9.5: Aplicación a polinomios reales
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Si\(p\) es un polinomio en\(\mathbb{R}[x]\), se deduce del Teorema Fundamental del Álgebra que sí tiene raíces, pero pueden ser complejas. Si tiene raíces complejas, deben ocurrir en pares conjugados complejos.
TEOREMA 9.46. Vamos\(p \in \mathbb{R}[x]\). Dejar\(\alpha\) ser una raíz de\(p\). Entonces así es\(\bar{\alpha}\).
PRUEBA. Vamos\(p(x)=\sum_{k=0}^{N} a_{k} x^{k}\). Entonces\[p(\alpha)=\sum_{k=0}^{N} a_{k} \alpha^{k}=0,\] Así que\[p(\bar{\alpha})=\sum_{k=0}^{N} a_{k} \bar{\alpha}^{k}=\overline{p(\alpha)}=0 .\] vamos\(\alpha=a+i b\). \[\begin{aligned} (x-\alpha)(x-\bar{\alpha}) &=(x-(a+i b))(x-(a-i b)) \\ &=x^{2}-2 a x+a^{2}+b^{2} \\ &=(x-a)^{2}+b^{2} . \end{aligned}\]Entonces, aplicando el Teorema Fundamental del Álgebra al polinomio real\(p\), primero factorizamos las raíces reales, y por cada par de raíces conjugadas complejas obtenemos un factor como en (9.47). Así conseguimos:
TEOREMA 9.48. Dejar\(p \in \mathbb{R}[x]\) ser un polinomio de grado\(N\). Entonces se\(p\) puede factorizar en un producto de factores lineales\(\left(x-c_{k}\right)\) y factores cuadráticos\(\left(\left(x-a_{k}\right)^{2}+b_{k}^{2}\right)\):\[p(x)=c\left(\prod_{k=1}^{N_{1}}\left(x-c_{k}\right)\right)\left(\prod_{j=1}^{N_{2}}\left(\left(x-a_{j}\right)^{2}+b_{j}^{2}\right)\right)\] para algunos números reales (no necesariamente distintos)\(c, c_{j}, a_{j}, b_{j}\). Tenemos\(N_{1}+2 N_{2}=N\), y el factoring es único, hasta ordenar y reemplazar cualquiera\(b_{j} b y-b_{j}\).