7.1.2: Fórmulas explícitas

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 108886

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Fórmulas explícitas

Rachel y Elaina han iniciado un sitio web donde debaten el mejor color de tinte para el cabello. El espectáculo es muy popular y los visitantes a su sitio web están aumentando muy rápidamente. Ellos consideran que la membresía está aumentando en alrededor de 500 personas cada tres días.

A este ritmo, ¿cuántos miembros tendrán el día 48? ¿Cuántos días pasarán antes de que lleguen a 25 mil miembros?

Fórmulas explícitas

Cuando representamos una secuencia con una fórmula que nos permite encontrar cualquier término en la secuencia sin conocer ningún otro término, estamos representando la secuencia explícitamente.

Dada una definición recursiva de una secuencia aritmética o geométrica, siempre se puede encontrar una fórmula explícita, o una ecuación para representar el término n ^º de la secuencia. Consideremos por ejemplo la secuencia de números impares con los que empezamos: 1, 3, 5, 7,...

Podemos encontrar una fórmula explícita para el término ⁿ de la secuencia si analizamos algunos términos:

\ (\\ begin {array} {l}
a_ {1} =1\\
a_ {2} =a_ {1} +2 = 1+2=3\\
a_ {3} =a_ {2} +2 = 1+2+2=5\
a_ {4} =a_ {3} +2=1+2+2+2=7\\
a_ {5} =a_ {4} +2=a_ {4} 2=1+2+2+2+2=9\\
a_ {6} =a_ {5} +2=1+2+2+2+2+2=11
\ end {array}\)

Tenga en cuenta que cada término está compuesto por un 1, y un conjunto de 2's ¿Cuántos 2's hay en cada término?

a ₁	= 1
a ₂	= 1 + 2 = 3
a ₃	= 1 + 2 × 2 = 5
a ₄	= 1 + 3 × 2 = 7
a ₅	= 1 + 4 × 2 = 9
a ₆	= 1 + 5 × 2 = 11

El término n ^º tiene (n - 1) 2's Por ejemplo, un ₉₉ = 1 + 98 × 2 = 197. Por lo tanto, podemos representar la secuencia como _n = 1 + 2 (n - 1). Podemos simplificar esta expresión:

a _n	= 1 + 2 (n - 1)
a _n	= 1 + 2 n - 2
a _n	= 2 n - 1

En general, podemos representar una secuencia aritmética de esta manera, siempre y cuando conozcamos el primer término y la diferencia común, d. Observe que en el ejemplo anterior, el primer término fue 1, y la diferencia común, d, fue 2. El término ⁿ es, por lo tanto, el primer término, más d (n - 1):

a _n	= a ₁ + d (n - 1)

Puede utilizar esta ecuación general para encontrar una fórmula explícita para cualquier término en una secuencia aritmética.

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le hicieron dos preguntas sobre la membresía de un sitio web.

Si las membresías están aumentando alrededor de 500 personas cada tres días, ¿cuántos miembros tendrán el día 48? ¿Cuántos días pasarán antes de que lleguen a 25 mil miembros?

Solución

Esta es en realidad una secuencia aritmética bastante simple: cada día hay 500/3 miembros más, en promedio. Utilice la fórmula para las secuencias aritméticas del Ejemplo 2 a continuación.

Ejemplo 2

^{Encuentra una fórmula explícita para el enésimo término de la secuencia 3, 7, 11, 15... y usa la ecuación para encontrar el término 50 en la secuencia.}

Solución

\(\ a_{n}=4 n-1\), y\(\ a_{50}=199\)

El primer término de la secuencia es 3, y la diferencia común es 4.

a _n	= a ₁ + d (n - 1)
a _n	= 3 + 4 (n - 1)
a _n	= 3 + 4 n - 4
a _n	= 4 n - 1

a ₅₀	= 4 (50) - 1 = 200 - 1 = 199

También podemos encontrar una fórmula explícita para una secuencia geométrica. Considere la siguiente secuencia:

		t ₂ = 2 t ₁ = 2 × 3 = 6
t ₁ = 3	→	t ₃ = 2 t ₂ = 2 × 6 = 12
t _n = 2 × t _n _-1		t ₄ = 2 t ₃ = 2 × 12 = 24
		t ₅ = 2 t ₄ = 2 × 24 = 48

