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2.6.3: Ceros reales de polinomios

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    108664
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    Ceros reales de polinomios

    En el mundo real, los problemas no siempre encajan fácilmente en ecuaciones cuadráticas o incluso cúbicas. Los modelos financieros, los modelos de población, la actividad fluida, etc., a menudo requieren muchos grados de la variable de entrada para aproximar el comportamiento general. Si bien puede ser un desafío modelar algunas de estas interacciones más complejas, el esfuerzo puede valer la pena. Los modelos matemáticos de acciones se utilizan constantemente como una forma de “mirar hacia el futuro” de las finanzas y hacer los tipos de conjeturas educadas que están detrás de algunas de las fortunas más grandes del mundo.

    ¿Qué beneficios se te ocurren al modelar el comportamiento de grandes poblaciones? ¿Se te ocurren otras aplicaciones útiles que no se mencionan aquí?


    Encontrar ceros reales de polinomios

    Hay tres teoremas y una regla a la que nos referiremos durante esta lección para ayudar a facilitar el descubrimiento de las raíces de las funciones polinómicas. Debe revisarlos y estar preparado para referirse a ellos a menudo durante los problemas de práctica.

    El teorema del resto

    Si un polinomio f (x) de grado n>0 se divide por x−c, entonces el resto R es una constante y es igual al valor del polinomio cuando c se sustituye por x.

    f (c) =R

    El teorema de los factores

    Si f (x) es un polinomio de grado n>0 y f (c) =0, entonces x−c es un factor del polinomio f (x). Además, si x−c es un factor, entonces c es un cero de f.

    El Teorema Racional del Cero

    Dado el polinomio

    f (x) =a n x n +a n−1 x n−1 ++a 1 x+a 0

    a n ≠ 0 y n es un entero positivo. Si los coeficientes son enteros y\(\ \frac{p}{q}\) es un cero racional en términos más bajos, entonces p es un divisor de a 0 y q es un divisor de a n.

    Regla de Señales de Descartes

    Dado cualquier polinomio, p (x),

    1. Escríbelo con los términos en orden descendente, es decir, desde el término de grado más alto hasta el término de grado más bajo.
    2. Contar el número de cambios de signo de los términos en p (x). Llame al número de cambios de signo n.
    3. Entonces el número de raíces positivas de p (x) es menor o igual a n.
    4. Además, el número posible de raíces positivas es n, n−2, n−4,...
    5. Para encontrar el número de raíces negativas de p (x), escriba p (−x) en orden descendente como arriba (es decir, cambie el signo de todos los términos en p (x) con potencias impares) y repita el proceso anterior. Entonces el número máximo de raíces negativas es n.

    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, se le preguntó si podía identificar algunos usos valiosos del mundo real para modelar polinomios de mayor grado.

    Solución

    Aquí hay algunas posibilidades:

    • Identificar qué horas del día es más probable que las personas quieran café (estudios de mercado como este son clave para administrar su propio negocio)
    • Predecir el crecimiento de la población en un barrio o área particular de la ciudad (útil para identificar una buena ubicación para iniciar un pequeño negocio)
    • Identificar qué poblaciones pueden subir o bajar según el clima o la temporada
    • Pronosticar el clima
    • Calculando la ventaja adecuada para dar un auto más lento para hacer emocionante una carrera de resistencia

    Hay muchos, muchos más.

    Ejemplo 2

    Usa la división sintética y el resto y teoremas de factores para encontrar el cociente Q (x) y el resto R si f (x) =2x 3 −3x 2 +6 se divide por x−5.

    Solución

    Screen Shot 2021-01-18 a las 11.25.59 PM.png

    De ahí

    2x 3 −3x 2 +6 =( 2x 2 +7x+35) (x−5) +181

    Observe que el resto es 181 y también se puede obtener si simplemente sustituimos x=5 en f (x),

    \ (\\ begin {alineado}
    f (5) &=2 (5) ^ {3} -3 (5) ^ {2} +6\\
    &=250-75+6\\
    &=181
    \ end {alineado}\)

    Ejemplo 3

    Utilizar el teorema racional del cero y la división sintética para encontrar todos los ceros racionales posibles del polinomio

    f (x) =x 3 −2x 2 −x+2

    Solución

    Del teorema del cero racional,\(\ \frac{p}{q}\) es un cero racional del polinomio f. Entonces p es un divisor de 2 y q es un divisor de 1. De ahí que p pueda tomar los siguientes valores: -1, 1, -2, 2 y q puede ser -1 o 1. Por lo tanto, los posibles valores de\(\ \frac{p}{q}\) son

    \(\ \frac{p}{q}:-1,1,-2,2\)

    Entonces hay cuatro ceros posibles. De estos cuatro, no más de tres pueden ser ceros de f porque f es un polinomio con grado 3. Para probar cuál de los cuatro posibles candidatos son ceros de f, utilizamos la división sintética. Recordemos del teorema restante si f (c) =0, entonces c es un cero de f. tenemos

    Screen Shot 2021-01-18 a las 11.31.13 PM.png

    Por lo tanto, 2 es un cero de f. Además, por el algoritmo de división,

    \ (\\ comenzar {alineado}
    f (x) &= (x-c) Q (x) +R (x)\\
    & =( x-2)\ izquierda (x^ {2} -1\ derecha) +0
    \ final {alineado}\)

    Los ceros restantes de f son simplemente los ceros de Q (x) =x 2 −1 que es más fácil de manipular,

    \ (\\ comenzar {alineado}
    Q (x) &=x^ {2} -1\\
    & =( x-1) (x+1)
    \ final {alineado}\)

    y así los ceros restantes son -1 y 1. Así, los ceros racionales de f son -1, 1 y 2.

