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2.3.2: Gráficas de Funciones Racionales cuando los Grados son Iguales

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    Graficar cuando los Grados del Numerador y del Denominador son los mismos

    Darnell dice que la función\(\ y=\frac{2 x^{4}+5}{x^{4}-16}\) tiene dos asíntotas verticales, Barb dice que solo tiene una, y Aruna dice que tiene cuatro. ¿Cuál de ellos es correcto?


    Graficar funciones racionales

    Ya hemos graficado funciones en la forma\(\ y=\frac{1}{x-h}+k\), donde x=h e y=k son las asíntotas. En este concepto, ampliaremos las funciones racionales gráficas cuando tanto el denominador como el numerador sean lineales o ambos cuadráticos. Entonces, no habrá término “k” en este concepto. Pasemos por algunos problemas de práctica para determinar cualquier patrón en graficar este tipo de función racional.

    Vamos a graficar\(\ f(x)=\frac{2 x-1}{x+4}\) y encontrar asíntotas, intercepciones x e y, dominio y rango.

    Para encontrar la asíntota vertical, es la misma que antes, el valor que hace que el denominador sea cero. En este caso, x=−4. También lo mismo es cómo encontrar las intercepciones x e y.

    intercepción y (cuando x=0):\(\ y=\frac{2 \cdot 0-1}{0+4}=-\frac{1}{4}\)

    intercepción x (cuando y=0):

    \ (\\ begin {array} {l}
    0=\ frac {2 x-1} {x+4}\\
    0=2 x-1\\
    1=2 x\\
    \ frac {1} {2} =x
    \ end {array}\)

    Al resolver para la intercepción x, para sacar el denominador, multiplicamos ambos lados por x+4. Pero, cuando multiplicamos cualquier cosa por 0, queda 0. Por lo tanto, para encontrar la intercepción x, solo necesitamos establecer el numerador igual a cero y resolver para x.

    Lo último que hay que encontrar es la asíntota horizontal. Sabemos que la función es positiva, por lo que las ramas estarán en el primer y tercer cuadrantes. Hagamos una mesa.

    x y
    −13 3
    −7 5
    −5 11
    −3 −7
    −1 −1
    0 −0.25
    2 0.5
    5 1
    14 1.5

    Parece que la asíntota horizontal es y=2 porque ambas ramas parecen acercarse a 2 a medida que x se hace más grande, tanto positiva como negativa. Si conectamos x=86, y=1.9 y cuando x=−94, y=2.1. Como puede ver, incluso cuando x es muy grande, la función sigue acercándose a 2.

    f-d_a3a64de3d69d107bea525849daf9f8571934d7518b918e48e6e42c8f+image_tiny+image_tiny.png

    [Figura1]

    Mirando hacia atrás a la ecuación original\(\ f(x)=\frac{2 x-1}{x+4}\),, extraer los coeficientes principales y dejarlos numerador sobre denominador,\(\ \frac{2}{1}\). Esta es la asíntota horizontal. Podemos generalizar este patrón para todas las funciones racionales. Cuando el grado del numerador es igual al grado del denominador, la asíntota horizontal es la relación de los coeficientes iniciales.

    Finalmente, el dominio es todos los números reales; x≠ −4 y el rango son todos los números reales; y≠ 2.

    Ahora, graficemos\(\ y=\frac{3 x^{2}+10}{x^{2}-1}\) y encontremos las asíntotas, las intercepciones, el dominio y el alcance.

    Del problema anterior, podemos concluir que la asíntota horizontal está en y=3. Debido a que el denominador es cuadrado, habrá dos asíntotas verticales porque x 2 −1 factores a (x−1) (x+1). Por lo tanto, las asíntotas verticales son x=1 y x=−1. En cuanto a las intercepciones, no hay intercepciones x porque no hay una solución real para 3x 2 +10=0.

    Resolviendo para la intercepción y, tenemos\(\ y=\frac{10}{-1}=-10\).

