3.4.4: Cambio de Base

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Cambio de Base

Si bien es posible cambiar bases volviendo siempre a la forma exponencial, es más eficiente averiguar cómo cambiar la base de logaritmos en general. Dado que solo hay logaritmos base e y base 10 en la mayoría de las calculadoras, ¿cómo evaluaría una expresión como log ₃ 12?

Cambio de la base de logaritmos

El cambio de propiedad base establece:

\(\ \log _{b} x=\frac{\log _{a} x}{\log _{a} b}\)

Puede derivar esta fórmula convirtiendo\(\ \log_bx\) a forma exponencial y luego tomando la base logarítmica x de ambos lados. Esto se muestra a continuación.

\ (\\ comenzar {alineado}
\ log _ {b} x &=y\\
b^ {y} &=x\
\ log _ {a} b^ {y} &=\ log _ {a} x\\
y\ log _ {a} b &=\ log _ {a} x\\
y &=\ frac {\ log _ {a} x} {\ log _ {a} b}
\ end {alineado}\)

Por lo tanto,\(\ \log _{b} x=\frac{\log _{a} x}{\log _{a} b}\).

Si tuvieras que evaluar log34 usando tu calculadora, es posible que necesites usar el cambio de fórmula base ya que algunas calculadoras solo tienen base 10 o base e. El resultado sería:

\(\ \log _{3} 4=\frac{\log _{10} 4}{\log _{10} 3}=\frac{\ln 4}{\ln 3} \approx 1.262\)

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó cómo usar una calculadora para evaluar una expresión como log ₃ 12.

Solución

Para evaluar una expresión como log ₃ 12 tienes algunas opciones en tu calculadora:

\(\ \frac{\ln 12}{\ln 3}=\frac{\log 12}{\log 3} \approx 2.26\)

Algunas calculadoras gráficas también tienen otra opción. Presione el MATEMÁTICO seguido de los botones A e ingrese el registro ₃ 12.

Ejemplo 2

Demostrar la siguiente identidad de registro.

\(\ \log _{a} b=\frac{1}{\log _{b} a}\)

Solución

\(\ \log _{a} b=\frac{\log _{x} b}{\log _{x} a}=\frac{1}{\frac{\log _{x} a}{\log _{x} b}}=\frac{1}{\log _{b} a}\)

Ejemplo 3

Simplifique a un resultado exacto:\(\ \left(\log _{4} 5\right) \cdot\left(\log _{3} 4\right) \cdot\left(\log _{5} 81\right) \cdot\left(\log _{5} 25\right)\)

Solución

\(\ \frac{\log 5}{\log 4} \cdot \frac{\log 4}{\log 3} \cdot \frac{\log 3^{4}}{\log 5} \cdot \frac{\log 5^{2}}{\log 5}=\frac{\log 5}{\log 4} \cdot \frac{\log 4}{\log 3} \cdot \frac{4 \cdot \log 3}{\log 5} \cdot \frac{2 \cdot \log 5}{\log 5}=4 \cdot 2=8\)

Ejemplo 4

Evaluar:\(\ \log _{2} 48-\log _{4} 36\)

Solución

\ (\\ comenzar {alineado}
\ log _ {2} 48-\ log _ {4} 36 &=\ frac {\ log 48} {\ log 2} -\ frac {\ log 36} {\ log 4}\\
&=\ frac {\ log 48} {\ log 2} -\ frac {\ log 6^ {2}} {\ log 2^ {2}}\
=\ frac {\ log 48} {\ log 2} -\ frac {2\ cdot\ log 6} {2\ cdot\ log 2}\\
&=\ frac {\ log 48-\ log 6} {\ log 2}\\
&=\ frac {\ log\ left (\ frac {48} {6}\ derecha)} {\ log 2}\\
&=\ frac {\ log 8} {\ log 2}\\
&=\ frac {\ log 2^ {3}} {\ log 2}\\
&=\ frac {3\ cdot\ log 2}\ log 2}\\
&=3
\ end {alineado}\)

Ejemplo 5

Dado registro ₃ 5≈1.465 encontrar registro ₂₅ 27 sin usar un botón de registro en la calculadora.

Solución

\(\ \log _{25} 27=\frac{\log 3^{3}}{\log 5^{2}}=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\left(\frac{\log 5}{\log 3}\right)}=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\log _{3} 5} \approx \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1.465}=1.0239\)

Revisar

Evalúa cada expresión cambiando la base y usando tu calculadora.

1. registro ₆ 15

2. registro ₉ 12

3. registro ₅ 25

Evaluar cada expresión.

4. registro ₈ (log ₄ (log ₃ 81))

5. registro ₂ 3log ₃ 4log ₆ 16log ₄ 6

6. log125log ₉ 4log ₄ 81log ₅ 10

7. registro ₅ (5 ^{log ₅ 125})

8. log (log ₆ (log ₂ 64))

9. 10 ^{log ₁₀₀ 9}

10. (log ₄ x) (log _x 16)

11. registro ₄₉ 49 ⁵

12. 3log ₂₄ 24 ⁸

13. 4 ^{log ₂ 3}

Demostrar las siguientes propiedades de logaritmos.

14. (log _a b) (log _b c) =log _a c

15. (log _a b) (log _b c) (log _c d) =log _a d

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.5.

El vocabulario

Término	Definición
Cambio de Fórmula Base	Sea b, x e y números positivos, b≠ 1 e y≠ 1. Entonces\(\ \log _{y} x=\frac{\log _{b} x}{\log _{b} y}\). Más específicamente,\(\ \log _{y} x=\frac{\log x}{\log y}\) y\(\ \log _{y} x=\frac{\ln x}{\ln y}\), para que las expresiones puedan ser evaluadas usando una calculadora.
registro	“log” es el término taquigráfico para 'el logaritmo de', ya que en “log _b n” significa “el logaritmo, base b, de n”.
Logaritmo	Un logaritmo es el inverso de una función exponencial y se escribe log _b a=x tal que b ^x =a.