1.4.2: Familias de Funciones Cuadradas y Cubas

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Familias de funciones cuadradas y cúbicas

A menudo, la parte más desafiante de completar un problema matemático es apenas comenzar. Una vez que se tiene una 'sensación' de cómo se debe resolver un problema en particular, la elaboración de los números generalmente no es muy difícil.

Una comprensión de las familias de funciones puede ser de gran ayuda con esto, ya que le da una idea de cómo debería ser una función más compleja una vez que se ha graficado, simplemente identificando el padre o la versión más simplificada de la función.

¿Conoce las funciones padre para las familias de funciones Cuadrado, Cubo, Raíz cuadrada y Recíproca?

Familias de funciones cuadradas y cúbicas

Familia de funciones: Funciones cuadradas

Una función cuadrada es una ecuación de 2do grado, lo que significa que tiene un x ².

La gráfica de cada función cuadrada es una parábola. Una parábola tiene un vértice y un eje de simetría. La gráfica siguiente muestra estos aspectos de la gráfica de y = x ² - 3.

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Familia de funciones: Funciones cúbicas

Una función de cubo es una ecuación de tercer grado: x ³ y que no contiene exponentes negativos o fraccionarios. En general, las gráficas de las funciones cúbicas tienen una forma particular, ilustrada por la gráfica que se muestra aquí:

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Las funciones cúbicas tienen una forma similar. Sin embargo, sólo algunas funciones cúbicas tendrán un máximo y un mínimo relativos. Por ejemplo, la gráfica de y = (x - 2) ³ - 5 x mostrada anteriormente, tiene un máximo relativo alrededor de x = 0.7, y un mínimo relativo alrededor de x = 3.3. La forma de la gráfica cúbica significa que podemos predecir el comportamiento final: un extremo se acercará a ∞ y el otro se acercará a −∞.

Es importante señalar aquí que la función cúbica crece más rápido que una función cuadrática asociada. Por ejemplo, y = x ³ crece más rápido que y = x ².

Familia de funciones: Funciones de raíz cuadrada

Considerar al padre de familia,\(\ y=\sqrt{x}\). El dominio de la función está limitado a números reales ≥ 0, ya que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. De igual manera, el rango de la función se limita a números reales ≥ 0. Esto puede parecer confuso si piensas en cuadrados que tengan dos raíces. Por ejemplo, 9 tiene dos raíces: 3, y -3. Sin embargo, para\(\ y=\sqrt{x}\), tenemos que definir el valor de la función como la raíz principal, lo que significa la raíz positiva.

La función\(\ y=\sqrt{x}\) se muestra a continuación:

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El mismo tipo de limitaciones de dominio y rango existirá para cualquier función de raíz cuadrada.

Familia de funciones: Funciones recíprocas

La función\(\ y=\frac{1}{x}\) tiene una gráfica bastante sorprendente. Primero, el dominio no puede incluir 0, ya que la fracción\(\ \frac{1}{0}\) es indefinida. El rango tampoco incluye 0, ya que una fracción solo puede ser cero si el numerador es cero, y el numerador de\(\ y=\frac{1}{x}\) es siempre 1.

Para entender qué significan estas limitaciones para la gráfica, consideraremos valores de función cercanos a x = 0 e y = 0. Primero, considere valores muy pequeños de x. Por ejemplo, considere x = 0.001. Esto rinde\(\ y=\frac{1}{x}=\frac{1}{0.001}=1000\).

A medida que nos acercamos cada vez más a x = 0, los valores de la función se acercan ∞. En el otro lado del eje x los valores de la función se acercarán a −∞. Podemos ver este comportamiento en la gráfica como una asíntota vertical: la gráfica es asintótica al eje y.

También podemos ver en la gráfica que a medida que x se acerca a +∞ o −∞, los valores de la función se acercan a 0. La exclusión de y = 0 del rango significa que la función es asintótica al eje x.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Solución

Anteriormente, se le dio una pregunta sobre la identificación de las funciones parentales de varias familias de funciones.

¿Se pueden identificar las funciones principales de las funciones cuadradas, cúbicas, raíz cuadrada y recíprocas ahora?

Cuadrado:\(\ y=x^{2}\)

Cubo:\(\ y=x^{3}\)

Raíz cuadrada:\(\ y=\sqrt{x}\)

Recíproco:\(\ y=1 / x\)

Aprender las familias de funciones es una de las formas más rápidas de graficar ecuaciones complejas. Usando funciones y transformaciones principales (que se detallan en otro conjunto de lecciones), puedes graficar ecuaciones muy complejas con bastante facilidad.

