Para filtros de función de respuesta de impulso finito, la salida del filtro para una forma de onda compleja es simplemente la suma de la función de respuesta de impulso del filtro para las tensiones en cada punto de tiempo, escalada por la amplitud de entrada en cada punto de tiempo. Esa es una frase bastante complicada, así que en este ejercicio veremos un par de ejemplos sencillos.
Puede comenzar cargando y trazando los nombres de archivo ERPset impulse1.erp. Este ERPset contiene un bin, y cada canal tiene un impulso diferente en él. El canal 1 tiene un impulso de 1 µV a 100 ms. Los canales 2, 3 y 4 tienen impulsos a 200, 300 y 400 ms con amplitudes de 0.5, 1 y 0.5 µV, respectivamente. Canal 5 tiene los cuatro impulsos en él (ver Captura de Pantalla 4.9.A).
Captura 4.9
Filtra este ERPset usando un corte de media amplitud a 30 Hz y una pendiente de 12 dB/octava (siguiendo los mismos pasos que usaste en los ejercicios anteriores) y traza el resultado (que debería parecerse a la Captura de Pantalla 4.9.B). Cada impulso ha sido sustituido por la función de respuesta al impulso del filtro, desplazado para que se centre en la latencia del impulso, y escalado (multiplicado) por el tamaño del impulso. Es importante destacar que filtrar la forma de onda con cuatro impulsos (Canal 5) le da una forma de onda que es equivalente a la suma de las cuatro formas de onda filtradas para los impulsos individuales (Canales 1-4). Esto te muestra a lo que me refería cuando dije que “la salida del filtro para una forma de onda compleja es simplemente la suma de la función de respuesta al impulso del filtro para los voltajes en cada punto temporal, escalado por la amplitud de entrada en cada punto temporal”. Es decir, la salida del filtro para la forma de onda con cuatro impulsos (Canal 5) equivale a reemplazar cada impulso individual con una copia de la función de respuesta al impulso que ha sido desplazada para ser centrada en un impulso dado y escalada por la amplitud de ese impulso.
Para que esto sea aún más claro, vamos a tomar los cuatro impulsos y hacerlos puntos de muestreo consecutivos (así como una forma de onda ERP normalmente consiste en una secuencia de valores de voltaje consecutivos distintos de cero). Cargar el ERPset llamado impulse2.erp y trazarlo. Verás que ahora nuestros cuatro impulsos están a 100, 105, 110 y 115 ms, los cuales son consecutivos porque tenemos una frecuencia de muestreo de 200 Hz y por lo tanto un valor de voltaje cada 5 ms. Filtra este ERPset usando un corte de media amplitud a 30 Hz y una pendiente de 12 dB/octava (igual que antes) y grafica el resultado. Al igual que en el ejemplo anterior, filtrar el conjunto de cuatro impulsos consecutivos equivale a filtrar cada impulso por separado y luego sumarlos juntos. Es decir, la forma de onda filtrada equivale a reemplazar cada impulso en la forma de onda no filtrada con una copia de la función de respuesta al impulso, centrada en cada impulso y escalada por la altura de cada impulso.
En este ejercicio, utilizamos impulsos para crear 4 puntos de tiempo en una forma de onda ERP. La Figura 4.1 extiende esta idea a una forma de onda ERP más realista. El Panel A es la misma forma de onda artificial que se muestra al principio del capítulo en la Captura de Pantalla 4.1, pero volada. Tenemos un valor de voltaje cada 5 ms, y estos valores de voltaje están conectados por líneas para crear una forma de onda. El panel B es el mismo conjunto de valores de voltaje, pero con el voltaje en cada punto temporal mostrado como un impulso. Esto es conceptualmente idéntico al conjunto de cuatro impulsos que se muestra en la Captura de Pantalla 4.9.A, excepto que ahora tenemos un impulso en cada punto temporal. Para filtrar esta forma de onda, simplemente reemplazamos cada uno de estos impulsos con una copia de la función de respuesta al impulso, centrada en cada impulso y escalada (multiplicada) por la amplitud del impulso. Luego sumamos estas copias escaladas de la función de respuesta al impulso para obtener nuestra forma de onda ERP filtrada.
