4.5.6: Teoremas de Producto y Cociente

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Teoremas de Producto y Cociente

Los números complejos se encuentran en cálculos del mundo real que involucran: mecánica cuántica, análisis de señales, dinámica de fluidos, teoría de control y muchos otros campos.

En ingeniería eléctrica, se utilizan números complejos para cálculos que involucran impedancia (la resistencia al flujo eléctrico en un circuito).

Los ingenieros eléctricos están familiarizados con la fórmula:

\(\ V=V_{0} e^{j \omega t}=V_{0}(\cos \omega t+j \sin \omega t)\)

comparándolo con la expresión similar a continuación, que se explora en esta lección, ¿se puede identificar la variable j?

\(\ r_{2}\left(\cos \theta_{2}+i \sin \theta_{2}\right)\)

Teoremas de Producto y Cociente

El teorema del producto

Dado que los números complejos pueden transformarse en forma polar, la multiplicación de números complejos también se puede hacer en forma polar. Supongamos que sabemos z ₁ = r ₁ (cos θ ₁ + i sin θ ₁) z ₂ = r ₂ (cos θ ₂ + i sin θ ₂)

Para multiplicar los dos números complejos en forma polar:

\ (\\ begin {array} {l}
z_ {1}\ cdot z_ {2} =r_ {1}\ izquierda (\ cos\ theta_ {1} +i\ sin\ theta_ {1}\ derecha)\ cdot r_ {2}\ izquierda (\ cos\ theta_ {2} +i\ sin\ theta_ {2}\ derecha)\\
=r_ {1} r_ {2}\ izquierda (\ cos\ theta_ {1} +i\ sin\ theta_ {1}\ derecha)\ izquierda (\ cos\ theta_ {2} +i\ sin\ theta_ {2}\ derecha)\\
=r_ {1} r_ {2}\ cdot\ izquierda (\ cos\ theta_ {1}\ cos\ theta_ {2} +i\ cos\ theta_ {1}\ sin\ theta_ {2} +i\ sin\ theta_ {1}\ cos\ theta_ {2} +i^ {2}\ sin\ theta_ {1}\ sin\ theta_ a_ {2}\ derecha)\\
=r_ {1} r_ {2}\ izquierda (\ cos\ theta_ {1}\ cos\ theta_ {2} +i\ cos\ theta_ {1}\ sin\ theta_ {2} +i\ sin\ theta_ {1}\ cos\ theta_ {2} -\ sin\ theta_ a_ {1}\ sin\ theta_ {2}\ derecha)\\
=r_ {1} r_ {2}\ izquierda (\ cos\ theta_ {1}\ cos\ theta_ {2} -\ sin\ theta_ {1}\ sin\ theta_ {2} +i\ cos\ theta_ {1}\ sin\ theta_ {2} +i\ sin\ theta_ {1}\ cos\ theta_ {2}\ derecha)\\
=r_ {1} r_ {2}\ izquierda (\ izquierda [\ cos\ theta_ {1}\ cos\ theta_ {2} -\ sin\ theta_ {1}\ sin\ theta_ {2}\ derecha] +i\ izquierda [\ cos\ theta_ {1}\ sin\ theta_ {2} +\ sin\ theta_ {1}\ cos\ theta_ {2}\ derecha]\ derecha)
\ end {array}\)

(Use\(\ i^{2}=-1\), reúna términos similares, factorizar i, sustituir las fórmulas de suma de ángulo para seno y coseno)

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} r_{2} \operatorname{cis}\left[\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)\right]\)

Esta última ecuación establece que el producto de dos números complejos en forma polar se puede obtener multiplicando los valores polares r de cada uno de los números complejos y luego multiplicando ese valor por cis de la suma de cada uno de los dos ángulos de los números complejos individuales. Esto es más conciso que la forma rectangular para la multiplicación de números complejos.