Ejemplo 2

Describir el comportamiento final de cada función e identificar la función padre para cada una.

\(\ y=x^{2}-1\)
\(\ y=-x^{2}+1\)

Solución

El padre de esta función es\(\ y=x^{2}\).
El gráfico de esta función es una parábola que se abre. Por lo tanto\(\ \lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left(x^{2}-1\right)=\infty\).

El padre de esta función es\(\ y=x^{2}\)

La gráfica de esta función es una parábola que se abre hacia abajo. Por lo tanto\(\ \lim _{-x \rightarrow \pm \infty}\left(x^{2}-1\right)=-\infty\).

Todas las funciones cuadradas tienen un máximo o mínimo global. La ubicación del máximo o mínimo es siempre el vértice de la parábola. Las funciones Square también comparten el comportamiento en términos de su tasa promedio de cambio. Considere por ejemplo las funciones\(\ f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}-3\) y\(\ g(x)=2x^{2}-3\). La siguiente tabla muestra la tasa promedio de cambio (ARC) de cada función en varios intervalos.

Nota: El ARC de una función en el intervalo (a, b) es\(\ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

Intervalo	ARCO de f (x)	ARCO de g (x)	ARCO de h (x)
(-1, 0)
(0, 1)	1	1	2
(1, 2)	3	3	6
(2, 3)	5	5	10

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Observe que la tasa promedio de cambio de f (x) y g (x) es la misma en cada intervalo, y la tasa promedio de cambio de h (x) es el doble que la de las otras dos funciones. También puede notar que la tasa promedio de cambio sigue un patrón lineal: en cada intervalo la tasa aumenta a una tasa constante de 2. Mientras que las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante, las funciones cuadráticas tienen una tasa de cambio promedio que sigue un patrón lineal.

Ejemplo 3

Grafique la función\(\ y=\sqrt{3-x}+1\), identifique la función padre y establezca el dominio y el rango de la función.

Solución

La función principal es\(\ y=\sqrt{x}\)

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De la gráfica se puede ver que la función no toma ningún valor x por encima de 3. (¿Por qué no?) Por lo tanto el dominio se limita a números reales ≤ 3. El valor más bajo de la función es 1, por lo que el rango se limita a todos los números reales ≥ 1.

Es importante señalar que si bien la gráfica de una función de raíz cuadrada podría parecer como si tuviera asíntota horizontal, no lo hace. Los valores de la función crecerán sin límite (¡aunque relativamente lentamente!).

Ejemplo 4

Graficar la función\(\ f(x)=\frac{2}{x-3}\), identificar la función padre e identificar asíntotas horizontales y verticales.

Solución

La función principal es\(\ y=1 / x\)

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La gráfica es asintótica al eje x (y = 0) y a la línea x = 3.

Ejemplo 5

Identificar la función padre dentro del siguiente conjunto de funciones. Grafica el conjunto de funciones usando una calculadora gráfica. Identificar similitudes y diferencias del conjunto.

f (x) =x ² −10	f (x) =x ² −1	f (x) =x ²
f (x) =x ² +3	f (x) =x ² +9

Solución

Función Parent: La función padre de este grupo de funciones cuadráticas es la función más básica del conjunto:\(\ f(x)=x^{2}\)
Similitudes: ancho, forma, comportamiento final y grado
Diferencias: intercepciones x e y

Ejemplo 6

Identificar la función padre dentro del siguiente conjunto de funciones. Grafica el conjunto de funciones usando una calculadora gráfica. Identificar similitudes y diferencias del conjunto.

f (x) = (x+9) ³	f (x) = (x+2) ³	f (x) =x ³
f (x) = (x−4) ³	f (x) = (x−8) ³

Solución

Función Parent: La función padre de este grupo de funciones cuárticas es la función más básica del conjunto:\(\ y=x^{3}\)
Similitudes: comportamiento final, dominio y rango, dirección y ancho
Diferencias: intercepciones x e y, intervalos crecientes y decrecientes

Revisar

Explica qué es una función cuadrada:
¿Qué es una función de cubo?
Describir la tasa de crecimiento de una función cúbica relacionada con el crecimiento de una función cuadrada
Para las funciones de raíz cuadrada tenemos que definir el valor de la función como la raíz positiva, también conocida como ¿qué?
¿Por qué las funciones recíprocas son asintóticas al eje x?