    En este punto, pon la ecuación en tu calculadora para ver la forma general. Para graficar esta función usando un TI-83 o 84, ingrese la función en Y= así:\(\ \frac{\left(3 x^{\wedge} 2+10\right)}{\left(x^{\wedge} 2-1\right)}\) y presione GRAPAR. Deberá ampliar la ventana para incluir la parte inferior de la gráfica. La gráfica final se encuentra a continuación.

    f-d_d971b1875a193d41e84190d20d87d865802e2896e6b186da10eedc5f+image_tiny+imagen_tiny.png

    El dominio sigue siendo todos los números reales excepto las asíntotas verticales. Para esta función, eso sería todos los números reales; x≠ −1, x≠ 1.

    El rango es un poco más difícil de encontrar. Observe la brecha en el rango desde la asíntota horizontal y la intercepción y. Por lo tanto, el rango es (−∞, −10] (3, ∞).

    La notación anterior es una forma de escribir un rango de números llamado notación de intervalo y ya se introdujo . El símbolo significa “unión”. Observe que −∞ y ∞ no están incluidos en el rango.

    En general, las funciones racionales con cuadráticas en el denominador se dividen en seis regiones y tienen ramas en tres de ellas, como el problema anterior. No obstante, hay casos en los que no hay ceros ni asíntotas verticales y esos se ven muy diferentes. Siempre debes graficar la función en una calculadora gráfica después de encontrar los valores críticos y hacer un boceto lo más preciso posible.

    Por último, graficemos\(\ f(x)=\frac{x^{2}-8 x+12}{x^{2}-x-6}\) y encontremos las intercepciones, asíntotas, dominio y rango.

    Vamos a factorizar el numerador y denominador para encontrar las intercepciones y asíntotas verticales.

    \(\ f(x)=\frac{x^{2}-8 x+12}{x^{2}+x-6}=\frac{(x-6)(x-2)}{(x+3)(x-2)}\)

    Observe que tanto el numerador como el denominador tienen un factor de (x−2). Cuando esto sucede, se crea un agujero porque x=2 es tanto un cero como una asíntota. Por lo tanto, x=2 es un agujero y ni un cero ni una asíntota.

    f-d_d2131266aa3d6f540d0b531695e7b92168afe3b862bb893d2b7815dc+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png[Figura2]

    Hay una asíntota vertical en x=−3 y un cero en x=6. La asíntota horizontal está en y=1. La gráfica de\(\ f(x)=\frac{x^{2}-8 x+12}{x^{2}-x-6}\) se verá como la gráfica de\(\ f(x)=\frac{x-6}{x+3}\), pero con un agujero en x=2. Un agujero no forma parte del dominio. Y, el valor de salida que corresponde con el agujero no forma parte del rango. En este problema,\(\ f(2)=\frac{2-6}{2+3}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}\) no forma parte del rango. Si tuvieras que graficar esta función en tu calculadora gráfica, la calculadora no mostraría que hay un agujero.

    El dominio es x; x≠ 2, −3 y el rango es y; y≠ 1,\(\ -\frac{2}{3}\).


    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, se le pidió que determinara qué estudiante es correcto.

    Solución

    Las asíntotas verticales ocurren cuando el denominador de la función es igual a cero. Para la función\(\ y=\frac{2 x^{4}+5}{x^{4}-16}\), el denominador es igual a cero cuando x 4 −16=0.

    \ (\\ begin {array} {r}
    x^ {4} -16=0\\
    x^ {4} =16
    \ end {array}\)

    \(\ x=2 \text{ or } x=−2\)

    Por lo tanto, hay dos asíntotas verticales y Darnell es correcto.

    Grafica las siguientes funciones. Encuentra todas las intercepciones, asíntotas, el dominio y el rango. Comprueba tus respuestas con una calculadora gráfica.

