3.4.3: Resolver ecuaciones logarítmicas

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Resolver ecuaciones logarítmicas

En esta sección se aborda cómo resolver diferentes tipos de ecuaciones logarítmicas. Explora cómo condensar ecuaciones expandidas y cómo convertir ecuaciones logarítmicas en exponenciales. Además, la sección demuestra cómo verificar las soluciones a las ecuaciones logarítmicas para asegurarse de que son correctas y no extrañas.

Calentamiento

Las soluciones a las ecuaciones se pueden entender gráficamente como la ubicación donde se cruzan dos gráficas. Utilice el interactivo a continuación para visualizar las soluciones a las ecuaciones logarítmicas. Más adelante en esta sección aprenderás a encontrar estas soluciones algebraicamente.

*Interactivo

Resuértelo 1

Aquí hay una ecuación logarítmica: log ₂ (x+3) =6.

¿Cuántos procesos se pueden utilizar para resolver esta ecuación?
¿Cuáles son los diferentes procesos? ¿Cuál es el valor de x?
¿Se pueden aplicar estos procesos para resolver cualquier ecuación logarítmica? Si no, ¿por qué un proceso podría ser aplicable para algunas ecuaciones logarítmicas y no para otras?
¿Cómo verificas para asegurarte de que tu respuesta es correcta?

Discusión

Recordemos que una ecuación logarítmica es la inversa de una ecuación exponencial. Por ejemplo, si log _b (x+y) =z, entonces puedes aplicar la propiedad inversa b ^{log _b x} =x para cancelar el log. Por lo tanto, la ecuación log _b (x+y) =z se puede reescribir como b ^z =x+y ¿Cómo se puede aplicar esta propiedad para resolver la ecuación en este problema?

Este video proporciona una breve descripción del proceso para resolver ecuaciones logarítmicas.

Ejemplo 1

Resuelva la siguiente ecuación logarítmica usando dos procesos diferentes y verifique su respuesta para asegurarse de que su solución no sea extraña.

\(\ \log _{2}(x+5)=9\)

Solución

Hay dos formas diferentes de resolver esta ecuación. El primero es usar la definición de un logaritmo.

\ (\\ comenzar {alineado}
\ log _ {2} (x+5) &=9\\
2^ {9} &=x+5\\
512 &=x+5\\
507 &=x
\ end {alineado}\)

La segunda forma de resolver esta ecuación es poner todo en el exponente de 2, y luego usar la propiedad inversa.

\ (\\ begin {alineado}
2^ {\ log _ {2} (x+5)} &=2^ {9}\\
x+5 &=512\\
x &=507
\ end {alineado}\)

Para verificar, enchufa 507 para x.

\(\ \log _{2}(507+5)=9 \rightarrow \log _{2} 512=9\)

Resuértelo 2

Se le pidió a Calista que resolviera la siguiente ecuación logarítmica: A continuación se muestra\(\ \log 5 x+\log (x-1)=2\) su obra.

Para cada paso, describa por escrito lo que está haciendo y por qué lo está haciendo. Es decir, narrar el proceso que está utilizando para resolver la ecuación.
¿Qué soluciones obtendría al utilizar este proceso?
Paso 1: log5x+log (x−1) =2

Paso 2: log [5x (x−1)] =2

Paso 3: log (5x ² −5x) =2

Paso 4:\(\ 10^{\log \left(5 x^{2}-5 x\right)}=10^{2}\)

Paso 5:5x ² −5x=100

Paso 6:5x ² −5x−100=0

Paso 7: x ² −x−20=0

Paso 8: (x−5) (x+4) =0

Discusión

En el Paso 1, Calista escribió la ecuación que probablemente notó incluye varios términos. En el Paso 2 ella condensa la ecuación. ¿Por qué hizo esto? ¿Qué hizo para condensar la ecuación? En el Paso 4 ha cambiado la ecuación a una exponencial. ¿Por qué sintió que era necesario hacer esto? ¿Cómo pasó del Paso 3 al Paso 4?

