Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

6.3.4: Ecuaciones de hipérbola y la propiedad focal

  • Page ID
    108817
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ecuaciones de hipérbola y la propiedad focal

    Adrian y Evan estaban discutiendo la clase de matemáticas que acababan de terminar. La clase se centró en las hipérbolas (¡juego de palabras intencionado!) , y revisó las propiedades de las hipérbolas.

    Adrian piensa que las hipérbolas son muy similares a las parábolas que estudiaron la semana pasada, y cree que las formas son realmente las mismas. Evan piensa que no importa cómo se vean las partes de la hipérbola, ya que es la forma completa que están estudiando.

    ¿Quién está en lo correcto?


    Ecuaciones de hipérbola y la propiedad focal

    En comparación con las parábolas y elipses, las hipérbolas pueden parecer... ¡desordenadas! No solo es una forma infinita, ¡sino que hay dos piezas que ni siquiera están conectadas! Sin embargo, las hipérbolas son secciones cónicas: cuando el plano corta a través de dos partes del cono, las dos partes infinitas en forma de “U” se llaman juntas hipérbola.

    F-d_2f297e52d40cf696f072026942f2fb60317d93e78953d77e704ba6aa+image_tiny+image_tiny.jpg

    En esta sección veremos que esta forma en expansión en realidad tiene algunas propiedades hermosas que la hacen tan noble como sus primos.

    La Propiedad Focal

    Aunque esta forma parece mucho más difícil de concebir que una elipse, la hipérbola tiene una propiedad focal definitoria que es tan simple como la de la elipse. Recuerde, una elipse tiene dos focos y la forma se puede definir como el conjunto de puntos en un plano cuyas distancias a estos dos focos tienen una suma fija.

    F-d_7f97c9980093f6aa1c378e1d3b5643922352196ebc38571373599f2b+image_tiny+image_tiny.jpg

    Las hipérbolas también tienen dos focos, y pueden definirse como el conjunto de puntos en un plano cuyas distancias a estos dos puntos tienen la misma diferencia. Entonces en la imagen de abajo, por cada punto\(\ P\) de la hipérbola,\(\ \left|d_{2}-d_{1}\right|=C\) para alguna constante\(\ C\).

    F-d_8c8db88c33602be41262c5f6427e43fc26ec8cbfaa4d8f81cc7a0f88+image_tiny+image_tiny.jpg

    La forma general de una hipérbola que se abre hacia arriba y hacia abajo y cuyos focos se encuentran en el eje y es:

    \(\ \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)

    Conmutando x e y tenemos hipérbolas que se abren hacia la derecha y hacia la izquierda y cuyos focos se encuentran en el eje x.

    \(\ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)

    Para una hipérbola que está centrada alrededor del punto (h, k) tenemos las ecuaciones desplazadas:

    \(\ \frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1\)

    para una hipérbola que se abre hacia arriba y hacia abajo, y

    \(\ \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\)

    para una hipérbola apertura izquierda y derecha.


    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, le preguntaron si Evan o Adrian tienen razón.

    Solución

    Evan y Adrian tienen razón a su manera. Adrian tiene razón en que una hipérbola son solo dos parábolas en direcciones opuestas, lo que queda claro al considerar que una parábola se crea cortando un solo cono, y una hipérbola cortando dos conos idénticos al mismo tiempo. Evan tiene razón en que aunque una hipérbola está construida de dos parábolas, es la forma completa que están estudiando, y muchas o la mayoría de las fórmulas y definiciones que considerarán solo se aplican a la forma completa.

    Ejemplo 2

    La hipérbola es de tamaño infinito. En matemáticas esto se llama sin límites, lo que significa que ningún círculo, no importa cuán grande sea, puede encerrar la forma. Explica por qué una propiedad focal que involucra una diferencia da como resultado una forma sin límites, mientras que una propiedad focal que involucra una suma da como resultado una forma acotada.

    Solución

    En el caso de una elipse, teníamos dos distancias sumando a una constante. Dado que las distancias son ambas positivas entonces hay un límite en el tamaño de los números. En el caso de las hipérbolas, dos números positivos muy grandes pueden tener una diferencia mucho menor, de hecho infinitamente pequeña.

    Ejemplo 3

    Mostrar que la siguiente ecuación es una hipérbola. Gráficala y muestra sus focos.