    Ejemplo 4

    Grafica la función polinómica h (x) =2x 3 −9x 2 +12x−5.

    Solución

    Observe que el término principal es 2x 3, donde n=3 impar y un n =2>0. Esto nos dice que el comportamiento final tomará la forma de una función de potencia con un exponente impar.

    Aquí, como puede ver, no hay una manera directa de encontrar los ceros de h (x). Sin embargo, con el uso del teorema factorial y la división sintética, podemos encontrar las raíces racionales de h (x).

    Primero, utilizamos el teorema racional del cero y encontramos que los posibles ceros racionales son

    \(\ \frac{p}{q}:-1,1,-2,2,-5,5,-\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\)

    probando todos estos números por la división sintética,

    Screen Shot 2021-01-18 a las 11.37.11 PM.png

    -1 no es una raíz. Ahora vamos a probar x=1.

    Screen Shot 2021-01-18 a las 11.38.49 PM.png

    encontramos que 1 es un cero de h y así podemos reescribir h (x),

    h (x) = (2x 2 −7x+5) (x−1)

    Mirando la parte cuadrática,

    2x 2 −7x+5 =( 2x−5) (x−1)

    y así

    h (x) = (2x−5) (x−1) 2

    Así 1 y\(\ \frac{5}{2}\) son las intercepciones x−de h (x). La intercepción y es

    h (0) =−5

    Además, la división sintética también se puede utilizar para formar una tabla de valores para la gráfica de h (x):

    x −1 0 1 2 \(\ \frac{5}{2}\) 3
    h (x) −28 −5 0 -1 0 4

    Elegimos puntos de prueba de cada intervalo y encontramos g (x).

    Intervalo Valor de prueba x h (x) Signo de h (x) Ubicación de los puntos en la gráfica
    (−∞, 1) -1 -28 - debajo del eje x
    (1,\(\ \frac{5}{2}\)) \(\ \frac{3}{2}\) \(\ \frac{-11}{4}\) - debajo del eje x
    (\(\ \frac{5}{2}\), ∞) 3 4 + por encima del eje x

    A partir de esta información, se muestra la gráfica de h (x) en las dos gráficas siguientes. Observe que la segunda gráfica es una ampliación de h (x) en las proximidades del eje x.

    f-d_7da9c3da19df3948e76ff28b7cc07a58928eac0031639f426296b872+image_tiny+image_tiny.jpg[Figura1]
    F-d_bebc0e20752cc82809b659045943e34758892ee62281597177a5c3e7+image_tiny+image_tiny.jpg[Figura2]
    Ejemplo 5

    Utilizar el teorema del 'cero racional' y la división sintética para encontrar todos los ceros racionales posibles del polinomio

    f (x) =x 3 −2x 2 −5x+6

    Solución

    Supongamos que\(\ p\over q\) es un cero racional de f. Por el teorema del cero racional, p es un divisor de 6 y q es un divisor de 1. Así p y q pueden asumir los siguientes valores respectivos

    p: 1, −1, 2, −2, 3, −3, 6, −6

    y

    q: −1, 1

    Por lo tanto, los posibles ceros racionales serán

    \(\ p\over q\): −1, 1, −2, 2, −3, 3, −6, 6

    Observe que con estas opciones para p y q podría haber 82=16 ceros racionales. Pero, ocho de ellos son duplicados. Por ejemplo\(\ \frac{1}{-1}=\frac{-1}{1}=-1\). El siguiente paso es probar todos estos valores por la división sintética (te dejaremos hacer esto por tu cuenta para la práctica) y finalmente encontramos que 1, −2 y 3 son ceros de f.

    f (x) =x 3 −2x 2 −5x+6

    = (x−1) (x+2) (x−3)

    Ejemplo 6

    Utiliza la Regla de Signos de Descartes para identificar el posible número de raíces positivas y negativas de

    f (x) =−2x 3 +x 2 −3x 5 +5x−1.

    Solución

    Primero, vuelva a escribir f (x) en orden descendente

    f (x) =−3x 5 −2x 3 +x 2 +5x−1.

    El número de cambios de signo de f (x) es 2, por lo que el número de raíces positivas es 2 o 0.

    Para las raíces negativas, escribe

    f (−x) =−3x 5 +2x 3 +x 2 −5x−1

    El número de cambios de signo de f (−x) es 2, por lo que el número máximo de raíces negativas es 2.