CK-12 INTERACTIVO

El siguiente interactivo le proporcionará práctica adicional explorando el proceso para resolver ecuaciones logarítmicas.

Ejemplo 2

Comienza con la ecuación de arriba: log5x + log (x−1) = 2. Encuentra las dos soluciones que Calista habría calculado, y comprueba ambas respuestas.

Solución

Las dos soluciones a este problema son x=5 y x=−4. Ahora verifique para confirmar que estas soluciones son correctas sustituyéndolas de nuevo en la ecuación original.

\ (\\ start {alineado}
\ log 5 (5) +\ log (5-1) &=2 & &\ log 5 (-4) +\ log ((-4) -1) =2\
\\ log 25+\ log 4 &=2 & &\ log (-20) +\ log (-5) =2\
\ log 100 &=2 & &
\ end {alineado}\)

En el paso de la derecha, log (−20) + log (−5) = 2, ambos logs tienen valores negativos, y no se puede tomar el log de un número negativo. Por lo tanto -4 se considera una solución extraña, o en otras palabras, no es una solución. 5 es la única solución.

Resuértelo 3

Terrance estaba trabajando para resolver esta ecuación: log10x ² − logx = 3, pero no está seguro de cómo empezar. ¿Cuál sería el primer paso que daría y por qué? ¿Qué solución encontraría eventualmente?

Discusión

Recuérdese la propiedad de sustracción/división para registros. Al restar un término logarítmico de otro con las mismas bases, puede extraer la función log y combinar la parte restante de cada término en un problema de fracción o división. Realiza este paso para Terrance, y luego resuelve el resto de la ecuación.

CK-12 INTERACTIVO

El siguiente interactivo te ayudará a explorar la relación entre ecuaciones exponenciales, radicales y logarítmicas.

Resuértelo 4

Comience con la ecuación y=log ₂ (x)

Grafica la ecuación.
¿Cuál es el valor de x cuando y=4? Muestra esto en la gráfica y resuelve algebraicamente.
¿Cuáles son el dominio y el rango de esta función? ¿Qué es la asíntota vertical?

Discusión

Se debe utilizar una utilidad gráfica para visualizar la curva de esta ecuación. Predecir lo que se vería diferente de una gráfica a medida que la base se hizo más grande, y luego verifique su predicción graficando ecuaciones adicionales.

Ejemplo 3

Dada la ecuación y=log ₅ x+2

a. Grafique la ecuación.

b. Determinar el valor de x cuando y=2.

c. ¿Cuál es el dominio y el rango de la función?

d. Determinar la ecuación para la asíntota vertical.

Solución

a. f-d_41a98ca10deed9ca6d1c9b17b52a57966504df656a20797e701e506f+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.png

b. Cuando y=2 entonces x=1.

c. Dominio: (0, ∞); Rango: (−∞, ∞).

d. asíntota vertical: x=0.

Revisar

Utilice las propiedades de logaritmos y una calculadora para resolver las siguientes ecuaciones para x. redondear las respuestas a tres decimales y verificar si hay soluciones extrañas.

\(\ \log_2x=15\)
\(\ \log_{12}x=2.5\)
\(\ \log_9(x−5)=2\)
\(\ \log_7(2x+3)=3\)
\(\ 4\log_33x−\log_3x=5\)
\(\ \log(x+5)+\log x=\log14\)
\(\ 3\log_3(x−5)=3\)
\(\ \frac{2}{3} \log _{3} x=2\)
\(\ 5 \log \frac{x}{2}-3 \log \frac{1}{x}=\log 8\)
\(\ 2 \log _{6} x+1=\log _{6}(5 x+4)\)
\(\ 2 \log _{\frac{1}{2}} x+2=\log _{\frac{1}{2}}(x+3)\)
\(\ 3 \log _{\frac{2}{3}} x-\log _{\frac{2}{3}} 27=\log _{\frac{2}{3}} 8\)

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