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3.4.1: Gráficas de Funciones Logarítmicas

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    Graficar funciones logarítmicas

    Tu tarea de matemáticas es averiguar en qué cuadrantes cae la gráfica de la función f (x) =4ln (x+3). De camino a casa, tu mejor amigo te dice: “¡Esta es la tarea más fácil de la historia! Todas las funciones logarítmicas caen en los Cuadrantes I y IV”. No estás tan seguro, así que te vas a casa y graficas la función según las instrucciones. Tu gráfica cae en el Cuadrante I como pensaba tu amigo, pero en vez del Cuadrante IV, también cae en los Cuadrantes II y III. ¿Cuál de ustedes es correcto?


    Graficar funciones logarítmicas

    Ahora que nos sentimos más cómodos con el uso de estas funciones como inversas, usemos esta idea para graficar una función logarítmica. Recordemos que las funciones son inversas entre sí cuando son imágenes especulares sobre la línea y=x Por lo tanto, si reflejamos y=b x sobre y=x, entonces obtendremos la gráfica de y=log b x.

    F-d_80525656f38f5a7a15ab4dba8c4a08637c010ea86ee45edc22fcf78c+image_tiny+image_tiny.png[Figura1]
    f-d_75f2037ae4a256be115ae2d5aa78fc1e59c20e280e401a548f197b03+image_tiny+image_tiny.png[Figura2]

    Recordemos que una función exponencial tiene una asíntota horizontal. Debido a que el logaritmo es su inverso, tendrá una asíntota vertical. La forma general de una función logarítmica es f (x) =a log b (x−h) +k y la asíntota vertical es x=h El dominio es x>h y el rango es todos números reales. Por último, si b>1, la gráfica se mueve hacia arriba hacia la derecha. Si 0<b<1, la gráfica se mueve hacia abajo hacia la derecha.

    Vamos a graficar y=log 3 (x−4) e indicar el dominio y el rango.

    F-d_8651D270561b5c075e0af578c62724043b84970c84abac1dd30a8761+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.jpg

    Para graficar una función logarítmica sin calculadora, comience dibujando la asíntota vertical, en x=4. Sabemos que la gráfica va a tener la forma general de la primera función anterior. Trace algunos puntos, como (5, 0), (7, 1) y (13, 2) y conéctese.

    El dominio es x>4 y el rango es todo números reales.

    Ahora, determinemos si (16, 1) está en y=log (x−6).

    Enchufe el punto a la ecuación para ver si se mantiene verdadera.

    \ (\\ begin {array} {l}
    1=\ log (16-6)\\
    1=\ log 10\\
    1=1
    \ end {array}\)

    Sí, esto es cierto, entonces (16, 1) está en la gráfica.

    Finalmente, vamos a graficar f (x) =2ln (x+1).

    Para graficar un registro natural, podemos usar una calculadora gráfica. Presione Y= e ingrese en la función, y=2Ln (x+1), GRÁFICO.

    F-d_60d1549ab000333571c12973cc3a5d8d22f7ea549fe1fda623ec4fc5+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.jpg


    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, se le pidió que determinara si su amigo estaba en lo cierto.

    Solución

    La asíntota vertical de la función f (x) =4ln (x+3) es x=−3. Dado que x se acercará a −3 pero nunca lo alcanzará del todo, x puede asumir algunos valores negativos. De ahí que la función caerá en los Cuadrantes II y III. Por lo tanto, tienes razón y tu amigo se equivoca.

    Ejemplo 2

    Gráfica\(\ y=\log _{\frac{1}{4}} x+2\) en una ventana apropiada.

    Solución

    Primero, hay una asíntota vertical en x=0. Ahora, determine algunos puntos fáciles, puntos donde el registro es fácil de encontrar; como (1, 2), (4, 1), (8, 0.5) y (16, 0).

    F-d_59041b96b2019e7b4be9a27911104aef12fa39db3c6b1c035763c347+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.jpg

    Para graficar una función logarítmica usando un TI-83/84, ingrese la función en Y= y use el Cambio de Fórmula Base:\(\ \log _{a} x=\frac{\log _{b} x}{\log _{b} a}\). Las pulsaciones de teclas serían:\(\ Y=\frac{\log (x)}{\log \left(\frac{1}{4}\right)}+2\), GRÁFICO

    Para ver una tabla de valores, pulse 2 ndGRAPADO.

    Ejemplo 3

    Gráfica y=−logx usando una calculadora gráfica. Encuentra el dominio y el rango.

    Solución

    Las pulsaciones de teclas son Y=−log (x), GRÁFICO.

    F-d_1b61a7e5c22993f531a044692713bce83e9bcd7e56d88372c9ea1cb2+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.jpg

    El dominio es x>0 y el rango es todo números reales.

    Ejemplo 4

    ¿Está (-2, 1) en la gráfica de\(\ f(x)=\log _{\frac{1}{2}}(x+4)\)?

    Solución

    Enchufe (-2, 1) en\(\ f(x)=\log _{\frac{1}{2}}(x+4)\) para ver si la ecuación es verdadera.

    \ (\\ begin {array} {l}
    1=\ log _ {\ frac {1} {2}} (-2+4)\\
    1=\ log _ {\ frac {1} {2}} 2\\
    1\ neq-1
    \ end {array}\)

    Por lo tanto, (-2, 1) no está en la gráfica. Sin embargo, (-2, -1) es.


    Revisar

    Grafica las siguientes funciones logarítmicas sin usar una calculadora. Indicar la ecuación de la asíntota, el dominio y el rango de cada función.

    1. \(\ y=\log _{5} x\)
    2. \(\ y=\log _{2}(x+1)\)
    3. \(\ y=\log (x)-4\)
    4. \(\ y=\log _{\frac{1}{3}}(x-1)+3\)
    5. \(\ y=-\log _{\frac{1}{2}}(x+3)-5\)
    6. \(\ y=\log _4(2-x)+2\)

    Grafica las siguientes funciones logarítmicas usando tu calculadora gráfica.

    1. \(\ y=\ln(x+6)-1\)
    2. \(\ y=-\ln(x-1)+2\)
    3. \(\ y=\log(1-x)+3\)
    4. \(\ y=\log(x+2)-4\)
    5. ¿Cómo se graficaría\(\ y=\log_4x\) en la calculadora gráfica? Grafica la función.
    6. Gráfica\(\ y=\log_{\frac{3}{4}}x\) en la calculadora gráfica.
    7. ¿Está (3, 8) en la gráfica de\(\ y=\log_3(2x-3)+7\)?
    8. ¿Está (9, -2) en la gráfica de\(\ y=\log_{\frac{1}{4}}(x-5)\)?
    9. ¿Está (4, 5) en la gráfica de\(\ y=5\log_2(8-x)\)?

    Respuestas para problemas de revisión

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.7.


    vocabulario

    Término Definición
    Asíntotas Una asíntota es una línea en la gráfica de una función que representa un valor hacia el que la función puede acercarse, pero no alcanza (con ciertas excepciones).
    operación Las operaciones son acciones realizadas en variables, constantes o expresiones. Las operaciones comunes son suma, resta, multiplicación y división.

    Atribuciones de imagen

    1. [Figura 1]
      Crédito: CK-12
      Fuente: CK-12
    2. [Figura 2]
      Crédito: CK-12
      Fuente: CK-12
    3. [Figura 3]
      Crédito: Fundación CK-12

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