1.4.3: Graficar funciones de raíz cúbica

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Graficando Funciones de Raíz Cubicada

La señora García asigna a su alumna la función de raíz cúbica\(\ y=-\sqrt[3]{(x+1)}\) para graficar para la tarea. Al día siguiente, pregunta a sus alumnos en qué cuadrante (s) se encuentra su gráfico.

Alendro dice que por el signo negativo, todos los valores y son negativos. Por lo tanto su gráfica sólo está en el cuadrante tercero y cuarto cuadrantes.

Dice Dako que su gráfica también está en el tercer y cuarto cuadrantes pero también está en el segundo cuadrante.

Marisha dice que ambos están equivocados y que su gráfica de la función está en los cuatro cuadrantes.

¿Cuál de ellos es correcto?

Graficando Funciones de Raíz Cubicada

Una función de raíz cúbica es diferente de la de una raíz cuadrada. Sus formas generales se ven muy similares,\(\ y=a \sqrt[3]{x-h}+k\) y la gráfica padre es\(\ y=\sqrt[3]{x}\). Sin embargo, podemos tomar la raíz cúbica de un número negativo, por lo tanto, se definirá para todos los valores de x. Graficando la gráfica padre, tenemos:

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x	y
-27	-3
-8	-2
-1	-1
0	0
1	1
8	2
27	3

Para\(\ y=\sqrt[3]{x}\), la salida es la misma que la entrada de\(\ y=x^{3}\). El dominio y el rango de\(\ y=\sqrt[3]{x}\) son todos números reales. Observe que no hay “punto de partida” como las funciones de raíz cuadrada, el (h, k) ahora se refiere al punto donde se dobla la función, llamado punto de inflexión.

Vamos a describir cómo obtener la gráfica de a\(\ y=\sqrt[3]{x}+5\) partir de\(\ y=\sqrt[3]{x}\).

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Sabemos que el +5 indica un desplazamiento vertical de 5 unidades hacia arriba. Por lo tanto, esta gráfica se verá exactamente igual que la gráfica padre, desplazada cinco unidades hacia arriba.

Ahora, graficemos\(\ f(x)=-\sqrt[3]{x+2}-3\) y encontremos el dominio y el rango.

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Del problema anterior, sabemos que a partir de la gráfica padre, esta función va a desplazar hacia la izquierda dos unidades y hacia abajo tres unidades. El signo negativo dará como resultado una reflexión.

Método Alternativo: Si quieres usar una tabla, eso también funcionará. Aquí hay una tabla, luego trazar los puntos. (h, k) debe ser siempre el punto medio en tu mesa.

x	y
6	-5
-1	-4
-2	-3
-3	-2
-10	-1

Por último, vamos a graficar\(\ f(x)=\frac{1}{2} \sqrt[3]{x-4}\).

El -4 nos dice que, a partir de la gráfica padre, la función se desplazará hacia la derecha cuatro unidades. Los\(\ 1 \over 2\) efectos de la rapidez con la que “crecerá” la función. Debido a que es menos de uno, crecerá más lento que la gráfica padre.

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Uso de la calculadora gráfica: Si desea graficar esta función usando el TI-83 o 84, presione Y= y borre cualquier función. Luego, presione (1÷2), MATH y desplácese hacia abajo hasta 4:\ sqrt [3] {} y presione ENTRAR. Entonces, escribe el resto de la función, para que\(\ Y=\left(\frac{1}{2}\right) \sqrt[3]{(X-4)}\). Presiona GRAPAR y ajusta la ventana.

Nota Importante: El dominio y el rango de todas las funciones raíz cúbicas son números reales.

Ejemplo 1

Solución

Anteriormente, se le pidió que determinara qué estudiante tenía razón.

Si graficas la función\(\ y=-\sqrt[3]{(x+1)}\), ves que el dominio es todo números reales, lo que hace posible todos los cuadrantes. Sin embargo, para todos los valores positivos de x, y es negativo debido al signo negativo frente a la raíz cúbica. Eso descarta el primer cuadrante. Por lo tanto, Dako tiene razón.

Ejemplo 2

Evaluar\(\ y=\sqrt[3]{x+4}-11\) cuándo\(\ x=−12\).

Solución

Enchufar\(\ x=−12\) y resolver para\(\ y\).

\(\ y=\sqrt[3]{-12+4}-11=\sqrt[3]{-8}+4=-2+4=2\)

Ejemplo 3

Describir cómo obtener la gráfica\(\ y=\sqrt[3]{x+4}-11\) de\(\ y=\sqrt[3]{x}\).

Solución

Empezando por\(\ y=\sqrt[3]{x}\), se obtendría\(\ y=\sqrt[3]{x+4}-11\) desplazando la función hacia la izquierda cuatro unidades y hacia abajo 11 unidades.

Grafique las siguientes funciones de raíz en cubos. Consulta tus gráficas en la calculadora gráfica.

Ejemplo 4

\(\ y=\sqrt[3]{x-2}-4\)

Solución

Esta función es un desplazamiento horizontal hacia la derecha dos unidades y hacia abajo cuatro unidades.

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Ejemplo 5

\(\ f(x)=-3 \sqrt{x}-1\)

Solución

Esta función es un reflejo\(\ y=\sqrt[3]{x}\) y se estira para ser tres veces más grande. Por último, se desplaza hacia abajo una unidad.

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Revisar

Evaluar\(\ f(x)=\sqrt[3]{2 x-1}\) para los siguientes valores de\(\ x\).

f (14)
f (−62)
f (20)

Grafique las siguientes funciones de raíz en cubos. Usa tu calculadora para verificar tus respuestas.

\(\ y=\sqrt[3]{x}+4\)
\(\ y=\sqrt[3]{x-3}\)
\(\ f(x)=\sqrt[3]{x+2}-1\)
\(\ g(x)=-\sqrt[3]{x}-6\)
\(\ f(x)=2 \sqrt[3]{x+1}\)
\(\ h(x)=-3 \sqrt[3]{x}+5\)
\(\ y=\frac{1}{2} \sqrt[3]{1-x}\)
\(\ y=2 \sqrt[3]{x+4}-3\)
\(\ y=-\frac{1}{3} \sqrt[3]{x-5}+2\)
\(\ g(x)=\sqrt[3]{6-x}+7\)
\(\ f(x)=-5 \sqrt[3]{x-1}+3\)
\(\ y=4 \sqrt[3]{7-x}-8\)

Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 7.5.

vocabulario

Término	Definición
Ecuación general para una función de raíz cúbica	La ecuación general para una función raíz cúbica es\(\ f(x)=a \sqrt[3]{x-h}+k\), donde h es el desplazamiento horizontal y k es el desplazamiento vertical.

Graficando Funciones de Raíz Cubicada

Graficando Funciones de Raíz Cubicada

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Grafique las siguientes funciones de raíz en cubos. Consulta tus gráficas en la calculadora gráfica.

Ejemplo 4

Ejemplo 5

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