{dx}{dy},$ y$\dfrac{d^2x}{dy^2}$ de$y=(2+e^{−t}), \; x=1−\sin t$

En los ejercicios 16 -17, encuentra la zona de la región.

16)$x=t^2, \; y=\ln(t), \quad 0≤t≤e$

Contestar: $\dfrac{e^2}{2}\text{ units}^2$

17)$r=1−\sin θ$ en el primer cuadrante

En los ejercicios 18 - 19, encuentra la longitud del arco de la curva sobre el intervalo dado.

18)$x=3t+4, \; y=9t−2, \quad 0≤t≤3$

Contestar: $9\sqrt{10}$unidades

19)$r=6\cos θ,\quad 0≤θ≤2π.$ Comprueba tu respuesta por geometría.

En los ejercicios 20 - 22, encuentra la ecuación cartesiana que describe las formas dadas.

20) Una parábola con enfoque$(2,−5)$ y directrix$x=6$

Contestar: $(y+5)^2=−8x+32$

21) Una elipse con una longitud de eje mayor de 10 y focos en$(−7,2)$ y$(1,2)$

22) Una hipérbola con vértices en$(3,−2)$$(−5,−2)$ y y focos en$(−2,−6)$ y$(−2,4)$

Contestar: $\dfrac{(y+1)^2}{16}−\dfrac{(x+2)^2}{9}=1$

En los ejercicios 23 - 25, determinar la excentricidad e identificar la cónica. Esboza la cónica.

23)$r=\dfrac{6}{1+3\cos θ}$

24)$r=\dfrac{4}{3−2\cos θ}$

Contestar

$e=\frac{2}{3}$, elipse

$Gráfica de una elipse con centro cerca (1.5, 0), eje mayor casi 5 y horizontal, y eje menor casi 4.$

25)$r=\dfrac{7}{5−5\cos θ}$

26) Determinar la ecuación cartesiana que describe la órbita de Plutón, la órbita más excéntrica alrededor del Sol. La longitud del eje mayor es 39.26 UA y el eje menor es 38.07 AU. ¿Qué es la excentricidad?

Contestar: $\dfrac{y^2}{19.03^2}+\dfrac{x^2}{19.63^2}=1, \quad e=0.2447$

27) El cometa C/1980 E1 se observó en 1980. Dada una excentricidad$1.057$ y un perihelio (punto de acercamiento más cercano al Sol) de$3.364$ AU, encontramos las ecuaciones cartesianas que describen la trayectoria del cometa. ¿Tenemos la garantía de volver a ver a este cometa? (Pista: Considera el Sol en el punto$(0,0)$.)

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