    \(\ 144 x^{2}-576 x-25 y^{2}-150 y-3249=0\)

    Solución

    El coeficiente inicial positivo para el\(\ x^{2}\) término y el coeficiente inicial negativo para el\(\ y^{2}\) término indican que se trata de una hipérbola que está orientada horizontalmente. Agrupando y completando la plaza, tenemos:

    \ (\\ comenzar {alineado}
    144\ izquierda (x^ {2} -4 x\ derecha) -25\ izquierda (y^ {2} +6 y\ derecha) &=3249\\
    144\ izquierda (x^ {2} -4 x+4\ derecha) -25\ izquierda (y^ {2} +6 y+9\ derecha) &=3249+576-225\
    144 (x-2) ^ {2} -25 (y+3) ^ {2} &=3600\\
    \ frac {(x-2) ^ {2}} {5^ {2}} -\ frac {(y+3) ^ {2}} {12^ {2}} & ; =1
    \ end {alineado}\)

    Entonces nuestra hipérbola se centra en\(\ (2,-3)\). Sus vértices son 5 unidades a la derecha e izquierda de\(\ (2,-3)\), o en los puntos\(\ (7,-3)\) y\(\ (-3,-3)\). Se abre a la derecha y a la izquierda desde estos vértices. Es focos son\(\ c\) unidades a la izquierda y derecha de\(\ (2,-3)\), donde\(\ c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13\). Entonces es focos están en\(\ (15,-3)\) y\(\ (-11,-3)\). Trazando algunos puntos cerca\(\ (7,-3)\) y\(\ (-3,-3)\), la gráfica se ve así:

    F-d_71b1129b630f210bb3ca46113eb14cc7506b5a96c2099156e27d3a80+image_tiny+image_tiny.jpg

    Ejemplo 4

    Grafica la siguiente hipérbola y marca sus focos:\(\ 16 x^{2}+64 x-9 y^{2}+90 y-305=0\).

    Solución

    El coeficiente inicial positivo para el término y el coeficiente inicial negativo para el término indican que se trata de una hipérbola que está orientada horizontalmente. Agrupando y completando la plaza, tenemos:

    \(\ 16\left(x^{2}+4 x+4\right)-9\left(y^{2}-10 y+25\right)-305=64-225\)

    Factorización y combinación de términos similares:

    \(\ 16(x+2)^{2}-9(y-5)^{2}=144\)

    Divide ambos lados por 144 y reescribe 9 y 16 como 3 2 y 4 2:

    \(\ \frac{(x+2)^{2}}{3^{2}}-\frac{(y-5)^{2}}{4^{2}}=1\)

    f-d_6d67737221062f858ca8a3f47613a2625ac46951bb6d7011b534dca8+image_tiny+image_tiny.jpg

    Ejemplo 5

    Grafica la siguiente hipérbola y marca sus focos:\(\ x^{2}-8 x-y^{2}-4 y=-28\).

    Solución

    Para graficar\(\ x^{2}-8 x-y^{2}+4 y=-28\):

    \(\ (x-4)^{2}-(y-2)^{2}=-16\)... completar el cuadrado a factorizar

    \(\ \frac{(y-2)^{2}}{16}-\frac{(x-4)^{2}}{16}=1\)... reescribir en forma estándar

    \(\ x-4=0 \rightarrow x=4\)y\(\ y-2=0 \rightarrow y=2\)... por lo tanto el centro es\(\ (4, 2)\)

    Marque 4 unidades a la izquierda\(\ (4, 2)\) y derecha de y Marque 2 unidades arriba y abajo\(\ (4, 2)\), use esos cuatro puntos para definir los lados de una caja.

    Conecte las esquinas de la caja para ilustrar las asíntotas.

    Dado que el término “y” es el positivo, la hipérbola se abre hacia arriba y hacia abajo.

    Grafica la hipérbola, debería verse así:

    F-d_197773ec55a0d6bdc9fd2cbdc7de8667976a43d83c36f0ae99054f6e+image_tiny+image_tiny.png

    Ejemplo 6

    Grafica la siguiente hipérbola:\(\ x^{2}-8 x-y^{2}-2 y=-14\).

    Solución

    Para graficar\(\ x^{2}-8 x-y^{2}-2 y=-14\):

    \(\ (x-4)^{2}-(y+1)^{2}=1\)... completar el cuadrado a factorizar\(\ \frac{(x-4)^{2}}{1}-\frac{(y+1)^{2}}{1}=1\)... reescribir en forma estándar

    \(\ x-4=0 \rightarrow x=4\)y\(\ y+1=0 \rightarrow y=-1\)... por lo tanto el centro es\(\ (4, -1)\)

    Marque 4 unidades a la izquierda\(\ (4, -1)\) y derecha de y Marque 1 unidad arriba y abajo\(\ (4, -1)\), use esos cuatro puntos para definir los lados de una caja.

