1.1.1: Relaciones y Funciones

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Encontrar el dominio y el rango de funciones

Acabas de conseguir un nuevo trabajo de medio tiempo en el centro comercial que paga una tasa base de $150/semana más $5/venta. Tu jefa te anima a hacer tantas ventas como sea posible pero ella limitará tus ganancias semanales a $250. ¿Cuál es el dominio y el alcance de la función que representa esta situación?

Dominio y rango de una función

La entrada y salida de una función también se llama dominio y rango. El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de entrada. El rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida. En ocasiones, una función es un conjunto de puntos. En este caso, el dominio son todos los valores x− y el rango son todos los valores y−. Las funciones también pueden ser ecuaciones lineales y polinómicas. En estas instancias, es necesario graficar la función para ver dónde se define. Puede notar que algunas funciones están definidas para “todos los números reales”. El símbolo,, se utiliza para denotar el conjunto de todos los números reales.

Determinemos si {(9, 2), (7, -3), (4, -6), (-10, 4), (-2, -7)} es una función. Si es así, encontraremos el dominio y el rango.

Primero, esta es una función porque los valores x− no se repiten. Para encontrar el dominio, necesitamos enumerar todos los valores x−. El rango es todos los valores y−. Normalmente, enumerarías los valores en el orden en que aparecen. Observe la notación.

x ∈ {9,7,4, −10, −2}

y∈ {2, −3, −6,4, −7}

El símbolo ∈ significa “un elemento de/adentro”. Las llaves, {}, alrededor de los valores x e y−, indican que cada uno es un conjunto. En palabras, dirías, “x es un elemento en el conjunto 9, 7, 4, -10 y 2”. Dependiendo del texto, es posible que vea “:” (dos puntos) intercambiado con el símbolo “∈” y conjuntos sin {} alrededor de ellos.

Encontremos el dominio y el rango para los siguientes problemas.

y=x−3

Debido a que esta es una ecuación lineal también sabemos que es una función lineal. Todas las líneas continúan para siempre en ambas direcciones, como lo indican las flechas.

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Observe que la línea es sólida, no hay guiones ni roturas. Esto quiere decir que es continuo. Una función continua tiene un valor por cada x, o el dominio es todo números reales. ¿Se puede enchufar CUALQUIER valor para x y obtener un valor y−value? Sí. Hay algunas formas de escribir esto.

Dominio: x, x∈ (−∞, ∞), x es todo real

En palabras, x es un elemento en el conjunto de números reales.

La segunda opción, (−∞, ∞), es un intervalo, no un punto. Los paréntesis indican que el infinito, ∞, y el infinito negativo, −∞, no están incluidos en el intervalo, sino que cada número entre ellos sí. Para incluir un punto final en el intervalo, use [o] corchetes. Esto se llama notación de intervalo.

El rango de esta función también es continuo. Por lo tanto, el rango es también el conjunto de todos los números reales. Podemos escribir el rango de la misma manera que escribimos el dominio, pero con y en lugar de x.

Rango: yo y∈ (−∞, ∞)

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Esta es una función, aunque tal vez no se vea así. Este tipo de función se llama función por partes porque junta dos o más partes de otras funciones.

Para encontrar el dominio, mira los posibles x−valores. Observe que cuando x está entre -2 y -1 no está definido, o no hay valores x−.

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Matemáticamente, esto estaría escrito: x∈ (−∞, −2] (−1, ∞). El símbolo significa “unión”. En palabras, el dominio es “todos los números reales excepto aquellos entre -2 y -1”. Observe que -2 está incluido en el dominio porque el punto en -2 está cerrado. Para encontrar el rango, necesitamos mirar los posibles valores y−. Cambiando nuestro punto de vista para mirar el eje y, a primera vista, parece que la función no está definida del 1 al -3.

Sin embargo, tras una investigación más profunda, la rama de la izquierda sí pasa por la región amarilla, donde nosotros, aunque la función no estaba definida. Esto significa que la función se define entre 1 y -3 y así para todos los números reales. Sin embargo, por debajo de -3, no hay valores y−. El rango es y∈ [−3, ∞).

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Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que encontrara el dominio y rango de la función de sus ventas, donde realiza una tasa base de $150/semana más $5/venta (sus ganancias semanales tienen un tope de $250/semana).

Solución

La función representada por esta situación se puede escribir como y=150+5x, donde x es el número de ventas que realiza. No se puede hacer un número negativo de ventas, por lo que la menor cantidad de ventas que puede hacer es cero. Para encontrar el número máximo de ventas antes de llegar al tope, debemos enchufar $250 por y.