    Ejemplo 2

    \(\ y=\frac{4 x-5}{2 x+7}\)

    Solución

    intercepción y:\(\ y=\frac{-5}{7}=-\frac{5}{7}\), x-intercepción:\(\ 0=4 x-5 \rightarrow x=\frac{5}{4}\), asíntota horizontal:\(\ y=\frac{4}{2}=2\), asíntota vertical:\(\ 2 x+7=0 \rightarrow x=-\frac{7}{2}\), dominio:\(\ \mathbb{R} ; x \neq-\frac{7}{2}\), rango:\ mathbb {R}: y\ neq 2

    F-D_709305460ecef2f7024217751eb82d71e653a333a0281158022f14be+image_tiny+image_tiny.png
    Ejemplo 3

    \(\ f(x)=\frac{x^{2}-9}{x^{2}+1}\)

    Solución

    intercepción y:\(\ y=\frac{-9}{1}=-9\), intercepta x: 0=x2−9→x=±3, asíntota horizontal: y=1, asíntota vertical: ninguna, dominio:, rango:; y≠ 1

    Nota Especial: Cuando no hay asíntotas verticales y el numerador y denominador son ambos cuadráticos, esta es la forma general. También podría reflejarse sobre la asíntota horizontal.

    f-d_7a39e212c7f9a249cc62c26e76f7bc2718d17ddabbc5b5b5bf402b158f+image_tiny+image_tiny.png[Figura3]
    Ejemplo 4

    \(\ y=\frac{2 x^{2}+7 x+3}{x^{2}+3 x+2}\)

    Solución

    intercepción y:\(\ \left(0, \frac{3}{2}\right)\), intercepta x:\(\ (−3,0)\) y\(\ \left(-\frac{1}{2}, 0\right)\), asíntota horizontal: y=2, asíntotas verticales: x=−2, x=−1.

    dominio:; x≠ −1, −2

    rango: y∈ (−∞, 2.1] [12, ∞)

    f-d_3a3f27a503a826f6267cc5d23bcb374f4e1ca6ee69ab0f884d3af41e+image_tiny+image_tiny.png
    Ejemplo 5

    \(\ y=\frac{x^{2}-4}{2 x^{2}-5 x+2}\)

    Solución

    asíntota horizontal:\(\ y=\frac{1}{2}\), intercepción y: (0, −2)

    asíntotas verticales:\(\ x=\frac{1}{2}\), intercepción x: (−2,0)

    agujero:\(\ x=2, f(2)=\frac{4}{3}\)

    dominio:\(\ \mathbb{R} ; x \neq \frac{1}{2}, 2\)

    rango:\(\ \mathbb{R} ; y \neq \frac{1}{2}, \frac{4}{3}\)

    f-d_777b9ee852bc2a2dbfa8943cfa0206cced94c7e0a86fc24823bc1e7e+image_tiny+image_tiny.png

    Revisar

    1. ¿Para qué sirven las asíntotas verticales y horizontales\(\ y=\frac{x-2}{x+7}\)?
    2. ¿Cuál es el dominio de esta función?
    3. ¿Cuál es el rango de esta función?
    4. ¿Hay alguna intercepción x? Si es así, ¿qué son?
    5. ¿Hay una intercepción y? Si es así, ¿qué es?

    Grafica las siguientes funciones racionales. Anota las ecuaciones de las asíntotas, el dominio y el rango, x e y intercepta e identifica cualquier agujero.

    1. \(\ y=\frac{x+3}{x-5}\)
    2. \(\ y=\frac{5 x+2}{x-4}\)
    3. \(\ y=\frac{3-x}{2 x+10}\)
    4. \(\ y=\frac{x^{2}+5 x+6}{x^{2}-8 x+12}\)
    5. \(\ y=\frac{x^{2}+4}{2 x^{2}+x-3}\)
    6. \(\ y=\frac{2 x^{2}-x-10}{3 x^{2}+10 x+8}\)
    7. \(\ y=\frac{x^{2}-4}{x^{2}+3 x-10}\)
    8. \(\ y=\frac{6 x^{2}-7 x-3}{4 x^{2}-1}\)
    9. \(\ y=\frac{x^{3}-8}{x^{3}+x^{2}-4 x-4}\)
    10. Gráfica\(\ y=\frac{1}{x-2}+3\) y\(\ y=\frac{3 x-5}{x-2}\) en el mismo conjunto de ejes. Compara los dos. ¿Qué notas? Explica tus resultados.