Observe que cada término es el primer término, multiplicado por una potencia de 2. Esto se debe a que 2 es la relación común para la secuencia.

t ₁	= 3
t ₂	= 2 × 3 = 6
t ₃	= 2 × 2 × 6 = 2 ² × 6 = 12
t ₄	= 2 × 2 × 6 = 2 ³ × 6 = 24
t ₅	= 2 × 2 × 2 × 6 = 2 ⁴ × 6 = 48

La potencia de 2 en el ^n-ésimo término es (n -1). Por lo tanto, el término ^n-ésimo en esta secuencia puede definirse como: t _n = 3 (2 ⁿ ^{- 1}). En general, podemos definir el término n ^de una secuencia geométrica en términos de su primer término y su relación común, r:

t _n	= t ₁ (r ⁿ ^-1)

Puede utilizar esta ecuación general para encontrar una fórmula explícita para cualquier término en una secuencia geométrica.

Ejemplo 3

Encuentra una fórmula explícita para el n ^º término de la secuencia 5, 15, 45, 135... y usa la ecuación para encontrar el ^décimo término en la secuencia.

Solución

a _n = 5 × 3 ⁿ ^{- 1}, y a ₁₀ = 98,415

El primer término en la secuencia es 5, y r = 3.

a _n	= a ¹ × r ⁿ ^{- 1}
a _n	= 5 × 3 ^{n - 1}
a ₁₀	= 5 × 3 ^{10 - 1}
a ₁₀	= 5 × 3 ⁹ = 5 × 19,683 = 98,415

Nuevamente, siempre es posible escribir una fórmula explícita para términos de una secuencia aritmética o geométrica. Sin embargo, también puedes escribir una fórmula explícita para otras secuencias, siempre y cuando puedas identificar un patrón. Para ello, debes recordar que una secuencia es una función, lo que significa que existe una relación entre la entrada y la salida. Es decir, se debe identificar un patrón entre el término y su índice, o el “lugar” del término en la secuencia.

Ejemplo 4

Escribir una fórmula explícita para el enésimo término de la secuencia 1, (1/2), (1/3), (1/4)...

Solución

a _n = (1/ n)

Al principio es posible que veas un patrón en las fracciones, pero también puedes preguntarte sobre el primer término. Si escribes 1 como (1/1), entonces debería quedar claro que el término ⁿ es (1/ n).

Ejemplo 5

^{Escribe una fórmula explícita para la secuencia: 2, 9, 16... y usa la fórmula para encontrar el valor del término 20.}

Solución

Para la secuencia: 2, 9, 16...

\ (\\ begin {array} {l}
a_ {n} =7 n-5\\
\ por lo tanto a_ {20} =7 (20) -5\\
a_ {20} =135
\ end {array}\)

Ejemplo 6

Escribe una fórmula explícita para la secuencia: (1/2), (1/4), (1/8) y usa la fórmula para encontrar el valor del _séptimo término.

Solución

Para la secuencia: (1/2), (1/4), (1/8)...

\ (\\ begin {array} {l}
a_ {n} =\ frac {1} {2^ {n}}\\
\ por lo tanto a_ {7} =\ frac {1} {2^ {7}}\\
a_ {7} =\ frac {1} {128}
\ end {array}\)

Ejemplo 7

Identificar todas las secuencias en los dos ejemplos anteriores que son geométricas. ¿Cuál es la proporción común en cada secuencia?

Solución

La secuencia en el Ejemplo 5 es aritmética.

La secuencia en el Ejemplo 6 es geométrica y tiene r = 1/2.

Revisar

Nombra la secuencia como aritmética, geométrica, o ninguna.

−21, −6, 18, −3, 20, −2
\(\ 0, \frac{-1}{5}, \frac{-2}{5}, \frac{-3}{5}, \frac{-4}{5},-1\)
1, 3, 9, 27, 81, 243
2, 9, −2, 1, 18, 2

Escribe los primeros 5 términos de la secuencia aritmética (explícito).

