Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

2.6.2: División Sintética de Polinomios

  • Page ID
    108683
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    División Sintética de Polinomios

    El volumen de un prisma rectangular es 2x 3 +5x 2 −x−6. Determina si 2x+3 es la longitud de uno de los lados del prisma.


    División Sintética

    La división sintética es una alternativa a la división larga. También se puede utilizar para dividir un polinomio por un posible factor, x−k; sin embargo, la división sintética no se puede usar para dividir polinomios más grandes, como cuadráticos, en otro polinomio.

    Usemos división sintética para dividir 2x 4 −5x 3 −14x 2 +47x−30 por x−2.

    Usando división sintética, la configuración es la siguiente:

    f-d_bb0df65ff257f24bc20cc2e537b55b9546d67e3a1979c045428aeebd+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png[Figura1]
    f-d_ad9ebc7f23c29b2ef3a6a06a5eeaf437b13f220348e114ac147a29b4+image_tiny+image_tiny.png[Figura2]
    f-d_566e3b9edc198fde5404488bb1bbdb2799c21070a96a3dcbd6cdd0b0+image_tiny+image_tiny.png[Figura3]
    F-D_EF1695E2B29180049813595B4C2CBEF5138A494E9F8546E5E2FB6123+Image_Tiny+Image_Tiny.png[Figura4]
    f-d_2643b03a2748943aa8abb9b08f1ed03e014daf22a9bff27dc9f88805+image_tiny+image_tiny.png[Figura5]

    Para “leer” la respuesta, utilice los números de la siguiente manera:

    f-d_cebb3f3428be923759ad7d49dd48703528b89e3a414a3cd21ef0af92+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png[Figura6]

    Por lo tanto, 2 es una solución, porque el resto es cero. El polinomio factorizado es 2x 3 −x 2 −16x+15. Observe que cuando dividimos sintéticamente por k, el polinomio “sobrante” es un grado menos que el original. También podríamos escribir

    (x−2) (2x 3 −x 2 −16x+15) = 2x 4 −5x 3 −14x 2 +47x−30.

    Ahora, determinemos si 4 es una solución a f (x) =5x 3 +6x 2 −24x−16.

    Usando división sintética, contamos con:

    F-D_F3d178830cf538f9adcba3993b92051cc07e38881003d1cb97a55692+image_tiny+image_tiny.png[Figura7]

    El resto es 304, por lo que 4 no es una solución. Observe si sustituimos en x=4, también escrito f (4), tendríamos f (4) =5 (4) 3 +6 (4) 2 −24 (4) −16=304. Esto nos lleva al Teorema del Resto.

    Teorema del resto: Si f (k) =r, entonces r es también el resto cuando se divide por (x−k).

    Esto significa que si sustitues en x=k o divides por k, lo que sale de f (x) es lo mismo. r es el resto, pero también es el valor y−correspondiente. Por lo tanto, el punto (k, r) estaría en la gráfica de f (x).

    Finalmente, determinemos si (2x−5) es un factor de 4x 4 −9x 2 −100.

    Si usa división sintética, el factor no está en la forma (x−k). Necesitamos resolver el posible factor para cero para ver cuál sería la posible solución. Por lo tanto, tenemos que\(\ \frac{5}{2}\) ponernos en el cuadro de la esquina izquierda. Además, no todos los términos están representados en este polinomio. Cuando esto sucede, debes poner cero marcadores de posición. En este problema, necesitamos ceros para el −term x 3 y el x−term.

    f-d_ccd1e30500bfa71097d266e3c16ee43ae5c3c7683e8f8c12e7729edb+image_tiny+imagen_tiny.png[Figura8]

    Esto significa que\(\ \frac{5}{2}\) es un cero y su binomio correspondiente, (2x−5), es un factor.


    Ejemplo 1

    Anteriormente, se le pidió que determinara si 2x+3 es la longitud de uno de los lados del prisma.

    Solución

    Si 2x+3 se divide uniformemente en 2x 3 +5x 2 −x−6 entonces es la longitud de uno de los lados del prisma.

    Si queremos usar división sintética, observe que el factor no está en la forma (x−k). Por lo tanto, necesitamos resolver el posible factor para cero para ver cuál sería la posible solución. Si 2x+3=0 entonces x=\(\ -\frac{3}{2}\). Por lo tanto, tenemos que\(\ -\frac{3}{2}\) ponernos en el cuadro de la esquina izquierda.

    f-d_79ddb0ff53169f2986eb001138f773fe721ff2097ce696af341b85d1+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png

    Cuando realizamos la división sintética, obtenemos un resto de 0. Esto significa que (2x+3) es un factor del volumen. Por lo tanto, también es la longitud de uno de los lados del prisma rectangular.