El teorema del cociente

La división de números complejos en forma polar se puede mostrar usando una prueba similar que se utilizó para mostrar la multiplicación de números complejos. Aquí omitimos la prueba y damos el resultado. Para z ₁ = r ₁ (cos θ ₁ + i sin θ ₁) y z ₂ = r ₂ (cos θ ₂ + i sin θ ₂), entonces\(\ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \times \operatorname{cis}\left[\theta_{1}-\theta_{2}\right]\)

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que identificara la variable j en la siguiente fórmula:

\(\ V=V_{0} e^{j \omega t}=V_{0}(\cos \omega t+j \sin \omega t)\)

Solución

En los cálculos eléctricos, la letra I se usa comúnmente para denotar corriente, por lo tanto, los números imaginarios se identifican con una j.

Observe el uso similar de i en r (cosθ+isinθ).

Ejemplo 2

Multiplicar\(\ z_{1} \cdot z_{2}\) dónde\(\ z_{1}=2+2 i\) y\(\ z_{2}=1-\sqrt{3} i\).

Solución

Para\(\ z_{1}\),

\ (\\ begin {array} {l}
r_ {1} =\ sqrt {2^ {2} +2^ {2}}\\
=\ sqrt {8}\\
=2\ sqrt {2}
\ end {array}\)

\ (\\ begin {array} {l}
\ tan\ theta_ {1} =\ frac {2} {2}\\
\ tan\ theta_ {1} =1\
\ theta_ {1} =\ frac {\ pi} {4}
\ end {array}\)

Obsérvese que θ ₁ está en el primer cuadrante desde a, y b > 0.

Para\(\ z_{2}\),

\ (\\ begin {array} {l}
r_ {2} =\ sqrt {1^ {2} + (-\ sqrt {3}) ^ {2}}\\
=\ sqrt {1+3}\\
=\ sqrt {4}\\
=2
\ end {array}\)

\ (\\ begin {array} {l}
\ tan\ theta_ {2} =\ frac {-\ sqrt {3}} {1}\
\ theta_ {2} =\ frac {5\ pi} {3}
\ end {array}\)

Ahora podemos usar la fórmula\(\ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2} \operatorname{cis}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)\)

Sustituir da:

\ (\\ begin {array} {l}
z_ {1}\ cdot z_ {2} =2\ sqrt {2}\ times 2\ operatorname {cis}\ left [\ frac {\ pi} {4} +\ frac {5\ pi} {3}\ derecha]\\
=4\ sqrt {2}\ nombreoperador {cis}\ izquierda [\ frac {23\ pi} {12}\ derecha]
\ end {array}\)

Así que tenemos

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=4 \sqrt{2}\left(\cos \frac{23 \pi}{12}+i \sin \frac{23 \pi}{12}\right)\)

Reescritura en forma decimal aproximada:

\ (\\ begin {array} {l}
5.656 (0.966-0.259 i)\\
5.46-1.46 i
\ end {array}\)

Si el problema se hizo usando solo unidades rectangulares entonces

\ (\\ begin {array} {l}
z_ {1}\ times z_ {2} =( 2+2 i) (1-\ sqrt {3} i)\ text {o}\\
=2-2\ sqrt {3} i+2 i-2\ sqrt {3} i^ {2}
\ end {array}\)

Recopilación de términos similares y uso\(\ \mathrm{i}^{2}=-1\)

\(\ =(2+2 \sqrt{3})-(2 \sqrt{3}+2) i\)

\(\ 5.46-1.46 i\)

Ejemplo 2

Usando la multiplicación polar, encuentra el producto\(\ (6-2 \sqrt{3} i)(4+4 \sqrt{3} i)\).