    Conecte las esquinas de la caja para ilustrar las asíntotas.

    Dado que el término “x” es el positivo, la hipérbola se abre a izquierda y derecha.

    Grafica la hipérbola, debería verse así:

    F-d_369f9f53eeabfa272892f3023c0841930deb88454a42fcd465ec3c50+image_tiny+image_tiny.png

    Ejemplo 7

    Encuentra la ecuación para la siguiente hipérbola:

    f-d_f050c64b1c280dbce6fd12ecd1e1c13665410489e3ae1f390b72106e+image_tiny+image_tiny.jpg

    Solución

    \(\ \frac{(x-4)^{2}}{4}-\frac{(y+2)^{2}}{45}=1\)


    Revisar

    Esboza las hipérbolas.

    1. \(\ \frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y-1)^{2}}{9}=1\)
    2. \(\ \frac{(y+3)^{2}}{4}-\frac{(x-4)^{2}}{9}=1\)
    3. \(\ \frac{(y+4)^{2}}{16}-\frac{(x-1)^{2}}{4}=1\)
    4. \(\ (x-2)^{2}-4 y^{2}=16\)
    5. \(\ \frac{y^{2}}{4}-\frac{(x-1)^{2}}{4}=1\)
    6. \(\ \frac{(x-2)^{2}}{16}-\frac{(y+4)^{2}}{1}=1\)
    7. \(\ \frac{(x+2)^{2}}{9}-\frac{(y+2)^{2}}{16}=1\)
    8. \(\ \frac{(x+4)^{2}}{9}-\frac{(y-2)^{2}}{4}=1\)
    9. Grafica la hipérbola y marca sus focos:\(\ 9 y^{2}+18 y-x^{2}+4 x-4=0\)
    10. Grafica la hipérbola y marca sus focos:\(\ 25 x^{2}+150 x-4 y^{2}+24 y+89=0\)

    Identificar la ecuación de la hipérbola usando la imagen.

    1. f-d_3f2008016e21db2d4de61dca0119eb6779278b2d0594dbfc56d90967+image_tiny+image_tiny.png
    2. f-d_35efc43f2ab58dad7efe3bc95d024dc4af7c4717f69e49c1e625686a+image_tiny+image_tiny.png
    3. f-d_c58fb6714f8ec2f3eb9dfd01ad00f727768c1708f312a3153aa7e415+image_tiny+image_tiny.png
    4. f-d_f4d5a0e62d41c8b21a240bb713dacea331182dcfffb9f49aa8c652c6+image_tiny+image_tiny.png
    5. f-d_d444938f47eeb2605751d0554f16e3660419a9bd74b226cb6d1fb935+image_tiny+imagen_tiny.png

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 6.6.


    vocabulario

    Término Definición
    Asíntotas Una asíntota es una línea en la gráfica de una función que representa un valor hacia el que la función puede acercarse, pero no alcanza (con ciertas excepciones).
    Cónico Las secciones cónicas son aquellas curvas que se pueden crear por la intersección de un doble cono y un plano. Incluyen círculos, elipses, parábolas e hipérbolas.
    Elipse Las elipses son secciones cónicas que parecen círculos alargados. Una elipse representa todas las ubicaciones en dos cotas que están a la misma distancia de dos puntos especificados llamados focos.
    Elipses Las elipses son secciones cónicas que parecen círculos alargados. Una elipse representa todas las ubicaciones en dos cotas que están a la misma distancia de dos puntos especificados llamados focos.
    hipérbola Una hipérbola es una sección cónica formada cuando el plano de corte cruza ambos lados del cono, dando como resultado dos curvas infinitas en forma de “U”.
    hipérbolas Una hipérbola es una sección cónica formada cuando el plano de corte cruza ambos lados del cono, dando como resultado dos curvas infinitas en forma de “U”.
    Parábola Una parábola es el conjunto de puntos que son equidistantes de un punto fijo en el interior de la curva, llamado el “'foco"', y una línea en el exterior, llamada la “'directrix"'. La directriz es vertical u horizontal, dependiendo de la orientación de la parábola.
    hipérbola perpendicular Una hipérbola perpendicular tiene asíntotas que se cruzan en un ángulo de 90°.
    sin límites Estar sin límites significa ser tan grande que ningún círculo, por más grande que sea, puede encerrar la forma.

    This page titled 6.3.4: Ecuaciones de hipérbola y la propiedad focal is shared under a CK-12 license and was authored, remixed, and/or curated by CK-12 Foundation via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.

    CK-12 Foundation
    LICENSED UNDER
    CK-12 Foundation is licensed under CK-12 Curriculum Materials License