250=150+5x

100=5x

x=20

Por lo tanto, el dominio de la función es 0≤x≤20.

Para encontrar el rango, conecte los dos extremos del dominio en la ecuación. Cuando x es igual a 0, y es igual a 150, y cuando x es igual a 20, y es igual a 250.

Por lo tanto, el rango de la función es 150≤y≤250.

Ejemplo 2

Encuentra el dominio y rango de la siguiente función: {(8, 3), (-4, 2), (-6, 1), (5, 7)}.

Solución

Dominio: x∈ {8, −4, −6,5} Rango: y∈ {3,2,1,7}

Ejemplo 3

Encuentra el dominio y rango de la siguiente función: y=−$\ 1\over 2$ x+4.

Solución

Dominio: XRango: Y

Ejemplo 4

Encuentra el dominio y rango de la siguiente función.

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Solución

Esta es una función por partes. Los valores x no están definidos de -2 a 1. El rango parece que no está definido del 1 al 7, pero las líneas continúan, llenando ese espacio a medida que x se hace más grande, tanto negativa como positivamente.

Dominio: x∈ (−∞, −2) (1, ∞) Rango: Y

Ejemplo 5

Encuentra el dominio y rango de la siguiente función.

Solución

Se trata de una parábola, la gráfica de una ecuación cuadrática. A pesar de que podría no parecerlo, los extremos de la gráfica continúan hacia arriba, infinitamente, y x sigue creciendo. En otras palabras, x no se limita a estar entre -9 y 5. Todo son números reales. El rango, sin embargo, parece comenzar en -6 y es todo números reales por encima de ese valor.

Dominio: XRango: y∈ [−6, ∞)

Revisar

Determinar si los siguientes conjuntos de puntos son funciones. Si es así, indique el dominio y el rango.

{(5, 6), (-1, 5), (7, -3), (0, 9)}
{(9, 8), (-7, 8), (-7, 9), (8, 8)}
{(6, 2), (-5, 6), (-5, 2)}
{(-1, 2), (-6, 3), (10, 7), (8, 11)}
{(5, 7), (3, 7), (5, 8), (8, 1)}
{(-3, -4), (-5, -6), (1, 2), (2, -6)}

Encuentra el dominio y rango de las siguientes funciones.

y=3x−7
6x−2y=10

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10.

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11.

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12.

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13.

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14. Desafío

15. Redacción Hacer una declaración general sobre el dominio y el rango de todas las funciones lineales. Usa la notación adecuada.

El vocabulario

Término	Definición
intervalo cerrado	Un intervalo cerrado incluye los valores mínimo y máximo (puntos finales) del intervalo.
Función continua	Una función continua es una función sin roturas ni huecos. Contiene un número infinito e incontable de valores.
Función	Una función es una relación donde solo hay una salida por cada entrada. En otras palabras, por cada valor de x, solo hay un valor para y.
intervalo abierto	Un intervalo abierto no incluye los puntos finales del intervalo.
Función por partes	Una función por partes es una función que junta dos o más partes de otras funciones para crear una nueva función.
Relación	Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados (x, y). Una relación puede tener más de una salida para una entrada dada.
unión	es un símbolo que significa unión y se utiliza para conectar dos grupos entre sí. Se asocia con el término lógico OR.

Atribuciones de imagen

[Figura 1]
Crédito: Laura Guerin; Fundación CK-12
Fuente: Fundación CK-12

[Figura 2]
Crédito: Laura Guerin; Fundación CK-12; Fundación CK-12, Larame Spence
Fuente: Fundación CK-12; Calculadora Gráfica Desmos

[Figura 3]
Crédito: Laura Guerin; Fundación CK-12
Fuente: Fundación CK-12

[Figura 4]
Crédito: Laura Guerin; Fundación CK-12
Fuente: Fundación CK-12

[Figura 5]
Crédito: Laura Guerin; Fundación CK-12
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[Figura 6]
Crédito: Laura Guerin; Fundación CK-12
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[Figura 7]
Crédito: Laura Guerin; Fundación CK-12
Fuente: Fundación CK-12

[Figura 8]
Crédito: Laura Guerin; Fundación CK-12
Fuente: Fundación CK-12

[Figura 9]
Crédito: Laura Guerin; Fundación CK-12
Fuente: Fundación CK-12

[Figura 10]
Crédito: Fundación CK-12, Larame Spence
Fuente: Calculadora Gráfica Desmos