Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

3.5.1: Modelos Exponenciales

  • Page ID
    108517
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Modelos Exponenciales

    Supongamos que estaba evaluando un sitio en particular como una posible ubicación futura para su nueva tienda de estéreo para automóviles, “Rock can Roll”. Sabes que para tener éxito, la tienda debe estar ubicada en una localidad con una población de al menos 100 mil habitantes. También sabes que has ahorrado lo suficiente como para llevarte a través de los dos primeros años de establecerte, por lo que el pueblo puede comenzar un poco por debajo de la población mínima siempre y cuando llegue a 100 mil para el tercer año.

    El pueblo que más te gusta tiene una población actual de 89 mil, y está creciendo a una tasa de 6% anual. ¿Es un pueblo lo suficientemente grande como para que tu tienda tenga éxito?


    Modelos Exponenciales

    El crecimiento exponencial puede ser un poco sorprendente, ya que puede parecer bastante lento al principio. Sin embargo, en algún momento, una función exponencial (a veces de repente) comenzará a aumentar muy rápidamente.

    El crecimiento poblacional a menudo se puede modelar con una función exponencial (asumiendo que la población crece como porcentaje de la población actual, es decir, 8% anual).


    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, se le hizo una pregunta sobre una posible ubicación para la nueva tienda de estéreos para autos.

    Solución

    Es necesario encontrar un pueblo que tenga una población mínima de 100,000 para el tercer año a partir de ahora. El pueblo que estás considerando tiene una población de 89,000 habitantes, con una tasa de crecimiento anual del 6%. ¿Funcionará?

    La población final es igual a la población inicial multiplicada por la tasa de crecimiento una vez al año.

    Eso indica que la población final es: [(P i crecimiento) crecimiento] crecimiento... etc. donde P i es población inicial.

    Usando r para el crecimiento r ate, y x para los años pasados, esto simplifica a la función exponencial:

    P (f) =P i r x

    En nuestra localidad, la población después de x años sería: P (x) =89,000⋅ (1.06) x

    El inicio del 3er año ocurrirá después de que hayan pasado 2 años, sustituyendo 2 in por x da:

    P (2) =89.000⋅ (1.06) 2

    P (2) =100,000.4

    La población proyectada es de 100 mil (y 4/10... ¡alguien está embarazada!) en el 3er año, solo lo suficientemente grande.

    Ejemplo 2

    La población de un pequeño pueblo era de 2 mil en el año 1950. La población aumentó con el tiempo, como lo muestran los valores de la siguiente tabla.

    ¿Cuál es el número de personas que se suman a la población anualmente? ¿Por qué esta pregunta es más compleja de lo que parece?

    Año (1950 = 0) Población
    0 2000
    5 2980
    10 4450
    20 9900
    30 22.000
    40 50,000

    Solución

    Si traza estos puntos de datos, verá que el patrón de crecimiento no es lineal:

    f-d_bed835102a3b21754fd289e5743d57f9f5ffb78565bd82032f22a7f1+image_tiny+image_tiny.png

    La población no sigue aumentando en el mismo número de personas cada año, más bien aumenta en un porcentaje de la población al final de cada año, una función exponencial.

    Ejemplo 3

    Utilice una calculadora gráfica para encontrar una función de la forma y = a (b x) que se ajuste a los datos de la tabla.

    Año (1950 = 0) Población
    0 2000
    5 2980
    10 4450
    20 9900
    30 22.000
    40 50,000

    Usando una calculadora gráfica TI-83/84 para encontrar una función exponencial que mejor se ajuste a un conjunto de datos.

    Solución

    1. Introducir los datos

      Los datos deben ser ingresados en “listas”. La calculadora cuenta con seis listas nombradas, L1, L2,... L6. Ingresaremos los valores x en L1 y los valores y en L2. Una forma de hacerlo se muestra a continuación:

      Presione <TI font_2nd>[{] y luego ingrese los números separados por comas, y cierre presionando lo siguiente: <TI font_2nd>[{] <TI font_STO><TI font_2nd>[L1].

