3.3.1: Propiedades de Producto y Cociente de Logaritmos
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Propiedades del Producto y del Cociente de Logaritmos
Tu amigo Robbie trabaja como servidora en una pizzería. Tú y dos de tus amigos van al restaurante y piden una pizza. Le pides a Robbie que te traiga cheques separados para que puedas dividir el costo de la pizza. En lugar de traerte tres cheques, Robbie te trae uno con el registro total 3 162−log 3 2. “Esto es lo que cada uno de ustedes debe”, dice mientras deja caer la cuenta sobre la mesa. ¿Cuánto debe cada uno de ustedes?
Propiedades del Producto y del Cociente de Logaritmos
Al igual que los exponentes, los logaritmos tienen propiedades especiales, o atajos, que se pueden aplicar al simplificar expresiones. En esta lección, abordaremos dos de estos inmuebles.
Simplifiquemos log b x + log b y.
Primero, observe que estos troncos tienen la misma base. Si no lo hacen, entonces las propiedades no aplican.
log b x = m y log b y = n, luego b m = x y b n =y.
Ahora, multiplique las dos últimas ecuaciones juntas.
\ (\\ comenzar {alineado}
b^ {m}\ cdot b^ {n} &=x y\\
b^ {m+n} &=x y
\ end {alineado}\)
Recordemos, que cuando se multiplican dos exponentes con la misma base, podemos sumar los exponentes. Ahora, vuelva a aplicar el logaritmo a esta ecuación.
\(\ b^{m+n}=x y \rightarrow \log _{b} x y=m+n\)
Recordemos eso\(\ m=\log _{b} x \text { and } n=\log _{b} y, \text { therefore } \log _{b} x y=\log _{b} x+\log _{b} y\).
Esta es la Propiedad Producto de los Logaritmos.
Ahora, vamos a expandir el registro 12 4y.
Aplicando la Propiedad del Producto del problema anterior, tenemos:
log 12 4y = log 12 4 + log 12 y
Por último, simplifiquemos log 3 15−log 3 5.
Como cabría esperar, el cociente de propiedad de logaritmos es\(\ \log _{b} \frac{x}{y}=\log _{b} x-\log _{b} y\) (prueba en la sección Revisión). Por lo tanto, la respuesta es:
\ (\\ comenzar {alineado}
\ log _ {3} 15-\ log _ {3} 5 &=\ log _ {3}\ frac {15} {5}\\
&=\ log _ {3} 3\\
&=1
\ end {alineado}\)
Ejemplos
Antes, se le pidió que encontrara la cantidad que cada uno de ustedes debe.
Solución
Si reescribe log 3 162−log 3 2 como log 3\(\ \frac{162}{2}\), obtendrá log 3 81.
3 4 =81 así que cada uno debe $4.
Simplifica la siguiente expresión: log 7 8 + log 7 x 2 + log 7 3y.
Solución
Combine todos los registros juntos usando la Propiedad del Producto.
log 7 8 + log 7 x 2 + log 7 3y = log 7 8x 2 3y
=log 7 24x 2 y
Simplifique la siguiente expresión: log y−log 20+log 8x.
Solución
Utilice tanto la Propiedad Producto como la Propiedad del Cociente para condensar.
\ (\\ comenzar {alineado}
\ log y-\ log 20+\ log 8 x &=\ log\ frac {y} {20}\ cdot 8 x\\
&=\ log\ frac {2 x y} {5}
\ end {alineado}\)
Simplifica la siguiente expresión: log 2 32 − log 2 z.
Solución
Ten cuidado; no tienes que usar ninguna regla aquí, solo la definición de un logaritmo.
log 2 32−log 2 z=5−log 2 z
Simplifica la siguiente expresión:\(\ \log _{8} \frac{16 x}{y^{2}}\).
Solución
Al expandir un tronco, haga primero la división y luego separe aún más el numerador.
\ (\\ comenzar {alineado}
\ log _ {8}\ frac {16 x} {y^ {2}} &=\ log _ {8} 16 x-\ log _ {8} y^ {2}\\
&=\ log _ {8} 16+\ log _ {8} x-\ log _ {8} y^ {2}\\
&=\ frac {4} {3} +\ log _ {8} x-\ log _ {8} y^ {2}
\ final {alineado}\)
Para determinar el registro 8 16, utilice la definición y potencias de 2:
\(\ 8^{n}=16 \rightarrow 2^{3 n}=2^{4} \rightarrow 3 n=4 \rightarrow n=\frac{4}{3}\)
Revisar
Simplifica las siguientes expresiones logarítmicas.
- log 3 6 + log 3 y − log 3 4
- log12 − logx+log y 2
- log 6 x 2 − log 6 x − log 6 y
- ln8 + ln6 − ln12
- ln7 − ln14 + ln10
- log 11 22 + log 11 5 − log 11 55
Expanda las siguientes funciones logarítmicas.
- registro 6 (5x)
- registro 3 (abc)
- \(\ \log \left(\frac{a^{2}}{b}\right)\)
- \(\ \log _{9}\left(\frac{x y}{5}\right)\)
- \(\ \log \left(\frac{2 x}{y}\right)\)
- \(\ \log \left(\frac{8 x^{2}}{15}\right)\)
- \(\ \log _{4}\left(\frac{5}{9 y}\right)\)
- Escribir una prueba algebraica de la Propiedad Cociente. Comienza con la expresión log a x − log a y y las ecuaciones log a x = m y log a y = n en tu prueba. Consulte el comprobante de la Propiedad del Producto en el problema de primera práctica como guía para su comprobante.
Respuestas para problemas de revisión
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vocabulario
Término | Definición |
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Propiedad del producto de logaritmos | La propiedad producto de logaritmos establece que mientras\(\ b≠1\), entonces\(\ \log _{b} x y=\log _{b} x+\log _{b} y\) |
Propiedad del cociente de logaritmos | El cociente propiedad de logaritmos establece que mientras\(\ b≠1\), entonces\(\ \log _{b} \frac{x}{y}=\log _{b} x-\log _{b} y\). |