12.7: Limpieza Matemática

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

1. ¿Hay detalles importantes que no se hayan abordado en la presentación de la maximización de utilidades?
2. ¿Qué sucede cuando los consumidores no compran nada de un bien?

Revisemos el problema de maximización considerado en este capítulo para proporcionar condiciones bajo las cuales la maximización local sea global. El consumidor puede gastar M en uno o ambos bienes. Esto produce una rentabilidad de\(\begin{equation}h(x)=u(x, M-p X x p Y)\end{equation}\). ¿Cuándo se comporta bien este problema? Primero, si h es una función cóncava de x, lo que implica h ″ (x) ≤0, La definición de concavidad es tal que h es cóncava si 0 < a < 1 y para todos x, y,\(\begin{equation}h(a x+(1-a) y) \geq a h(x)+(1-a) h(y)\end{equation}\). Es razonablemente sencillo demostrar que esto implica que la segunda derivada de h es negativa; y si h es dos veces diferenciable, lo contrario también es cierto. entonces cualquier solución a la condición de primer orden es, de hecho, un máximo. Para ver esto, tenga en cuenta que h ″ (x) ≤0 implica que h ′ (x) es decreciente. Además, si el punto x* satisface h ′ (x*) =0, entonces for\(\begin{equation}x \leq x^{*}, h^{\prime}(x) \geq 0 ; \text { and for } x \geq x^{*}, h^{\prime}(x) \leq 0\end{equation}\), porque h ′ (x) se hace más pequeño a medida que x se hace más grande, y h ′ (x*) =0. Ahora considere x ≤ x*. Desde h ′ (x) ≥0, h va aumentando a medida que x se hace más grande. De manera similar, para x ≥ x*, h ′ (x) ≤0, lo que significa que h se hace más pequeño a medida que x se hace más grande. Así, h es cóncava y h ′ (x*) =0 significa que h se maximiza a x*.

Así, una condición suficiente para que la condición de primer orden caracterice el máximo de utilidad es que h ″ (x) ≤0 para todos x, p _X, p _Y, y M. Dejando z= p X p Y, esto es equivalente a u 11 −2z u 12 + z 2 u 22 ≤0 para todos z > 0.

A su vez, podemos ver que esto requiere (i) u ₁₁ ≤ 0 (z = 0), (ii) u ₂₂ ≤ 0 (z→∞), y (iii) u 11 u 22 − u 12 ≥0 (z= u 11 u 22). Además, desde

\ comenzar {ecuación} - (u 11+2 z u 12+z 2 u 22) = (-u 11-z-u 22) 2+2 z (u 11 u 22-u 12)\ final {ecuación}

(i), (ii) y (iii) son suficientes para u11 +2zu 12 + z2u 22 ≤0.

Por lo tanto, si (i) u ₁₁ ≤ 0, (ii) u ₂₂ ≤ 0, y (iii) u 11 u 22 − u 12 ≥0, una solución a las condiciones de primer orden caracteriza la maximización de utilidad para el consumidor.

¿Cuándo se especializará un consumidor y consumirá cero de un bien? Una condición necesaria para que la elección de x sea cero es que el consumidor no se beneficie al consumir una x muy pequeña; es decir, h ′ (0) ≤0. Esto significa que

\ begin {ecuación} h^ {\ prime} (0) =u 1 (0, M p Y) -u 2 (0, M p Y) p X p Y\ leq 0\ final {ecuación}

o

\ begin {ecuación}\ texto {u} 1 (0,\ mathrm {mPy})\ texto {u} 2 (0,\ mathrm {mPy})\ leq\ mathrm {pX}\ mathrm {pY}\ end {ecuación}

Además, si se cumple la concavidad de h, como se supone anteriormente, entonces esta condición es suficiente para garantizar que la solución sea cero. Para ver esto, tenga en cuenta que la concavidad de h implica que h ′ es decreciente. Combinado con h ′ (0) ≤0, esto implica que h se maximice a 0. Una clase importante de ejemplos de este comportamiento es la utilidad cuasilineal. La utilidad cuasilineal viene en la forma u (x, y) = y + v (x), donde v es una función cóncava (v ″ (x) ≤0 para todos x). Es decir, la utilidad cuasilineal es una utilidad que es aditivamente separable.

Figura 12.14 Isocuantes cuasilineales

El procedimiento para tratar las esquinas es generalmente este. Primero, verificar la concavidad de la función h. Si h es cóncava, tenemos un procedimiento para resolver el problema; cuando h no es cóncava, se debe idear una estrategia alternativa. Existen estrategias conocidas para algunos casos que están fuera del alcance de este texto. Dado h cóncavo, el siguiente paso es verificar los puntos finales y verificar que h ′ (0) >0 (porque de lo contrario x = 0 maximiza la utilidad del consumidor) y h ′ (M p X) <0 (porque de lo contrario y = 0 maximiza la utilidad del consumidor). Finalmente, en este punto buscamos la solución interior h ′ (x) =0. Con este procedimiento, podemos asegurar que encontramos el máximo real para el consumidor en lugar de una solución a las condiciones de primer orden que no maximizan la utilidad del consumidor.

Claves para llevar

• Hay condiciones disponibles que aseguran que las condiciones de primer orden produzcan un máximo de utilidad.
• Con preferencias convexas, el consumo cero de un bien surge cuando la utilidad está disminuyendo en el consumo de un bien, gastando el resto de ingresos en el otro bien.

EJERCICIO

1. Demostrar que el consumidor cuasilineal consumirá cero X si y solo si\(\begin{equation}v^{\prime}(0) \leq p x p y\end{equation}\), y que el consumidor en su lugar consume cero Y si\(\begin{equation}v^{\prime}(M p X) \geq p x p y\end{equation}\). Los isocuantes cuasilineales de utilidad, para\(\begin{equation}v(x)=(x+0.03) 0.3\end{equation}\), se ilustran en la Figura 12.14 “Isocuantes cuasilineales”. Tenga en cuenta que, a pesar de que las isocuantes se curvan, no obstante, son paralelas entre sí.