13.5: Buscar

OBJETIVO DE APRENDIZAJE

1. ¿Cómo debe ir un consumidor para encontrar el precio más bajo cuando los precios disponibles son aleatorios?

En la mayoría de las comunidades, las tiendas de abarrotes anuncian los precios de venta todos los miércoles en un inserto de periódico, y estos precios pueden variar de semana a semana y de tienda a tienda. El precio de la gasolina puede variar hasta 15 centavos por galón en un radio de una milla. Si decide que desea comprar un televisor Sony específico, puede ver precios distintos en Best Buy y otros minoristas de electrónica. Para muchos bienes y servicios, existe una variación sustancial en los precios, lo que implica que hay ganancias para que los compradores busquen el mejor precio.

La teoría del comportamiento de búsqueda de los consumidores es un poco arcana, pero la perspicacia básica será lo suficientemente intuitiva. La idea general es que, desde la perspectiva de un comprador, el precio que se ofrece es aleatorio y tiene una función de densidad de probabilidad f (p). Si un consumidor enfrenta un costo de búsqueda (por ejemplo, si tiene que visitar una tienda, en persona, telefónica o virtual, el costo incluye su tiempo y cualquier otro costo necesario para obtener una cotización), el consumidor establecerá un precio de reservación, que es un precio máximo que pagará sin visitando otra tienda. Es decir, si una tienda ofrece un precio por debajo de p*, el consumidor comprará; de lo contrario, visitará otra tienda, esperando un mejor precio.

Llame al precio de reservación p*, y supongamos que el costo de búsqueda es c. Deje que J (p*) represente el costo total esperado de compra (incluidos los costos de búsqueda). Entonces J debe igualar\(\begin{equation}J(p*)=c+ ∫ 0 p* pf(p)dp + ∫ p* ∞ J(p*)f(p)dp\end{equation}\).

Esta ecuación surge porque el sorteo actual (que cuesta c) podría resultar en un precio menor a p*, en cuyo caso el precio observado, con densidad f, determinará el precio pagado p; o bien el precio será demasiado alto, en cuyo caso el consumidor va a tomar otro sorteo, al costo c, y en promedio obtendrá el precio promedio J (p*). Es útil introducir la función de distribución acumulativa F, con\(\begin{equation}F(x)=\int 0 \times f(p) d p\end{equation}\). Tenga en cuenta que algo tiene que suceder, entonces F (∞) = 1.

Podemos resolver la igualdad para\(\begin{equation}J(p*), J(p*)= ∫ 0 p* pf(p)dp +c F(p*) \end{equation}\).

Esta expresión tiene una interpretación sencilla. El precio esperado J (p*) se compone de dos términos. El primero es el precio esperado, que es\(\begin{equation}\int 0 \mathrm{p}^{*} \mathrm{p} \mathrm{f}(\mathrm{p}) \mathrm{F}\left(\mathrm{p}^{*}\right) \mathrm{dp}\end{equation}\). Esto tiene la interpretación del precio promedio condicionado a que ese precio sea inferior a p*. Esto se debe a que f (p) F (p*) es, de hecho, la densidad de la variable aleatoria que es el precio dado que el precio es menor que p*. El segundo término es c F (p*). Este es el costo de búsqueda esperado, y surge porque 1 F (p*) es el número esperado de búsquedas. Esto surge porque las probabilidades de obtener un precio lo suficientemente bajo como para ser aceptable es F (p*). Existe una propiedad estadística general subyacente al número de búsquedas. Considera a un basquetbolista que dispara con éxito un tiro libre con probabilidad y ¿Cuántas bolas, en promedio, debe lanzar para hundir una canasta? La respuesta es 1/y. Para ver esto, tenga en cuenta que la probabilidad de que se requieran exactamente n lanzamientos es\(\begin{equation}(1-y)^{n-1}\end{equation}\) y. Esto es porque n son requeridos significa que n — 1 debe fallar (probabilidad (1 — y) ^n—1) y luego el restante entra, con probabilidad y. Así, el número esperado de lanzamientos es

\ begin {ecuación} y + 2 (1-y) y + 3 (1-y) 2 y + 4 (1-y) 3 y+... =y (1 + 2 (1-y) + 3 (1-y) 2 + 4 (1-y) 3 +...) =y (1 + (1-y) + (1-y) 2 + (1-y) 3 +...) + (1−y) (1 + (1-y) y) + (1-y) 2 + (1-y) 3 +...) = (1−y) 2 (1 + (1-y) + (1-y) 2 + (1-y) 3 +...) + (1−y) 3 (1 + (1-y) + (1-y) 2 +...) +... =y (1 y + (1−y) 1 y + (1−y) 2 y + (1-y) 3 1 y +...) = 1 y. \ end {ecuación}

Nuestro problema tiene la misma lógica, donde un lanzamiento exitoso de básquetbol corresponde a encontrar un precio menor que p*.

El costo total esperado de compra, dado un precio de reserva p*, es dado por\(\begin{equation} J(p*)= ∫ 0 p* pf(p)dp +c F(p*) .\end{equation}\)

Pero, ¿qué valor de p* minimiza el costo? Empecemos diferenciando

\ begin {ecuación} J ′ (p*) =p* f (p*) F (p*) − f (p*) ∫ 0 p* pf (p) dp +c F (p*) 2= f (p*) F (p*) (p*− ∫ 0 p* pf (p) dp +c F (p*)) = f (p*) F (p*) (p*−J (p*)). \ end {ecuación}

Así, si p* < J (p*), J está disminuyendo, y disminuye el costo para aumentar p*. De igual manera, si p* > J (p*), J está aumentando en p*, y reduce el costo para disminuir p*. Así, la minimización ocurre en un punto donde p* = J (p*).