Solución

Let\(\ z_{1}=6-2 \sqrt{3} i\) y\(\ z_{2}=4+4 \sqrt{3} i\)

\ (\\ begin {array} {l}
r_ {1} =\ sqrt {(6) ^ {2} - (2\ sqrt {3}) ^ {2}}\ text {y} r_ {2} =\ sqrt {(4) ^ {2} + (4\ sqrt {3}) ^ {2}}\\
r_ {1} =\ sqrt {36+12} =\ sqrt {48} =4\ sqrt {3}\ text {y} r_ {2} =\ sqrt {16+48} =\ sqrt {64} =8
\ end {array}\)

Para\(\ \theta_{1}\), primero encontrar\(\ \tan \theta_{r e f}=\left|\frac{y}{x}\right|\)

\ (\\ begin {array} {l}
\ tan\ theta_ {r e f} =\ frac {(2\ sqrt {3})} {6}\
\\ tan\ theta_ {r e f} =\ frac {\ sqrt {3}} {3}\
\ theta_ {r e f} =\ frac {\ pi} {6}
fin {matriz}\)

Desde x > 0 e y < 0 sabemos que θ ₁ está en el cuadrante 4 ^º:

\(\ \theta_{1}=\frac{11 \pi}{6}\)

Para θ ₂,

\ (\\ begin {array} {l}
\ tan\ theta_ {r e f} =\ frac {(4\ sqrt {3})} {4}\\
\ tan\ theta_ {r e f} =\ sqrt {3}\
\ theta_ {r e f} =\ frac {\ pi} {3}
\ end {array}\)

Dado que θ ₂ está en el primer cuadrante,

\(\ \theta_{2}=\frac{\pi}{3}\)

Usando la multiplicación polar,

\ (\\ begin {array} {l}
z_ {1}\ times z_ {2} =4\ sqrt {3}\ times 8\ left (\ text {cis}\ left [\ frac {11\ pi} {6} +\ frac {\ pi} {3}\ right]\ right)\\
z_ {1}\ times z_ {2} =32\ sqrt {3}\ left (\ operatorname {cis}\ left [\ frac {13\ pi} {6}\ right]\ right)
\ end {array}\)

restando 2π del aumento:

z_ {1}\ times z_ {2} =32\ sqrt {3}\ izquierda (\ nombreoperador {cis}\ izquierda [\ frac {\ pi} {6}\ derecha]\ derecha)

o en forma expandida:\(\ 32 \sqrt{3}\left(\cos \left[\frac{\pi}{6}\right]+i \sin \left[\frac{\pi}{6}\right]\right)\)

En forma decimal esto se convierte en:\(\ 55.426(0.866+0.500 i) \text { or } 48+27.713 i\)

Comprobar:

\ (\\ begin {array} {l}
(6-2\ sqrt {3} i) (4+4\ sqrt {3} i) =24+24\ sqrt {3} i-8\ sqrt {3} i-24 i^ {2}\\
=24+16\ sqrt {3} i+24\\
=48+27,713 i
\ end {array}\)

Ejemplo 3

Usando división polar, encontrar el cociente de\(\ \frac{z_{1}}{z_{2}}\) dado que\(\ z_{1}=5-5 i\) y\(\ z_{2}=-2 \sqrt{3}-2 i\).

Solución

Para\(\ z_{1}: r_{1}=\sqrt{5^{2}+(-5)^{2}}\) y\(\ \tan \theta_{1}=\frac{-5}{5}, \text { so } \theta_{1}=\frac{7 \pi}{4} \left(4^{th} \text{ quadrant}\right.)\)

Para\(\ z_{2}: r_{2}=\sqrt{(-2 \sqrt{3})^{2}+(-2)^{2}}\) o\(\ \sqrt{16}=4\) y\(\ \tan \theta_{2}=\frac{-2}{(-2 \sqrt{3})}, \text { so } \theta_{2}=\frac{7 \pi}{6}\left(3^{r d} \text{ quadrant}\right.)\)

Usando la fórmula,\(\ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \times \operatorname{cis}\left[\theta_{1}-\theta_{2}\right]\) o

