7.3.2: Inducción y Factores

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Inducción y Factores

La prueba por inducción es común en las matemáticas. En esta lección la utilizaremos para probar diferentes tipos de hipótesis y para practicar el uso del proceso en diferentes situaciones. Específicamente, estaremos aplicando los principios de inducción para acreditar diversas afirmaciones respecto a factores y factoriabilidad.

Inducción y Factores

Hay dos propiedades de los enteros y sus factores que serán útiles para las pruebas en esta lección.

Propiedad 1: Si a es un factor de b, y a es un factor de c, entonces a es un factor de la suma

b + c.

Por ejemplo, el conjunto de números a = 3, b = 6 y c = 9 satisface la hipótesis porque 3 es un factor de 6 y 3 es un factor de 9. La propiedad 1 establece que por lo tanto 3 es un factor de 9 + 6 = 15, lo que sabemos es cierto porque 3 × 5 = 15. Podemos probar que esta propiedad es cierta para todos los enteros si pensamos en lo que significa el término factor. Si a es un factor de b, entonces existe algún número entero M tal que aM = b. Del mismo modo si a es un factor de c, entonces existe algún número entero N tal que aN = c. Así podemos escribir la suma b + c como aM + aN. Sabemos

b + c = aM + aN = a (M + N).

Debido a que podemos escribir la suma como producto de a y otro número, a es un factor de la suma b + c.

Propiedad 2: Si a es un factor de b y b es un factor de c, entonces a es un factor de c.

Podemos probar esta propiedad de manera similar. Si a es un factor de b, entonces existe algún número entero M tal que aM = b. Si b es un factor de c, entonces existe algún número entero N tal que bN = c. Podemos escribir c de la siguiente manera:

c = bN = (aM) N = a (MN)

Por lo tanto a es un factor de c porque podemos escribir c como el producto de a y otro entero, MN.

Como se señaló anteriormente, estas propiedades de los enteros son útiles para probar declaraciones sobre números enteros y factores a través de la inducción.

Ejemplos

Ejemplo 1

Demostrar que 3 es un factor de 4 ⁿ - 1 para todos los enteros positivos n.

Solución

Prueba por inducción:

El caso base: si n = 1, entonces 4 ⁿ - 1 = 4 - 1 = 3. 3 es un factor de sí mismo porque 3 × 1 = 3. Si el caso base no te convence, siempre puedes probar valores adicionales de n. Por ejemplo, si n = 2, 4 ² - 1 = 16 - 1 = 15 = 5 × 3.
La hipótesis inductiva: asumir que 3 es un factor de 4 ^k - 1.

El paso inductivo: mostrar que 3 es un factor de 4 ^k+1 - 1.

Si 3 es un factor de 4 ^k - 1, entonces existe algún número entero M tal que 3 M = 4 ^k - 1. Podemos escribir 4 ^k+1 - 1 de una manera que nos permita utilizar la hipótesis inductiva:

4 ^k+1 - 1
4 (4 ^k -1) + 3	Factorizar 4, pero sumar 3 para mantener el valor de 4 ^k+1 -1
4 (3 M) + 3	Sustituto: 3 M = 4 ^k - 1

Tenga en cuenta que la sustitución es lo mismo que usar la propiedad 2 anterior: si 3 es un factor de 4 ^k - 1, entonces 3 es un factor de 4 (4 ^k - 1). El uso de la sustitución simplemente hace que el hecho sea un poco más obvio. Este último paso demuestra que 3 es un factor de 4 ^k+1 - 1, por propiedad 1 anterior.

La técnica de reescritura del término k + 1 también puede ser utilizada para probar afirmaciones sobre polinomios y factores.

Ejemplo 2

Demostrar que x - y es un factor de x ⁿ - y ⁿ para todos los enteros positivos n.

Solución

Nota: Ya que estamos hablando de polinomios que ahora son factorizables, no enteros, entonces decimos que si x - y es un factor de x ⁿ - y ⁿ, entonces existe un polinomio P tal que P (x - y) = x ⁿ - y ⁿ.

Prueba por inducción:

El caso base: Si n = 1, tenemos x ⁿ - y ⁿ = x - y, y x - y es un factor de sí mismo, como x - y = 1 (x - y).
Como hicimos anteriormente, también podemos verificar n = 2 para convencernos a nosotros mismos. Si n = 2, tenemos x ² - y ² = (x - y) (x + y), entonces x - y es claramente un factor.
La hipótesis inductiva: asumir que x - y es un factor de x ^k - y ^k.
Mostrar que x - y es un factor de x ^k+1 - y ^k+1.