\(\ a_{n}=-8-9(n-1)\)
\(\ a_{n}=6-\frac{2}{3}(n-1)\)
\(\ a_{n}=8+\frac{1}{3}(n-1)\)

Resuelve lo siguiente:

¿Cuáles son los primeros cinco términos de la secuencia? \(\ a_{n}=a_{n-1}-\frac{10}{3} ; a_{1}=-6\)
Dada la secuencia, escribe una función recursiva para generarla: 2, −4, −10, −16, −22, −28
Escribe la ecuación de\(\ a_{n}\) sin usar recursión:\(\ a_{n}=a_{n-1}-\frac{3}{2} ; a_{1}=10\)
Escribir como recursión:\(\ a_{n}=6-\frac{5}{3}(n-1)\)
Escribe la ecuación de\(\ a_{n}\) sin usar recursión:\(\ a_{n}=a_{n-1}+8 ; a_{1}=3\)
¿Cuáles son los primeros cinco términos de la secuencia? \(\ a_{n}=a_{n-1}-1 ; a_{1}=-5\)

Escribe una fórmula explícita para el término _n de la secuencia aritmética.

\(\ -7, \frac{-13}{3}, \frac{-5}{3}, 1, \frac{11}{3}, \frac{19}{3}\)
6, −4, −14, −24, −34, −44
9, 16, 23, 30, 37, 44
En una secuencia aritmética particular, el segundo término es 4 y el quinto término es 13. Escribe una fórmula explícita para esta secuencia.

Escribe los primeros 5 términos de la secuencia geométrica.

\(\ a_{n}=5(-3)^{(n-1)}\)
\(\ a_{n}=-6\left(\frac{-10^{(n-1)}}{3}\right)\)

Escriba la fórmula explícita para el término n _º de la secuencia geométrica.

−8, 16, −32, 64, −128, 256
\(\ 9, \frac{27}{2}, \frac{81}{4}, \frac{243}{8}, \frac{729}{16}, \frac{2187}{32}\)

Convierta la fórmula explícita en una fórmula recursiva.

\(\ a_{n}=9\left(\frac{-4}{3}\right)^{(n-1)}\)
\(\ a_{n}=-6(-4)^{(n-1)}\)
\(\ a_{n}=-5(5)^{(n-1)}\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 7.2.

El vocabulario

Término	Definición
secuencia aritmética	Una secuencia aritmética tiene una diferencia común entre cada dos términos consecutivos. Las secuencias aritméticas también son conocidas como progresiones aritméticas.
diferencia común	Cada secuencia aritmética tiene una diferencia común o constante entre términos consecutivos. Por ejemplo: En la secuencia 5, 8, 11, 14..., la diferencia común es “3".
relación común	Cada secuencia geométrica tiene una relación común, o una relación constante entre términos consecutivos. Por ejemplo en la secuencia 2, 6, 18, 54..., la relación común es 3.
Explícito	Las fórmulas explícitas definen cada término en una secuencia directamente, permitiendo calcular cualquier término en la secuencia sin conocer el valor de los términos anteriores.
Fórmula explícita	Las fórmulas explícitas definen cada término en una secuencia directamente, permitiendo calcular cualquier término en la secuencia sin conocer el valor de los términos anteriores.
secuencia geométrica	Una secuencia geométrica es una secuencia con una relación constante entre términos sucesivos. Las secuencias geométricas también se conocen como progresiones geométricas.
índice	El índice de un término en una secuencia es el “lugar” del término en la secuencia.
Números Naturales	Los números naturales son los números de conteo y constan de todos los números positivos, enteros. Los números naturales son los números de la lista 1, 2, 3... y a menudo se denominan enteros positivos.
recursivo	^{La fórmula recursiva para una secuencia le permite encontrar el valor del término n en la secuencia si conoce el valor del término (n-1) ^ésimo en la secuencia.}
fórmula recursiva	^{La fórmula recursiva para una secuencia le permite encontrar el valor del término n en la secuencia si conoce el valor del término (n-1) ^ésimo en la secuencia.}
secuencia	Una secuencia es una lista ordenada de números u objetos.