8.2: Los enteros

Construimos los enteros a partir de los números naturales. El propósito algebraico de los números enteros es incluir inversas aditivas para números naturales. Por supuesto esto naturalmente da lugar a la operación de resta.

Vamos\(Z=\mathbb{N} \times \mathbb{N}\). Definir una relación de equivalencia,\(\sim\) on\(Z\) by\[\left\langle m_{1}, n_{1}\right\rangle \sim\left\langle m_{2}, n_{2}\right\rangle \quad \Longleftrightarrow \quad m_{1}+n_{2}=m_{2}+n_{1} .\] Entonces los enteros son\[\mathbf{Z}:=Z / \sim .\] Pensamos en el par ordenado\(\langle m, n\rangle \in \mathbf{Z}\) como un representante del entero\(m-n\). Decimos que un entero es positivo si\(m>n\) y negativo si\(m<n\). Debe quedar claro que el conjunto de enteros no negativos (es decir\(\mathbb{N}\)) es\[\{[\langle m, n\rangle] \mid m \geq n\}=\{[\langle m, 0\rangle] \mid m \in \mathbb{N}\} .\] Let\(\mathbb{Z}\) be the (intuitivo) integer y let\(i: \mathbf{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\) be defined by\[i([\langle m, n\rangle])=m-n .\] Then\(i\) es una biyección. Como hicimos con los números naturales, construiremos operaciones y ordenaremos sobre\(\mathbf{Z}\) eso de acuerdo con las operaciones habituales y un orden encendido\(\mathbb{Z}\). Por supuesto, podríamos usar\(i\) y las definiciones habituales en\(\mathbb{Z}\) para definir operaciones y relaciones sobre\(\mathbf{Z}\), pero eso extrañaría el espíritu de la construcción, y descuidaría el deseo de establecer definiciones teóricas. Análogamente a la construcción de la sección anterior, definimos\(\mathbb{Z}\) como\(\mathbf{Z}\). Dejemos\(x_{1}, x_{2} \in \mathbb{Z}\) dónde\(x_{1}=\left[\left\langle m_{1}, n_{1}\right\rangle\right]\) y\(x_{2}=\left[\left\langle m_{2}, n_{2}\right\rangle\right]\). La adición se define por\[x_{1}+x_{2}=\left[\left\langle m_{1}+m_{2}, n_{1}+n_{2}\right\rangle\right] .\] La inversa aditiva de\([\langle m, n\rangle]\) es\([\langle n, m\rangle]\) (es decir, la suma de estos números enteros es\([\langle 0,0\rangle]\) - la identidad aditiva en\(\mathbb{Z})\).

La multiplicación se define por\[x_{1} \cdot x_{2}=\left[\left\langle m_{1} \cdot m_{2}+n_{1} \cdot n_{2}, n_{1} \cdot m_{2}+m_{1} \cdot n_{2}\right\rangle\right] .\] El orden lineal en\(\mathbb{Z}\) se define por la\[x_{1} \leq x_{2} \Longleftrightarrow m_{1}+n_{2} \leq n_{1}+m_{2} .\] suma y la multiplicación se han definido para los números naturales, y las operaciones y el orden lineal en\(\mathbb{Z}\) se definen con respecto a las operaciones y el orden lineal que se definieron previamente para\(\mathbb{N}\). Obsérvese que todas nuestras definiciones fueron dadas en términos de representantes de clases de equivalencia. Para demostrarlo\(+, \cdot\) y\(\leq\) estar bien definidos, debemos demostrar que las definiciones son independientes de la elección del representante - ver Ejercicio 8.6.