\ (\\ begin {array} {l}
=\ frac {5\ sqrt {2}} {4}\ veces\ texto {cis}\ izquierda [\ frac {7\ pi} {4} -\ frac {7\ pi} {6}\ derecha]\
=\ frac {5\ sqrt {2}} {4}\ veces\ texto {cis}\ izquierda [\ frac {7\ pi} {12}\ derecha]\\
=\ frac {5\ sqrt {2}} {4}\ izquierda [\ cos\ frac {7\ pi} {12} +i\ sin\ frac {7\ pi} {12}\ derecha]\\
=1.768 [-0.259+ (0.966) i]\\
=-0.458+1.708 i
\ end {array}\)

Verifique usando el conjugado complejo para hacer la división en forma rectangular:

\ (\\ begin {array} {l}
\ frac {5-5 i} {-2\ sqrt {3} -2 i}\ cdot\ frac {-2\ sqrt {3} +2 i} {-2\ sqrt {3} +2 i} =\ frac {-10\ sqrt {3} +10 i+10\ sqrt {3} i-10 i^ {2}} {(-2\ sqrt {3}) ^ {2} - (2 i) ^ {2}}\\
=\ frac {-10\ sqrt {3} +10 i+10\ sqrt {3} i+10} {12+4}\\
=\ frac {(-10\ sqrt {3} +10) + (10+10\ sqrt {3} ) i} {16}\\
=\ frac {(-17.3+10) + (10+17.3) i} {16}\\
=\ frac {(-7.3) + (27.3) i} {16}\ text {o}\\
-0.456+1.706 i
\ end {array}\)

Los dos enfoques radicalmente diferentes dan la misma respuesta. La pequeña diferencia entre las dos respuestas es resultado del redondeo decimal.

Ejemplo 5

Encuentra el producto:\(\ \left(7\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) \cdot\left(5\left(\frac{-\pi}{4}\right)\right)\).

Solución

Este es más fácil de lo que parece: Recordemos\(\ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2} \operatorname{cis}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)\).

\(\ r_{1} \cdot r_{2} \rightarrow 7 \cdot 5=35\)... Por sustitución y multplicatura

\(\ \theta_{1}+\theta_{2} \rightarrow\left(\frac{\pi}{6}\right)+\left(\frac{-\pi}{4}\right)\)... Sustituto

\(\ \left(\frac{2 \pi}{12}\right)+\left(\frac{-3 \pi}{12}\right)\)... Encuentra denominadores comunes

\(\ \left(\frac{-\pi}{12}\right)\)... Simplificar

\(\ \therefore 35 \operatorname{cis}\left(\frac{-\pi}{12}\right)\)es el producto

Ejemplo 6

Encuentra el cociente:\(\ \frac{1+2 i}{2-i}\).

Solución

Primero, encuentra el cociente por multiplicación polar:

\ (\\ begin {array} {l}
r_ {1} =\ sqrt {(1) ^ {2} + (2) ^ {2}} =\ sqrt {5}\ quad\ quad\ cuádruple r_ {2} =\ sqrt {(2) ^ {2} + (-1) ^ {2}} =\ sqrt {5}\\\ tan {1} =\ frac {2} {1}\\\ tan
\ theta_ {1} =2\\
\ theta_ {r e f} =1.107\ text {radianes}
\ end {array}\)

ya que el ángulo está en el ^primer cuadrante

θ ₁ = 1.107 radianes

para θ ₂,

\ (\\ begin {array} {l}
\ tan\ theta_ {2} =\ frac {-1} {2}\\
\ tan\ theta_ {r e f} =\ frac {1} {2}\
\ theta_ {r e f} =0.464\ text {radianes}
\ end {array}\)

ya que θ ₂ está en el ^cuadrante 4, entre\(\ 4.712\left(\text { or } \frac{3 \pi}{2}\right)\) y\(\ 6.282\) radianes (o\(\ 2 \pi\))

