3.5.4: El Número e
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El número trascendental e y el registro natural
El número trascendental e
Esta sección introduce el número trascendental e que es un número especial que se considera una base natural. Además de explorar cómo simplificar y resolver ecuaciones con e , esta sección también investiga cómo se puede utilizar para comprender el interés compuesto y las situaciones de la vida real con crecimiento exponencial y decadencia.
Calentamiento
El interés compuesto mensual, anual o en cualquier otro intervalo discreto se puede modelar fácilmente con funciones exponenciales. Utilice el interactivo a continuación para explorar un modelo exponencial que se compone anualmente. Más adelante en esta sección verá cómo se puede utilizar el número e para modelar las tasas de interés que se componen continuamente.
Interactivo*
Investigación
Trabaje a cabo 1
Gianna abre una cuenta de ahorro con $1,000 y devenga intereses mensualmente a una tasa del 5%. ¿Cuál es el saldo en la cuenta después del primer mes? ¿Después de 2 meses? ¿Después de 1 año? ¿Después de 2 años? ¿Se puede escribir una ecuación que le permita determinar el saldo de la cuenta después de m meses?
Mira el proceso que has utilizado para calcular el valor después del segundo mes. Empezaste con $1,000 que se llama Principal, y lo multiplicaste por 1.05 (que es lo mismo que sumar 5% del valor del Principal de nuevo al Principal). Al segundo mes multiplicaste por 1.05 de nuevo, y seguirás haciéndolo por tantos meses como estés tratando de calcular. Esta multiplicación repetida sugiere que la ecuación contendrá un exponente.
Discusión
Después de 1 mes, su cuenta bancaria tendrá los $1,000 originales más el 5% de interés ($50.00), o $1,050.00. Después del segundo mes tendrá el saldo inicial mensual ($1,050.00) más el 5% de eso ($52.50), o un total de $1,102.50. Se puede continuar con este proceso para calcular su saldo después de 1 o 2 años. ¿Hay un atajo? En otras palabras, ¿qué ecuación te permitiría determinar más rápidamente su equilibrio?
Trabaje a cabo 2
Comience con la ecuación:\(\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\).
- Construir una tabla que muestre lo que sucede con el valor general de esta expresión a medida que n se hace más grande. Redondear cada decimal a los 4 decimales más cercanos.
- En base a su tabla, ¿parece que el valor general se acerca a un cierto número? Si es así, ¿cuál crees que es este número?
- Estimar el valor de la expresión cuando n=100 y cuando n=1,000.
- Explique cómo realizó estas estimaciones.
- A medida que n se acerca al infinito, ¿a qué se acerca el valor de la expresión?
Discusión
El inicio de una tabla se encuentra a continuación. Rellene los valores faltantes y continúe agregando otros.
| n | \(\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\) |
| 1 | \(\ \left(1+\frac{1}{1}\right)^{1}=2\) |
| 2 | \(\ \left(1+\frac{1}{2}\right)^{2}=2.25\) |
| 3 | \(\ \left(1+\frac{1}{3}\right)^{3}=\) |
| 10 | |
| 25 |
¿Qué notas sobre los valores a medida que n se hace más grande? ¿Cómo se puede utilizar esta tabla para predecir el valor de la expresión cuando n=100 y n=1,000?
A medida que n se acerca al infinito positivo,\(\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\) se acerca a 2.718281828459.
Se puede ver que el valor de esta expresión nunca llegará a 3, sino al número 2.718... anterior. Este número tiene un nombre especial: e.
e es el número que se\(\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\) aproxima como n→ ∞. e es un número irracional que se aproxima con 2.718281828459.
e también se llama el número natural (o base), o el número de Euler, que lleva el nombre del matemático suizo Leonhard Euler quien popularizó el uso de la letra e para la constante.
Graficar y simplificar
Trabajarlo 3
Grafica las ecuaciones y=2 x e y=3 x en el mismo eje usando una utilidad gráfica.
- Basándose en lo que aprendiste anteriormente, ¿cómo esperarías que se viera la gráfica de y=e x?
- ¿Qué es la asíntota?
- ¿Qué es la intercepción y?
- ¿Cuál es el dominio y el rango?
Discusión
La gráfica de las dos ecuaciones dadas se encuentra a continuación. Dado el valor de e indicado anteriormente, ¿cómo crees que se vería la gráfica de y=e x, y dónde estaría en esta gráfica?
¿Qué crees que a la asíntota para y=e x se le daría lo que le sucede a la gráfica a medida que se acerca al eje x?
¿Cuál es el valor de cualquier número elevado a la potencia 0? ¿Cómo te ayudará esto a determinar la intercepción y?