Identificar la función padre dentro de cada conjunto de funciones cuadradas. Grafica cada conjunto de funciones usando una calculadora gráfica. Identificar similitudes y diferencias de cada conjunto.

Set 1:

f (x) =x ² −10	f (x) =x ² −1	f (x) =x ²
f (x) =x ² +3	f (x) =x ² +9

Set 1:

Función principal:
Similitudes:
Diferencias:

Set 2:

f (x) = (x+10) ²	f (x) = (x+4) ²	f (x) =x ²
f (x) = (x−2) ²	f (x) = (x−5) ²

Set 2:
1. Función principal:
2. Similitudes:
3. Diferencias:
Set 3:

f (x) =−x ² f (x) =x ²

Set 3:
1. Función principal:
2. Similitudes:
3. Diferencias:

Usa la información anterior y la forma de vértice de una ecuación cuadrática:\(\ f(x)=a(x-h)^{2}+k\) para ayudarte a responder las siguientes preguntas:

¿Cómo afecta el valor a a la gráfica?
¿Cómo afecta el valor h a la gráfica?
¿Cómo afecta el valor k a la gráfica?
¿Cómo son similares/diferentes los valores de dominio?
¿Cómo son los valores de rango similares/diferentes?
¿Afecta el valor a, h y/o k al dominio?
¿Afecta el valor a, h y/o k al rango?

Funciones cúbicas:

Encierra en un círculo la función padre dentro de cada conjunto de funciones cúbicas. Grafica cada conjunto de funciones usando una calculadora gráfica. Identificar similitudes y diferencias de cada conjunto.

Set 4:

f (x) =x ³ −5	f (x) =x ³ −3	f (x) =x ³
f (x) =x ³ +1	f (x) =x ³ +6

Set 4:
1. Función principal:
2. Similitudes:
3. Diferencias:
Set 5:

f (x) =−x ³ f (x) =x ³
Set 5:
1. Función principal:
2. Similitudes:
3. Diferencias:

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 1.11.

El vocabulario

Término	Definición
∞	El símbolo “∞” significa “infinito”, y es un concepto abstracto que describe un valor mayor que cualquier número contable.
eje de simetría	El eje de simetría de una parábola es una línea vertical que pasa por el vértice de la parábola. La parábola es simétrica sobre esta línea.
Cube	El cubo de un número es el número multiplicado por sí mismo tres veces. Por ejemplo, “de dos cubos” = 2 ³ =2×2×2=8.
Función cúbica	Una función cúbica es una función que contiene un término x ³ como la potencia más alta de x.
Familias de funciones	Las familias de funciones son grupos de funciones con similitudes que hacen que sean más fáciles de graficar cuando se está familiarizado con la función padre, el ejemplo más básico de la forma.
Familia de funciones	Las familias de funciones son grupos de funciones con similitudes que hacen que sean más fáciles de graficar cuando se está familiarizado con la función padre, el ejemplo más básico de la forma.
Parábola	Una parábola es la forma característica de una gráfica de función cuadrática, parecida a una “U”.
función padre	Una función padre es la forma más simple de un tipo particular de función. Todas las demás funciones de este tipo suelen compararse con la función padre.
raíz principal	La raíz principal es la raíz positiva de un número.
Función Recíproca	Una función recíproca es una función con la función padre\(\ y=\frac{1}{x}\).
cuadrado	El cuadrado de un número es el número multiplicado por sí mismo.
función cuadrada	Una función cuadrada es una función cuadrática. Su función padre es y=x ² y su gráfica es una parábola.
función de raíz cuadrada	Una función de raíz cuadrada es una función con la función padre\(\ y=\sqrt{x}\).
Transformaciones	Las transformaciones se utilizan para cambiar la gráfica de una función padre en la gráfica de una función más compleja.
Vertex	El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo en la gráfica de una parábola. El vértice es el punto máximo de una parábola que se abre hacia abajo y el punto mínimo de una parábola que se abre hacia arriba.

Atribuciones de imagen

[Figura 1]
Crédito: Fundación CK-12
Fuente: Calculadora Gráfica Desmos
[Figura 2]
Crédito: Fundación CK-12
Fuente: Calculadora Gráfica Desmos
[Figura 3]
Crédito: Fundación CK-12
Fuente: Calculadora Gráfica Desmos