    Ejemplo 2

    Divide x 3 +9x 2 +12x−27 por (x+3). Escribe el polinomio resultante con el resto (si hay uno).

    Solución

    Usando división sintética, divida por -3.

    f-d_675ef9222ed3f0103bb95cbe1069f625a25289bf03793edb49ad3c3f+image_tiny+image_tiny.png[Figura9]

    La respuesta es\(\ x^{2}+6 x-6-\frac{9}{x+3}\).

    Ejemplo 3

    Divide 2x 4 −11x 3 +12x 2 +9x−2 por (2x+1). Escribe el polinomio resultante con el resto (si hay uno).

    Solución

    Usando división sintética, dividir por\(\ -\frac{1}{2}\).

    f-d_b70241e10ae3877602327f8daacfcbcf738ab1f0a75c2463b8dfa9d2+image_tiny+imagen_tiny.png[Figura10]

    La respuesta es\(\ 2 x^{3}-12 x^{2}+18 x-\frac{2}{2 x+1}\)

    Ejemplo 4

    ¿6 es una solución para f (x) =x 3 −8x 2 +72? Si es así, encuentre los ceros de número real (soluciones) del polinomio resultante.

    Solución

    Ponga un marcador de posición cero para el x−term. Dividir por 6.

    F-D_AE4E846C0981613333053366726911BD7651147A6F1343D61C46FD50+Image_Tiny+Image_Tiny.png

    El polinomio resultante es x 2 −2x−12. Si bien esta cuadrática no factorial, podemos usar la Fórmula Cuadrática para encontrar las otras raíces.

    \(\ x=\frac{2 \pm \sqrt{2^{2}-4(1)(-12)}}{2}=\frac{2 \pm \sqrt{4+48}}{2}=\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2}=1 \pm \sqrt{13}\)

    Las soluciones a este polinomio son\(\ 6,1+\sqrt{13} \approx 4.61 \text { and } 1-\sqrt{13} \approx-2.61\).


    Revisar

    Utilice la división sintética para dividir los siguientes polinomios. Escribe el polinomio restante.

    1. (x 3 +6x 2 +7x+10) ÷ (x+2)
    2. (4x 3 −15x 2 −120x−128) ÷ (x−8)
    3. (4x 2 −5) ÷ (2x+1)
    4. (2x 4 −15x 3 −30x 2 −20x+42) ÷ (x+9)
    5. (x 3 −3x 2 −11x+5) ÷ (x−5)
    6. (3x 5 +4x 3 −x−2) ÷ (x−1)
    7. ¿Cuál de los problemas de división anteriores no genera remanente? ¿Qué significa eso?
    8. ¿Cuál es la diferencia entre un cero y un factor?
    9. Encuentra f (−2) si f (x) =2x 4 −5x 3 −10x 2 +21x−4.
    10. Ahora, divida 2x 4 −5x 3 −10x 2 +21x−4 por (x+2) sintéticamente. ¿Qué notas?

    Encuentra todos los ceros reales de los siguientes polinomios, dado un cero.

    1. 12x 3 +76x 2 +107x−20; −4
    2. x 3 −5x 2 −2x+10; −2
    3. 6x 3 −17x 2 +11x−2; 2

    Encuentra todos los ceros reales de los siguientes polinomios, dados dos ceros.

    1. x 4 +7x 3 +6x 2 −32x−32; −4, −1
    2. 6x 4 +19x 3 +11x 2 −6x; 0, −2

    Respuestas para problemas de revisión

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 6.10.


    vocabulario

    Término Definición
    Asymptota oblicua Una asíntota oblicua es una línea diagonal que marca un rango específico de valores hacia los cuales la gráfica de una función puede acercarse, pero generalmente nunca llegar. Existe una asíntota oblicua cuando el numerador de la función es exactamente un grado mayor que el denominador. Una asíntota oblicua se puede encontrar a través de una división larga.
    asíntotas oblicuas Una asíntota oblicua es una línea diagonal que marca un rango específico de valores hacia los cuales la gráfica de una función puede acercarse, pero generalmente nunca llegar. Existe una asíntota oblicua cuando el numerador de la función es exactamente un grado mayor que el denominador. Una asíntota oblicua se puede encontrar a través de una división larga.
    Teorema del resto El teorema del resto establece que si f (k) =r, entonces r es el resto al dividir f (x) por (x−k).
    División Sintética La división sintética es una versión abreviada de la división polinómica larga donde solo se utilizan los coeficientes del polinomio.


    This page titled 2.6.2: División Sintética de Polinomios is shared under a CK-12 license and was authored, remixed, and/or curated by CK-12 Foundation via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.

    CK-12 Foundation
    LICENSED UNDER
    CK-12 Foundation is licensed under CK-12 Curriculum Materials License