    La gráfica de f (x) a continuación muestra que hay una raíz negativa y dos raíces positivas.

    F-d_b673829e13a457337ee0a6b404f4d84303bfb4ae14cD05fe09d2ef0+image_tiny+image_tiny.jpg[Figura3]


    Revisar

    Preguntas 1 a 3: Utilizar a) división larga y b) división sintética para realizar las divisiones. Expresar cada resultado en la forma: f (x) =D (x) Q (x) +R.

    1. 5x 5 − 3x 4 + 2x 3 + x 2 − 7x + 3 por x−2
    2. −4x 6 − 5x 3 + 3x 2 + x + 7 por x−1
    3. 2x 3 − 5x 2 + 5x + 11 por x -\(\ \frac{1}{2}\)
    4. Usa división sintética para encontrar Q (x) y f (c) de modo que f (x) = (x−c) Q (x) +f (c) si f (x) = −3x 4 − 3x 3 + 3x 2 + 2x − 4 y c = −2
    5. Si f (x) = x 3 + 2x 2 − 10x + 10, utilice división sintética para determinar lo siguiente: a) f (−1) b) f (−3) c) f (0) d) f (4) e) ¿Cuáles son los factores de f (x)?
    6. Encuentra k para que x−2 sea un factor de f (x) = 3x 3 + 4x 2 + kx − 20
    7. Usa división sintética para determinar todos los ceros de los polinomios: a) f (x) = 3x 3 − 7x 2 + 8x − 2 b) g (x) = 4x 4 − 4x 3 − 7x 2 + 4x + 3
    8. Grafica la función polinómica f (x) = x 3 − 2x 2 − 5x + 6 usando división sintética para encontrar las intercepciones x−y localizar las intercepciones y−.
    9. Grafica la función polinómica h (x) = x 3 − 3x 2 + 4 usando división sintética para encontrar las intercepciones x−y localizar las intercepciones y−.
    10. Escribe una ecuación de 3er grado de una función polinómica con los ceros: 0, 2 y -5.
    11. Escribir una ecuación de 7º grado de una función polinómica con los ceros: 0 (multiplicidad 2), 2 (multiplicidad 3) y -5 (multiplicidad 2)
    12. Escribe una ecuación cuadrática que tenga 4 (multiplicidad 2) como el cero y se abra hacia abajo.
    13. Escribir una función polinómica de 3er grado con los ceros: -2, 2 y 6, pasando por el punto (3, 4)
    14. Sea f (x) = 2x 3 − 5x 2 − 4x + 3 y encuentre las soluciones: a) f (x) =0 b) f (2x) =0
    15. Grafica y encuentra el conjunto de soluciones de la desigualdad x 3 − 2x 2 − 5x + 6 ≤ 0.
    16. Usa la gráfica de f (x) =x (x−1) (x+2) para encontrar el conjunto de soluciones de la desigualdad x (x−1) (x+2) >0.

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 2.12.


    El vocabulario

    Término Definición
    Regla de Señales de Descartes La regla de signos de Descartes es una técnica para determinar el número de raíces reales positivas y negativas de un polinomio.
    teorema de factores El teorema del factor establece que si f (x) es un polinomio de grado n>0 y f (c) =0, entonces x−c es un factor del polinomio f (x).
    teorema de factorización El teorema de factorización establece que Si f (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + + a 1 x + a 0, donde a n ≠ 0, y n es un entero positivo, entonces f (x) = a n (x−c 1) (x−c 2) (x−c 0) donde los números ci son números complejos.
    Multiplicidad La multiplicidad de un término describe el número de veces que el término dado actúa como un cero de la función dada.
    Polinomio Un polinomio es una expresión con al menos un término algebraico, pero que no indica división por una variable ni contiene variables con exponentes fraccionarios.
    Teorema Racional Cero El teorema racional del cero establece que para un polinomio, f (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + + a 1 x + a 0, donde an, a n−1, a 0 son enteros, las raíces racionales se pueden determinar a partir de los factores de an y a0. Más específicamente, si p es un factor de a0 y q es un factor de an, entonces todos los factores racionales tendrán la forma\(\ \pm \frac{p}{q}\).
    Teorema del resto El teorema del resto establece que si f (k) =r, entonces r es el resto al dividir f (x) por (x−k).
    Raíces Las raíces de una función son los valores de x que hacen y igual a cero.
    División Sintética La división sintética es una versión abreviada de la división polinómica larga donde solo se utilizan los coeficientes del polinomio.
    Ceros Los ceros de una función f (x) son los valores de x que hacen que f (x) sea igual a cero.
    Ceros Los ceros de una función f (x) son los valores de x que hacen que f (x) sea igual a cero.

    Atribuciones de imagen

    1. [Figura 1]
      Crédito: CK-12
      Fuente: CK-12
    2. [Figura 2]
      Crédito: CK-12
      Fuente: CK-12
    3. [Figura 3]
      Crédito: CK-12
      Fuente: CK-12

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