3.3.3: Propiedades inversas de logaritmos

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Propiedades inversas de funciones logarítmicas

Si continúas estudiando matemáticas en la universidad, puedes tomar un curso llamado Ecuaciones Diferenciales. Allí aprenderá que la solución a la ecuación diferencial y′=y es la función general y=Ce ^x. ¿Cuál es la inversa de esta función?

Propiedades inversas de logaritmos

Por la definición de un logaritmo, es la inversa de un exponente. Por lo tanto, una función logarítmica es la inversa de una función exponencial. Recordemos lo que significa ser una inversa de una función. Cuando se componen dos inversos, son iguales\(\ x\). Por lo tanto, si\(\ f(x)=b^{x} \text { and } g(x)=\log _{b} x\), entonces:

\(\ f \circ g=b^{\log _{b} x}=x \text { and } g \circ f=\log _{b} b^{x}=x\)

A estas se les llama las Propiedades Inversas de los Logaritmos.

Resolvamos los siguientes problemas. Utilizaremos las propiedades inversas de logaritmos.

Encuentra\(\ 10^{\log 56}\).
Usando la primera propiedad, vemos que las bases se cancelan entre sí. \(\ 10^{\log 56}=56\)

\(\ e^{\ln 6} \cdot e^{\ln 2}\)

Aquí,\(\ e\) y el registro natural cancelan y nos quedamos con 62=12.
Encontrar\(\ \log _{4} 16^{x}\) Vamos a utilizar la segunda propiedad aquí. También, reescribir 16 como 4 ².
\(\ \log _{4} 16^{x}=\log _{4}\left(4^{2}\right)^{x}=\log _{4} 4^{2 x}=2 x\)
Encuentra la inversa de\(\ f(x)=2 e^{x-1}\).
Cambiar\(\ f(x)\) a\(\ y\). Entonces, cambiar\(\ x\) y\(\ y\).

\ (\\ begin {array} {l}
y=2 e^ {x-1}\\
x=2 e^ {y-1}
\ end {array}\)

Ahora, necesitamos aislar al exponente y tomar el logaritmo de ambos lados. Primero divide por 2.

\ (\\ begin {array} {l}
\ frac {x} {2} =e^ {y-1}\\
\ ln\ left (\ frac {x} {2}\ derecha) =\ ln e^ {y-1}
\ end {array}\)

Recordemos las propiedades inversas de logaritmos de antes en este concepto. \(\ \log _{b} b^{x}=x\); aplicando esto al lado derecho de nuestra ecuación, tenemos\(\ \ln e^{y-1}=y-1\). Resolver para\(\ y\).

\ (\\ begin {array} {l}
\ ln\ left (\ frac {x} {2}\ derecha) =y-1\\
\ ln\ left (\ frac {x} {2}\ derecha) +1=y
\ end {array}\)

Por lo tanto,\(\ \ln \left(\frac{x}{2}\right)+1\) es la inversa de\(\ 2 e^{y-1}\).

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que encontrara la inversa de\(\ y=C e^{x}\).

Solución

Cambie x e y en la función\(\ y=C e^{x}\) y luego resuelva para y.

\ (\\ comenzar {matriz} {r}
x=C e^ {y}\
\ frac {x} {C} =e^ {y}\\
\ ln\ frac {x} {C} =\ ln\ izquierda (e^ {y}\ derecha)\
\ ln\ frac {x} {C} =y
\ end {array}\)

Por lo tanto, la inversa de\(\ y=C e^{x} \text { is } y=\ln \frac{x}{C}\).

Ejemplo 2

Simplificar\(\ 5^{\log _{5} 6 x}\).

Solución

Usando la primera propiedad inversa, el registro y la base se cancelan, dejando\(\ 6x\) como respuesta.

\(\ 5^{\log _{5} 6 x}=6 x\)

Ejemplo 3

Simplificar\(\ \log _{9} 81^{x+2}\).

Solución

Usando la segunda propiedad inversa y cambiando 81 en 9 ² tenemos:

\ (\\ comenzar {alineado}
\ log _ {9} 81^ {x+2} &=\ log _ {9} 9^ {2 (x+2)}\\
&=2 (x+2)\\
&=2 x+4
\ end {alineado}\)

Ejemplo 4

Encuentra la inversa de\(\ f(x)=4^{x+2}-5\).

Solución

\ (\\ begin {alineado}
f (x) &=4^ {x+2} -5\\
y &=4^ {x+2} -5\\
x &=4^ {y+2} -5\\
x+5 &=4^ {y+2}\
\ log _ {4} (x+5) &=y+2\\
\ log _ {4} (x+5) -2 &=y
\ end {alineado}\)

Revisar

Utilice las propiedades inversas de logaritmos para simplificar las siguientes expresiones.

\(\ \log _{3} 27^{x}\)
\(\ \log _{5}\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\)
\(\ \log _{2}\left(\frac{1}{32}\right)^{x}\)
\(\ 10^{\log (x+3)}\)
\(\ \log _{6} 36^{(x-1)}\)
\(\ 9^{\log _{9}(3 x)}\)
\(\ e^{\ln (x-7)}\)
\(\ \log \left(\frac{1}{100}\right)^{3 x}\)
\(\ \ln e^{(5 x-3)}\)

Encuentra la inversa de cada una de las siguientes funciones exponenciales.

\(\ y=3 e^{x+2}\)
\(\ f(x)=\frac{1}{5} e^{\frac{x}{7}}\)
\(\ y=2+e^{2 x-3}\)
\(\ f(x)=7^{\frac{3}{x}+1-5}\)
\(\ y=2(6)^{\frac{x-5}{2}}\)
\(\ f(x)=\frac{1}{3}(8)^{\frac{x}{2}-5}\)

Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.6.

El vocabulario

Término	Definición
Propiedades inversas de logaritmos	Las propiedades inversas de logaritmos son\(\ \log _{b} b^{x}=x \text { and } b^{\log _{b} x}=x, b \neq 1\).