Además, sólo hay una solución de este tipo a la ecuación p* = J (p*) en el rango donde f es positivo. Para ver esto, tenga en cuenta que en cualquier solución a la ecuación p* = J (p*), J ′ (p*) =0 y

\ begin {ecuación} J ″ (p*) = d dp* (f (p*) F (p*) (p*−J (p*))) = (d dp* f (p*) F (p*)) (p*−J (p*)) + f (p*) F (p*) (1− J ′ (p*)) = f (p*) F (p*)) > 0\ end {ecuación}

Esto significa que J toma un mínimo a este valor, ya que su primera derivada es cero y su segunda derivada es positiva, y eso es cierto sobre cualquier solución a p* = J (p*). De existir dos soluciones de este tipo, J ′ tendría que ser tanto positiva como negativa en el intervalo entre ellas, ya que J está aumentando a la derecha de la primera (inferior) y decreciente a la izquierda de la segunda (superior). En consecuencia, la ecuación p* = J (p*) tiene una solución única que minimiza el costo de compra.

La búsqueda del consumidor para minimizar el costo dicta establecer un precio de reservación igual al costo total esperado de comprar el bien, y comprar siempre que el precio ofrecido sea inferior a ese nivel. Es decir, no es sensato “aguantar” por un precio inferior al que esperas pagar en promedio, aunque esto podría ser muy útil en un contexto de negociación más que en un contexto de búsqueda de tiendas.

Ejemplo (Uniforme): Supongamos que los precios se distribuyen uniformemente en el intervalo [a, b]. Para p* en este intervalo,

\ begin {ecuación} J (p*) = ∫ 0 p* pf (p) dp +c F (p*) = ∫ a p* p dp b−a +c p*−a b−a= ½ (p * 2 − a 2) +c (b−a) p*−a =½ (p*+a) + c (b−a) p*−a. \ end {ecuación}

Así, la condición de primer orden para minimizar el costo es\(\begin{equation}0=J^{\prime}\left(p^{*}\right)=1 / 2-c(b-a)\left(p^{*}-a\right) 2\end{equation}\), lo que implica\(\begin{equation}p^{*}=a+2 c(b-a)\end{equation}\).

Hay un par de observaciones interesantes sobre esta solución. Primero, no es sorprendente, como c → 0, p* → α; es decir, a medida que los costos de búsqueda van a cero, uno aguanta por el precio más bajo posible. Esto es sensato en el contexto del modelo, pero en situaciones de búsqueda reales el retraso también puede tener un costo que no se modela aquí. Segundo, p* < b, el precio máximo, si 2c < (b — a). Es decir, si lo máximo que puedes ahorrar por una búsqueda es el doble del costo de búsqueda, entonces no busques, porque las ganancias esperadas de la búsqueda serán la mitad de las ganancias máximas (gracias a la distribución uniforme) y la búsqueda no será rentable.

La tercera observación, que es mucho más general que el ejemplo uniforme específico, es que el precio esperado es una función cóncava del costo de búsqueda (segunda derivada negativa). Eso es, de hecho, cierto para cualquier distribución. Para ver esto, defina una función\(\begin{equation}H(c)=\min p^{*} J\left(p^{*}\right)=\min p^{*} \int 0 p^{*} p f(p) d p+c F\left(p^{*}\right)\end{equation}\). Desde\(\begin{equation}\mathrm{J}^{\prime}\left(\mathrm{p}^{*}\right)=0, \mathrm{H}^{\prime}(\mathrm{c})=\partial \partial \mathrm{c} \mathrm{J}\left(\mathrm{p}^{*}\right)=1 \mathrm{F}\left(\mathrm{p}^{*}\right)\end{equation}\)

De aquí se requiere sólo de un modesto esfuerzo para demostrar que p* va en aumento en c, de lo que se deduce que H es cóncava. Esto significa que hay rendimientos crecientes a la disminución de los costos de búsqueda en que el precio total esperado de la búsqueda está disminuyendo a una tasa creciente a medida que disminuye el costo de búsqueda.

Claves para llevar

• Para muchos productos, los precios varían según la ubicación y el tiempo. En respuesta a la variación de precios, los consumidores suelen buscar precios bajos.
• En muchas circunstancias la mejor estrategia es una estrategia de precios de reservación, donde el consumidor compra cada vez que se le ofrece un precio por debajo del precio de reserva.
• La búsqueda del consumidor para minimizar el costo dicta establecer un precio de reservación igual al costo total esperado de comprar el bien, y comprar siempre que el precio ofrecido sea inferior a ese nivel.

EJERCICIO

1. Supongamos que hay dos precios posibles, uno y dos, y que la probabilidad del precio menor uno es x. Calcula el precio de reserva del consumidor, que es el costo esperado de la búsqueda, en función de x y el costo de búsqueda c. Para qué valores de x y c debe aceptar el consumidor dos en la primera buscar o continuar buscando hasta que se encuentre el precio más bajo uno?