    Respuestas para problemas de revisión

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 9.5.


    vocabulario

    Término Definición
    Titulación El grado de un polinomio es el mayor exponente del polinomio.
    Agujero Existe un agujero en la gráfica de una función racional en cualquier valor de entrada que haga que tanto el numerador como el denominador de la función sean iguales a cero.
    Notación de intervalos La notación de intervalo es la notación [a, b), donde se define una función entre a y b. Use (o) para indicar que el valor final no está incluido y [o] para indicar que el valor final está incluido. Nunca use [o] con infinito o infinito negativo.

    Atribuciones de imagen

    1. [Figura 1]
      Crédito: Desmos
      Fuente: https://www.flickr.com/photos/88158121@N00/5264675378/in/photolist-92dQz9-Eu1H8y-dNnzd-Lgg8Pu-4joH9Q-5EvPtm-4RvqPH-6WffXz-77cJAq-6Cskyq-KGKy88-f4g1D8-bHRJ2k-qABFH -72qbbs-9adyth-5qslfp-6i74v3-7fbqbv-7deaxe-fv6wka-eb2ruh-6nnher-5b8kaz-4rvqix-5tuvac-4rzbba-dpkhh9-7w2emb-5tihmm-5axago-7he7vn-5wmhb3-6baczc-5jxasy-9r9dg-5axago-7he7vn-5wmhb3-6baczc-5jxasy-9r9dT9dtq-5NHZWN-9EVNVu-4RMXJF-5TUWQ4-PNBphx-6QGWVY-NKCW6M-CGVCNM-CVouyy-A1ZW65-EL4KWY-5KDWF2-T6JH6G-DZ9ANM
    2. [Figura 2]
      Crédito: Desmos
      Fuente: https://www.flickr.com/photos/88158121@N00/5264675378/in/photolist-92dQz9-Eu1H8y-dNnzd-Lgg8Pu-4joH9Q-5EvPtm-4RvqPH-6WffXz-77cJAq-6Cskyq-KGKy88-f4g1D8-bHRJ2k-qABFH -72qbbs-9adyth-5qslfp-6i74v3-7fbqbv-7deaxe-fv6wka-eb2ruh-6nnher-5b8kaz-4rvqix-5tuvac-4rzbba-dpkhh9-7w2emb-5tihmm-5axago-7he7vn-5wmhb3-6baczc-5jxasy-9r9dg-5axago-7he7vn-5wmhb3-6baczc-5jxasy-9r9dT9dtq-5NHZWN-9EVNVu-4RMXJF-5TUWQ4-PNBphx-6QGWVY-NKCW6M-CGVCNM-CVouyy-A1ZW65-EL4KWY-5KDWF2-T6JH6G-DZ9ANM
    3. [Figura 3]
      Crédito: Desmos
      Fuente: https://www.flickr.com/photos/88158121@N00/5264675378/in/photolist-92dQz9-Eu1H8y-dNnzd-Lgg8Pu-4joH9Q-5EvPtm-4RvqPH-6WffXz-77cJAq-6Cskyq-KGKy88-f4g1D8-bHRJ2k-qABFH -72qbbs-9adyth-5qslfp-6i74v3-7fbqbv-7deaxe-fv6wka-eb2ruh-6nnher-5b8kaz-4rvqix-5tuvac-4rzbba-dpkhh9-7w2emb-5tihmm-5axago-7he7vn-5wmhb3-6baczc-5jxasy-9r9dg-5axago-7he7vn-5wmhb3-6baczc-5jxasy-9r9dT9dtq-5NHZWN-9EVNVu-4RMXJF-5TUWQ4-PNBphx-6QGWVY-NKCW6M-CGVCNM-CVouyy-A1ZW65-EL4KWY-5KDWF2-T6JH6G-DZ9ANM

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