      Las tres líneas superiores de la siguiente figura muestran la entrada en la lista L1, seguida de la entrada de los valores y en la lista L2.

      F-D_2455935fc3fcb11ca00d0071d847abeadc13b3ffe45312a2baefb534+image_tiny+image_tiny.jpg

      Ahora presiona<TI font_STAT>, y mueve a la derecha al menú CALC. Desplázate hacia abajo hasta la opción 10, ExpreG Pulsa<TI font_ENTER>, y volverás a la pantalla de inicio. Deberías ver ExpreG en la pantalla. Siempre y cuando los números estén en L1 y L2, la calculadora procederá a encontrar una función exponencial que se ajuste a los datos que enumeró en la Lista L1 y la Lista L2. Deberías ver en la pantalla de inicio los valores para a y b en la función exponencial (Ver figura a continuación).

      Por lo tanto, la función y = 1992.7 (1.0837) x es un modelo aproximado para los datos.

      F-d_df6db5e10c5e5b834d6a1649153b76cbaaad0348a38d9aeb96841a39+image_tiny+image_tiny.jpg

    2. Trazando los datos y la ecuación

      Para ver gráficas de los puntos de datos y la ecuación en la misma pantalla, haga lo siguiente.

      1. Primero, presione <TI font_y=> y borrar cualquier ecuación.

        Puede escribir la ecuación anterior, o para obtener la ecuación de la calculadora, haga lo siguiente:

      2. Ingrese la ecuación redondeada anterior en Y1, o use el siguiente procedimiento para obtener la ecuación completa de la calculadora: coloque el cursor en Y1, presione<TI font_VARS>, 5, EQ y 1. Esto debería colocar la ecuación en Y1 (ver figura a continuación).

        F-D_4cf69af5a5b18042b58e21b8a6a8256e31863670b90e2425fac35c76+image_tiny+image_tiny.jpg

      3. Ahora presione <TI font_2nd>[STAT PLOT] y complete los ítems como se muestra en la siguiente figura.

        F-d_b3d9d64fd6d962d526dce6b170589f1b7426f50382ed82fd819067f2+image_tiny+image_tiny.jpg

      4. Ahora establece tu ventana. (Pista: use el rango de los datos para elegir la ventana; la siguiente figura muestra nuestras opciones).

        F-d_a1db84d59a61e34c38f8062d388e1910d62b2e310b3fa49cc8bf93ae+image_tiny+image_tiny.jpg

      5. Pulsa <TI font GRAPH>y podrás ver la función y los puntos de datos como se muestra en la siguiente figura.

        f-d_8a95ebaa1db9ebbc00b3245f2db570118524a0718cf9c769983b63a2+image_tiny+image_tiny.jpg

    3. Comparando los datos reales con los resultados modelados

      Parece como si los puntos de datos se encuentran en la función. Sin embargo, usando la función TRACE puede determinar qué tan cerca están los puntos modelados de los datos reales. Presione <TI font_TRACE>para ingresar al modo TRACE. Después presiona la flecha derecha para pasar de un punto de datos a otro. Haz esto hasta aterrizar en el punto con valor Y=22000. Para ver el valor modelado correspondiente, presione la flecha arriba o abajo. Consulte la figura a continuación. El valor modelado es aproximadamente 22197, que es bastante cercano a los datos reales. Puede verificar cualquiera de los otros puntos de datos utilizando el mismo método.

      F-D_41dbf4f21d2905ce7210e07ebe871df432c452193de1128829f2fa9c+image_tiny+image_tiny.jpg

    Ejemplo 4

    Tiny Town, CO, actualmente (año 2012) tiene una población de 26 personas, pero está creciendo a una tasa de 17% anual.