El proceso de reemplazar cada punto en una forma de onda con una copia escalada de otra forma de onda se denomina convolución de las dos formas de onda. Entonces, el filtrado de una forma de onda ERP se logra convolucionando la forma de onda con la función de respuesta al impulso. ¡Resulta que la convolución no es tan complicada (ni complicada) como suena!
Figura 4.1. Dos formas de dibujar la misma forma de onda ERP. La forma de onda consiste en una secuencia de valores de voltaje discretos, uno en cada punto de muestreo (cada 5 ms en este ejemplo). Normalmente conectamos estos puntos con líneas para que parezca una forma de onda continua (A). Sin embargo, también podemos pensar en cada punto de muestreo como un impulso que va de cero al valor de voltaje en ese punto (B). Entonces podemos pensar en filtrar como reemplazar cada uno de estos impulsos con una copia de la función de respuesta al impulso, escalada (multiplicada) por la amplitud del impulso.
Espero que ahora puedan ver que filtrar en el dominio del tiempo es conceptualmente muy sencillo siempre y cuando se conozca la función de respuesta al impulso del filtro. Por eso diseñamos la herramienta de filtrado en ERPLAB para mostrarte esta función. Muchos sistemas de análisis EEG/ERP no te muestran la función de respuesta al impulso, pero siempre puedes resolverla haciendo una forma de onda que consiste en un solo impulso (como la que se muestra en la Captura de Pantalla 4.7.A) y pasándola por el filtro.
Al conocer la función de respuesta al impulso, puede hacer una suposición bastante buena sobre cómo el filtro podría distorsionar sus datos. Por ejemplo, ¿recuerdas el pico negativo artificial producido por el filtro con el corte de 10 Hz y el roll-off de 48 dB/octava (Captura de pantalla 4.6)? Ese pico artificial tiene perfecto sentido una vez que ves la función de respuesta al impulso del filtro. Para ver la función de respuesta de impulso para este filtro, cargue el ErpSet impulse1.erp (o conviértelo en el ERPset activo si ya está cargado) y fíltrelo usando un corte de media amplitud de 10 Hz y un roll-off de 48 dB/octava. Si trazas los datos filtrados, verás algo así como Captura de pantalla 4.10.
Captura de pantalla 4.10
El canal 1 te muestra cómo es la función de respuesta al impulso (pero centrada a 100 ms en lugar de 0 ms porque el impulso estaba a 100 ms). Tiene una caída negativa a cada lado del pico. Y cuando filtramos el conjunto de cuatro impulsos en el Canal 5, podemos ver esta caída justo antes del primer pico positivo. Ahora imagina lo que sucede cuando aplicas este filtro a la forma de onda más realista que se muestra en la Figura 4.1.A. Esto implicaría reemplazar cada punto en la forma de onda con una copia escalada de la función de respuesta al impulso. Cuando reemplazamos los impulsos positivos que comienzan alrededor de 50 ms con esta función, la parte negativa de la función de respuesta al impulso genera la caída negativa antes de 50 ms.
Este tipo de distorsión es fácil de entender cuando piensas en filtrar en el dominio del tiempo usando la función de respuesta al impulso. Sin embargo, la distorsión no es nada obvia cuando piensas en filtrar usando la función de respuesta de frecuencia. Por eso prefiero pensar en filtrar en el dominio del tiempo. Sin embargo, sigue siendo útil conocer la función de respuesta de frecuencia, especialmente si sabes algo sobre el contenido de frecuencia del ruido en tus datos. Es por eso que diseñamos la herramienta de filtrado ERPLAB para brindarle ambas funciones. Además, la función de respuesta de frecuencia y la función de respuesta de impulso están muy estrechamente relacionadas: La función de respuesta de frecuencia es simplemente la transformada de Fourier de la función de respuesta de impulso, y la función de respuesta al impulso es simplemente la transformada inversa de Fourier de la función de respuesta de frecuencia.