θ ₂ = 5.820 radianes

Por último, utilizando la fórmula de división,

\ (\\ begin {alineado}
&\ frac {z_ {1}} {z_ {2}} =\ frac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {5}} [\ nombreoperador {cis} (1.107-5.820)]\\
&\ frac {z_ {1}} {z_ {2}} = [\ nombreoperador {cis} (-4.713)]\\
&\ frac {z_ {1}} {z_ {2}} = [\ cos (-4.713) +i\ sin (-4.713)]\\
&\ frac {z_ {1}} {z_ {2}} = [\ cos (1 .570) +i\ sin (1.570)]\\
&\ text {Si asumimos que}\ frac {\ pi} {2} =1.570,\ text {entonces}\\
&\ approx\ frac {z_ {1}} {z_ {2}} =\ left [\ cos\ left (\ frac {\ pi} {2}\ right) +i\ sin\ left (\ frac {\ pi} {2}\ derecha)\ derecha]\\
&\ frac {z_ {1}} {z_ {2}} =0+1 i=i
\ end {alineado }\)

Revisar

Encuentra el producto usando forma polar:\(\ (2+2 i)(\sqrt{3}-i)\)
\(\ 2 \operatorname{cis}(40) \cdot 4 \operatorname{cis}(20)\)
Multiplicar:\(\ 2\left(\cos \frac{\pi}{8}+i \sin \frac{\pi}{8}\right) \cdot 2\left(\cos \frac{\pi}{10}+i \sin \frac{\pi}{10}\right)\)
\(\ \frac{2 \operatorname{cis}(80)}{6 \operatorname{cis}(200)}\)
Dividir:\(\ 3 \operatorname{cis}\left(130^{\circ}\right) \div 4 \operatorname{cis}\left(270^{\circ}\right)\)

Si\(\ z_{1}=7\left(\frac{\pi}{6}\right)\) y\(\ z_{2}=5\left(\frac{-\pi}{4}\right)\) encuentra:

\(\ z_{1} \cdot z_{2}\)
\(\ \left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)\)
\(\ \left(\frac{z_{2}}{z_{1}}\right)\)

Si\(\ z_{1}=8\left(\frac{\pi}{3}\right)\) y\(\ z_{2}=5\left(\frac{\pi}{6}\right)\) encuentra:

\(\ z_{1} z_{2}\)
\(\ \left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)\)
\(\ \left(\frac{z_{2}}{z_{1}}\right)\)
\(\ \left(z_{1}\right)^{2}\)
\(\ \left(z_{2}\right)^{3}\)

Encuentra los productos.

Encuentra el producto usando forma polar:\(\ (2+2 i)(\sqrt{3}-i)\)
\(\ 2\left(\cos 40^{\circ}+i \sin 40^{\circ}\right) \cdot 4\left(\cos 20^{\circ}+i \sin 20^{\circ}\right)\)
\(\ 2\left(\cos \frac{\pi}{8}+i \sin \frac{\pi}{8}\right) \cdot 2\left(\cos \frac{\pi}{10}+i \sin \frac{\pi}{10}\right)\)

Encuentra los cocientes.

\(\ 2\left(\cos 80^{\circ}+i \sin 80^{\circ}\right) \div 6\left(\cos 200^{\circ}+i \sin 200^{\circ}\right)\)
\(\ 3 \operatorname{cis}\left(130^{\circ}\right) \div 4 \operatorname{cis}\left(270^{\circ}\right)\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 4.9.

vocabulario

Término	Definición
Conjugado complejo	Los conjugados complejos son pares de binomios complejos. El complejo conjugado de a+bi es a-bi. Cuando se multiplican los conjugados complejos, el resultado es un solo número real.
número complejo	Un número complejo es la suma de un número real y un número imaginario, escritos en la forma a+bi.
forma rectangular	La forma rectangular de un punto o una curva se da en términos de x e y y se grafica en el plano cartesiano.