¿Cómo se puede utilizar esta gráfica para determinar el rango (los valores y) y el dominio (los valores x)?
Simplificar e 2 e 4.
Solución
Las Leyes de los Exponentes se aplican con e como base. Debido a que estas bases son las mismas, solo puedes sumar los exponentes. La respuesta es e 6.
Uso de una calculadora con registros
El valor e tiene otro propósito común: encontrar un registro en una calculadora.
Es posible que hayas notado que la mayoría de las calculadoras solo tienen dos funciones log, LOG y LN.
- La función LOG es en realidad el 'log común', log10x, y se usa en muchos escenarios del mundo real como PH, magnitud de terremoto y presión sonora.
- La función LN es el 'logaritmo natural', logex, y se utiliza en muchos, muchos cálculos que implican un crecimiento constante en las finanzas y las ciencias.
Para usar estas funciones con otros registros, primero cambie la base existente a 10 o e con el cambio de fórmula base:
\(\ \log _{b} x=\frac{\log x}{\log b} \quad \text { OR } \quad \log _{b} x=\frac{\ln x}{\ln b}\)
El cambio de fórmula base permite evaluar cualquier base como base 10 o base e.
Utilice una calculadora y el cambio de fórmula base para determinar el valor de\(\ \log_7247\).
Solución
Primero, aplica el cambio de fórmula base para convertir a LN o LOG (el proceso es el mismo, solo depende de la función que desees usar en la calculadora):
\(\ \log _{7} 247=\frac{\ln 7}{\ln 247}\)
Luego use la función LN para encontrar el registro natural de 7 y 247:
\(\ \frac{\ln 7}{\ln 247}=\frac{2.4}{0.8} \approx 2.831\)
Trabaje a cabo 4
Evaluar cada registro. Recuerda eso\(\ \log x=\log_{10}x\). Use una calculadora según sea necesario.
- \(\ \log 1 \)
- \(\ \log 100\)
- \(\ \ln 100\)
- \(\ \log_3 29\)
- \(\ \log_9 0.518\)
Resolviendo Ecuaciones Logísticas
Trabaje a cabo 5
Resuelve la siguiente ecuación logarítmica y comprueba tu respuesta.
\(\ 3\ln(−x)−5=10\)
Discusión
Primero, agregue 5 a ambos lados y luego divídalo por 3 para aislar el tronco natural. Recordemos que la inversa del logaritmo natural es el número natural. Por lo tanto, todo necesita ser puesto en el exponente de e para poder deshacerse del tronco.
Reescriba la siguiente expresión bajo un solo registro.
\(\ \ln e−\ln4x+2(e^{\ln x}⋅\ln5)\)
Solución
Aplicar las propiedades de logaritmos:
\ (\\ comenzar {alineado}
\ ln e-\ ln 4 x+2\ izquierda (e^ {\ ln x}\ cdot\ ln 5\ derecha) &=\ ln\ izquierda (\ frac {e} {4 x}\ derecha) +2 x\ cdot\ ln 5\
&=\ ln\ ln\ izquierda (\ frac {e} {4 x}\ derecha) +\ ln\ izquierda (5^ {2 x}\ derecha)\\
&=\ ln\ izquierda (\ frac {e\ cdot 5^ {2 x}} {4 x}\ derecha)
\ end {alineado }\)
Resolver:\(\ \ln(x−1)−\ln(x+1)=8\).
Solución
Comienza condensando el lado izquierdo usando la Regla de Cociente. Debido a que este problema involucra troncos naturales, necesitarás poner todo en el exponente de e.
\ (\\ comenzar {alineado}
\ ln (x-1) -\ ln (x+1) &=8\\
\ ln\ izquierda (\ frac {x-1} {x+1}\ derecha) &=8\\
\ frac {x-1} {x+1} &=e^ {8}\
x-1 & =( x+1) e^ {8}\\
x-1 &=x e^ {8}} +e^ {8}\\
x-x e^ {8} &=1+e^ {8}\\
x\ izquierda (1-e^ {8}\ derecha) &=1+e^ {8}\\
x &=\ frac {1+e^ {8}} {1-e^ {8}}\ aprox-1.0007
\ final {alineado}\)
La solución es aproximadamente -1.0007, que puede verificar enchufándola nuevamente a la ecuación. Terminarás con ln (−1.0007−1) −ln (−1.0007+1) =8, y como no puedes tomar el log de un número negativo, no hay solución para esta ecuación. Si graficas el lado izquierdo y el lado derecho, también puedes ver que no hay solución.
