7.1.1: Fórmulas recursivas

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Describir el patrón y escribir una regla recursiva para una secuencia

En 2013, los días en que apareció una luna llena estaban en la siguiente secuencia (siendo el 1 de enero el Día 1). Escribe una fórmula recursiva para la secuencia.

9, 38, 67, 96,...

Fuente: Moongiant

Regla Recursiva

Una regla recursiva para una secuencia es una fórmula que nos dice cómo progresar de un término a otro en una secuencia. Generalmente, la variable\(\ n\) se utiliza para representar el término número. Es decir,\(\ n\) toma los valores 1 (primer término), 2 (segundo término), 3 (tercer término), etc. La variable,\(\ a_{n}\) representa el\(\ n^{t h}\) término y\(\ a_{n-1}\) representa el término precedente\(\ a_{n}\).

Secuencia de ejemplo:\(\ 4,7,11,16, \ldots, a_{n-1}, a_{n}\)

En la secuencia anterior,\(\ a_{1}=4\),\(\ a_{2}=7\),\(\ a_{3}=11\) y\(\ a_{4}=16\).

Describamos el patrón y escribamos una regla recursiva para la secuencia: 9,11,13,15,...

Primero tenemos que determinar cuál es el patrón en la secuencia. Si restamos cada término del que le sigue, vemos que hay una diferencia común de 29. Por lo tanto, podemos usar\(\ a_{n-1}\) y\(\ a_{n}\) escribir una regla recursiva de la siguiente manera:\(\ a_{n}=a_{n-1}+29\)

Ahora, escribamos una regla recursiva para las siguientes secuencias.

3,9,27,81,...
En esta secuencia, cada término se multiplica por 3 para obtener el siguiente término. Podemos escribir una regla recursiva:\(\ a_{n}=3 a_{n-1}\)
1,1,2,3,5,8,...
Esta es una secuencia especial llamada secuencia de Fibonacci. En esta secuencia cada término es la suma de los dos términos anteriores. Podemos escribir la regla recursiva para esta secuencia de la siguiente manera:\(\ a_{n}=a_{n-2}+a_{n-1}\).

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que escribiera una fórmula recursiva para la secuencia 9, 38, 67, 96,...

Solución

Primero tenemos que determinar qué patrón está siguiendo la secuencia. Si restamos cada término del que le sigue, encontramos que hay una diferencia común de 29. Por lo tanto, podemos usar\(\ a_{n-1}\) y\(\ a_{n}\) escribir una regla recursiva de la siguiente manera:\(\ a_{n}=a_{n-1}+29\)

Escribe las reglas recursivas para las siguientes secuencias.

Ejemplo 2

1, 2, 4, 8,...

Solución

En esta secuencia cada término es el doble del término anterior por lo que la regla recursiva es:\(\ a_{n}=2 a_{n-1}\)

Ejemplo 3

1, −2, −5, −8,...

Solución

Esta vez se restan tres cada vez para obtener el siguiente mandato:\(\ a_{n}=a_{n-1}-3\)

Ejemplo 4

1, 2, 4, 7,...

Solución

Este es un poco más difícil de expresar. Trate de ver cada término como se muestra a continuación:

\ (\\ begin {array} {l}
a_ {1} &=1\\
a_ {2} &=a_ {1} +1\\
a_ {3} &=a_ {2} +2\\
a_ {4} &=a_ {3} +3\\
&\ vdots\\
a_ {n} &=a_ {n-1} + (n-1)
\ end {array}\)

Revisar

Describa el patrón y escriba una regla recursiva para las siguientes secuencias.

\(\ \frac{1}{4},-\frac{1}{2}, 1,-2\)...
5, 11, 17, 23,...
33, 28, 23, 18,...
1, 4, 16, 64,...
21, 30, 39, 48,...
100, 75, 50, 25,...
243, 162, 108, 72,...
128, 96, 72, 54,...
1, 5, 10, 16, 23,...
0, 2, 2, 4, 6,...
3, 5, 8, 12,...
0, 2, 6, 12,...
4, 9, 14, 19,...
\(\ \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}\)...
4, 5, 9, 14, 23,...

Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 11.2.

El vocabulario

Término	Definición
diferencia común	Cada secuencia aritmética tiene una diferencia común o constante entre términos consecutivos. Por ejemplo: En la secuencia 5, 8, 11, 14..., la diferencia común es “3".
relación común	Cada secuencia geométrica tiene una relación común, o una relación constante entre términos consecutivos. Por ejemplo en la secuencia 2, 6, 18, 54..., la relación común es 3.
índice	El índice de un término en una secuencia es el “lugar” del término en la secuencia.
recursivo	^{La fórmula recursiva para una secuencia le permite encontrar el valor del término n en la secuencia si conoce el valor del término (n-1) ^ésimo en la secuencia.}
fórmula recursiva	^{La fórmula recursiva para una secuencia le permite encontrar el valor del término n en la secuencia si conoce el valor del término (n-1) ^ésimo en la secuencia.}
secuencia	Una secuencia es una lista ordenada de números u objetos.