    Recordemos de la lección que la función simplificada para el crecimiento poblacional es P f =P i r t Donde "P f" es población final, "P i" es población inicial (inicial), "r "es la tasa de crecimiento, y" t "es el tiempo (en años).

    1. ¿Cuál es el factor de crecimiento de Tiny Town?
    2. ¿Cuál será la población en 2030?

    Solución

    1. El factor de crecimiento es de 1.17, ya que la población cada año es toda la población del año anterior: 1P agregado a la nueva población: .17P.
    2. La población en 2030 será apx 375:

      P f =261.17 1 7

      P f =2614,426

      P f =375

    Ejemplo 5

    Abbi invierte $4000 en una cuenta de ahorro con una APR de 6.5% compuesta anual.

    El dinero de Abbi se puede calcular con el mismo tipo de fórmula anterior: A=Pr t Donde "A" es el monto final, “'P " es el principal (dinero inicial), "r " es la tasa de crecimiento (interés) y "t " es el tiempo (en años).

    1. ¿Cuánto va a tener después de 2 años?
    2. ¿Cuánto va a tener después de 15 años?
    3. ¿Cuántos años se tardará en llegar a 50.000 dólares?

    Solución

    1. Después de 2 años, Abbi tendrá apx $4500

      A=$40001.065 2

      A=$40001.134

      A=$4536

    2. Después de 15 años, Abbi tendrá apx $10,300 A=$40001.065 1 5

      A=$40002.5718

      A=$10287.20

    3. Para calcular cuánto tiempo tardará en llegar a $50,000, usamos la fórmula con A=$50,000 y x (en el exponente) es el número de años.

      $50,000=$40001.065 x

      12.5=1.065 x: Divide ambos lados por $4000

      log12.5=log1.065 x: Tomar el tronco de ambos lados

      log12.5=xlog1.065: Usando logx y =ylogx de lección anterior

      \(\ \frac{\log 12.5}{\log 1.065}=x\): Dividir ambos lados por\(\ \log1.065\)

      \(\ \frac{1.096}{.0273}=x\): Con una calculadora

      \(\ 40.14=x\): Con una calculadora

      Tomará poco más de 40 años para que los $4000 iniciales de Abbi se conviertan en 50,000 dólares a 6.5% de interés compuesto anualmente.

    Ejemplo 6

    Brandon compró un auto nuevo por 30,000 dólares. ¡No fue hasta que se fue que su amigo Kyle mencionó que el auto se iba a depreciar a una tasa del 50% anual!

    La fórmula para calcular el decaimiento vuelve a ser muy similar: V f =V i r t Donde "V f" es el valor final, "V i" es el valor inicial, "r" es el factor de decaimiento (tasa de depreciación), y "t" es tiempo (en años).

    1. ¿Cuál es el factor de decaimiento del automóvil?
    2. ¿Cuánto valdrá el auto en 5 años?
    3. Usando tu cálculo de “b”, apx ¿cuánto tiempo tardará antes de que el auto solo valga $100?

    Solución

    1. La tasa de decaimiento es simplemente 1−.5=.5 ya que el valor del automóvil decae a una tasa del 50% anual.
    2. En 5 años, el auto valdrá apx

      V f =$30,000.5 5

      V f =$30,000.03125

      V f =$937.50 ¡OUCH!

    3. Usando tu cálculo de “b”, apx ¿cuánto tiempo tardará antes de que el auto solo valga $100?

      Si el auto pierde 1/2 de su valor cada año, y vale apx $1000 después de 5 años:

      Año 6 = $1000.5=$500

      Año 7 = $500.5=$250

      Año 8 = $250.5=$125

      Pasarán solo unos 8 años antes de que el auto solo valga $100. ¡Brandon pudo haber hecho una compra cuestionable!

      Pasarán solo unos 8 años antes de que el auto solo valga $100. ¡Brandon pudo haber hecho una compra cuestionable!