Crecimiento y Decaimiento Exponencial Continuo
El interés sobre una suma de dinero que se compone continuamente se puede calcular con la fórmula I=Pe rt −P, donde P es la cantidad invertida (el principal), r es la tasa de interés, y t es la cantidad de tiempo que se invierte el dinero. Si inviertes $1,000 en una cuenta bancaria que paga 2.5% de intereses compuestos continuamente y dejas el dinero en esa cuenta por 4 años, ¿cuánto interés ganarás?
Solución
Conecte los valores dados en la ecuación I=Pe rt −P y resuelva para I.
\ (\\ begin {array} {l}
I=P e^ {r t} -P\\
I=1000\ cdot e^ {0.025\ cdot 4} -1000\\
I=1000\ cdot e^ {0.1} -1000\
I=1000\ cdot 1.10517-1000\
I=1105.17-1000\
I=105.17
\ end {array}\)
Por lo tanto, al término de 4 años, habrás ganado $105.17 en intereses.
Trabaje a cabo 6
Gianna abre una cuenta de ahorro con $1,000 y devenga intereses continuamente a una tasa del 5%. ¿Cuál es el saldo en la cuenta después de 6 años?
Discusión
Este ejemplo se construye a partir del Aprendizaje Activo 1. Aquí, el interés se agrava continuamente, lo que es diferente de los problemas de palabras que involucran la composición de intereses mensual, trimestral, anual, etc. (es decir, a intervalos definidos). La ecuación cambia ligeramente, desde\(\ A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t} \text { to } A=P e^{r t}\), sin n, porque ya no hay ningún intervalo.
¿Cuál es la ecuación para este escenario? ¿Cómo se puede utilizar la ecuación para determinar el saldo en la cuenta después de 6 años?
Trabaje a cabo 7
Determinar si\(\ y=\frac{1}{2} e^{x}\) representa crecimiento exponencial, decaimiento, o ninguno.
Discusión
Recordemos que para ser crecimiento exponencial, la base debe ser mayor que uno. Para ser decaimiento exponencial, la base debe estar entre cero y uno.
Por lo tanto, ¿es esta una ecuación de crecimiento, una ecuación de decaimiento, o ninguna? ¿Por qué?
Trabaje a cabo 8
La tasa de desintegración radiactiva del radio es modelada por R=Pe −0.00043t, donde R es la cantidad (en gramos) de radio presente después de t años y P es la cantidad inicial (también en gramos). Si hay 698.9 gramos de radio presentes después de 5 mil años, ¿cuál fue la cantidad inicial?
Discusión
¿Cómo se puede usar la fórmula dada en el problema para escribir una ecuación? ¿Qué pasos se necesitan para resolver la ecuación para P?
* Interactivo
Revisar
Determinar si las siguientes funciones son crecimiento exponencial, decaimiento o ninguna. Da una razón para tu respuesta.
- \(\ y=\frac{4}{3} e^{x}\)
- \(\ y=\left(\frac{1}{e}\right)^{x}+2\)
Simplifica las siguientes expresiones con e.
- \(\ e^{-3} \cdot e^{12}\)
- \(\ \frac{5 e^{-4}}{e^{3}}\)
- \(\ \left(\frac{4 e^{4}}{3 e^{-2} e^{3}}\right)^{-2}\)
Resuelve los siguientes problemas de palabras.
La población de Springfield está creciendo exponencialmente. El crecimiento puede ser modelado por la función P=Ie 0.055t, donde P representa la población proyectada, I representa la población actual de 100,000 en 2012 y t representa el número de años posteriores a 2012.
- Grafica esta ecuación.
- A la persona más cercana, ¿cuál será la población en 2022?
- ¿En qué año se duplicará la población si continúa esta tasa de crecimiento?
El valor del auto de Steve disminuye de valor según la función de decaimiento exponencial: V=Pe −0.12t, donde V es el valor actual del vehículo, t es el número de años que Steve ha poseído el auto y P es el precio de compra del auto, $25,000.
- Al dólar más cercano, ¿cuál será el valor del auto de Steve en 2 años?
- Al dólar más cercano, ¿cuál será el valor en 10 años?
Naya invierte $5,000 en una cuenta que devenga intereses mensuales a una tasa del 2%.
- Escribir una función de crecimiento exponencial para modelar el valor de su inversión después de t años.
- ¿Cuánto interés total gana Naya en los primeros ocho meses al dólar más cercano?
- ¿Cuánto dinero, al dólar más cercano, hay en la cuenta después de 3 años?
Malcolm invierte $7,500 en una cuenta que devenga intereses continuamente a una tasa de 4.5%.
- Escribir una función de crecimiento exponencial para modelar el valor de su inversión después de t años.
- ¿Cuánto interés gana Malcolm en los primeros seis meses al dólar más cercano?
- ¿Cuánto dinero, al dólar más cercano, hay en la cuenta después de 8 años?
Trabajarlo