    Revisar

    Calcula los siguientes valores usando: A=Prt

    Suponga que todas las tarifas son x% por año, compuestas anualmente a menos que se especifique lo contrario

    1. ¿Cuál es el valor de una inversión de $5000 después de 5 años a una tasa del 5%?
    2. ¿Cuál es el valor de una inversión de $15000 después de 3 años a una tasa del 8%?
    3. ¿Cuál es el valor de una inversión de $3500 después de 12 años a una tasa del 2%?
    4. ¿Cuál es el valor de una inversión de 7550 dólares después de 7 años a una tasa de 4.3%?
    5. ¿Cuál es el valor de una inversión de 42.340 dólares después de 13 años a una tasa de 5.034%?

    Para las preguntas 6-10, calcule:

    1. El factor de crecimiento
    2. La población final
    1. Si una población inicia en 5 mil personas en 1995, y aumenta a una tasa de 7% anual, ¿cuál es la población en 2032?
    2. Si una población inicia en 15 mil personas en el año 2000, y aumenta a una tasa de 3% anual, ¿cuál es la población en 2027?
    3. Si una población inicia en 25.500 personas en 1900, y aumenta a una tasa de 2% anual, ¿cuál es la población en 2008?
    4. Si una población inicia en 87,432 personas en 1940, y aumenta a una tasa de 4.3% anual, ¿cuál es la población en 2040?
    5. Si una población inicia en 126,352 personas en 1776, y aumenta a una tasa de 1.067% anual, ¿cuál es la población en 2012?

    Para las preguntas 11-15, calcule:

    1. El factor de decaimiento (recuerde que el factor de decaimiento = 1 -% decaimiento como decimal
    2. El valor final, usando V f =V i r t de la lección.
    1. Un auto vale $4000, y pierde valor a una tasa de 12% anual, ¿cuánto valdrá en 5 años?
    2. Un barco se compra por $14,000, y pierde valor a una tasa de 16% anual, ¿cuánto valdrá en 7 años?
    3. Se compra un auto por 40.500 dólares, y pierde valor a una tasa de 21% anual, ¿cuánto valdrá en 4 años?
    4. Una motocicleta vale $9350, y pierde valor a una tasa de 6.5% anual, ¿cuánto valdrá en 3.5 años?
    5. Se compra un avión por 342,137 dólares, y pierde valor a una tasa de 4.67% anual, ¿cuánto valdrá en 13 años?

    Para las preguntas 16-20, calcule el número de años requeridos antes de que el valor alcance el total especificado, utilizando A f =A i r t y comenzando con A f = monto final, y x (en el exponente) como el número de años.

    1. ¿Cuántos años antes de que una población de 5 mil alcance al menos 8 mil con una tasa de crecimiento del 6%?
    2. ¿Cuántos años antes de que un valor de $4,000 alcance al menos $7,000 a una tasa de crecimiento del 4%?
    3. ¿Cuántos años antes de que un valor de $12,000 alcance al menos $25,000 a una tasa de crecimiento del 12%?
    4. ¿Cuántos años antes de que una población de 15 mil 500 alcance al menos 46 mil a una tasa de crecimiento de 8.5%?
    5. ¿Cuántos años antes el valor de un automóvil que actualmente vale 52,138 dólares se deprecie a por lo menos $8,000 a una tasa de depreciación del 14.7%?

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.9.


    El vocabulario

    Término Definición
    Exponente Los exponentes se utilizan para describir el número de veces que un término se multiplica por sí mismo.
    modelo exponencial Un modelo exponencial es una función que refleja una cantidad que crece o decae a una tasa proporcional a su valor actual.

    This page titled 3.5.1: Modelos Exponenciales is shared under a CK-12 license and was authored, remixed, and/or curated by CK-12 Foundation via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.

    CK-12 Foundation
    LICENSED UNDER
    CK-12 Foundation is licensed under CK-12 Curriculum Materials License