A partir del paso inductivo, sabemos que hay algún polinomio P tal que P (x - y) = x ^k - y ^k. Podemos reescribir x ^k+1 - y ^k+1 de una manera que nos permita utilizar la hipótesis inductiva:

x ^k+1 - y ^k+1
= x ^k+1 - xy ^k + xy ^k - y ^k+1
= x (x ^k - y ^k) + y ^k (x - y)
= x (P (x - y)) + y ^k (x - y)
= Px (x - y) + y' ^k-1 (x - y )

Nuevamente, por la propiedad 1 anterior, esto demuestra que x - y es un factor de x ^k+1 - y ^k+1. Por lo tanto hemos demostrado que x - y es un factor de x ⁿ - y ⁿ para todos los enteros positivos n.

Ejemplo 3

Sin sumar, determinar si 7 un factor de 49 + 70.
Considera la suma 23 + 54 = 77. ¿7 es un factor de 77? ¿Qué le dice esto sobre la propiedad del primer factor en la lección?

Solución

Use la Propiedad 1 de la lección: Si a es un factor de b, y a es un factor de c, entonces a es un factor de la suma b + c.
7 es un factor de 70, ya que 7×10=70

Por lo tanto, 7 es un factor de 119, ya que 49+70=119
Esta es una prueba de lo contrario de la Propiedad 1, que sería “Si un número es un factor de la suma, entonces es un factor de los factores de la suma”
7 es un factor de la suma: 77

7 no es un factor de 23 o 54

Esto nos dice que lo contrario de la propiedad no es necesariamente cierto.

Ejemplo 4

Demostrar que x ⁿ - 1 es divisible por x - 1 para todos los enteros positivos n.

Solución

1. Caso base:	Si n = 1, x ^k - 1 = x - 1 = (x - 1) (1)
2. Hipótesis inductiva:	Supongamos que x ^k - 1 es divisible por x - 1
3. Paso inductivo:	Mostrar que x ^k+1 - 1 es divisible por x - 1.

x ^k - 1 divisible por x - 1 ⇒ P (x - 1) = (x ^k - 1) para algún polinomio P x ^{k + 1} - 1 = x (x ^k - 1) + (x - 1) = Px (x - 1) + (x - 1), que es divisible por x - 1

Ejemplo 5

Demostrar que n ² - n es par para todos los enteros positivos n.

Solución

1. Caso base:	Si n = 1, 1 ² - 1 = 1 - 1 = 0 = 2 × 0
2. Hipótesis inductiva:	Supongamos que k ² - k es par
3. Paso inductivo:	Demostrar que (k + 1) ² - (k + 1) es par.

Si k ² - k es par, entonces k ² - k = 2 M para algún número entero M (k + 1) ² - ( k + 1) = k ² + 2 k + 1 - k - 1 = k ² - k + 2 k = 2 M + 2 k = 2 (M + k) que es par porque M + K es un entero.

Ejemplo 6

Demostrar que 5 ^2n-1 + 1 es divisible por 6 para todos los enteros positivos n.

Solución

1. Caso base:	Si n = 1, 5 ¹ + 1 = 5 + 1 = 6 = 6 (1)
2. Hipótesis inductiva:	Supongamos que 5 ^2k-1 + 1 es divisible por 6.
3. Paso inductivo:	Mostrar que 5 ^{2 (k + 1) - 1} + 1 es divisible por 6.

Si 5 ^{2k - 1} + 1 es divisible por 6, entonces 5 ^{2k - 1} + 1 = 6M para algún entero M. 5 ^{2 (k + 1) - 1} + 1 = 5 ^{2k + 1} + 1 = 5 ² (5 ^{2k - 1} + 1) - 24 = 5 ² (6M) - 24 que es divisible por 6.

Revisar

Sin sumar, determinar si 7 es un factor de 49 + 70.
Considera la suma 23+54=77 ¿Es 7 un factor de 77? ¿Qué le dice esto sobre la propiedad del primer factor en la lección?
Demostrar que cualquier entero positivo n > 1 a) es primo o, b) puede representarse como un producto de factores primos.
Dentro del conjunto “J” se encuentran todos los enteros positivos, desde el número 1 hasta 2n. Demostrar que hay dos números, uno que es factor de otro, de cualquiera (n = 1) números elegidos del conjunto “J”
Demostrar que también\(\ \left(x^{n}+\frac{1}{x^{n}}\right)\) es un número entero para cualquier entero positivo n si lo siguiente es un número entero:\(\ \left(x+\frac{1}{x}\right)\)
Demostrar la fórmula\(\ n_{k+m}=n_{k-1} u_{m}+n_{k} n_{m+1}\) para la secuencia de números de Fibonacci:\(\ n_{1}=1, n_{2}=1, u_{k+1}=n_{k}+n_{k-1}, k=2,3 \ldots\)

Demostrar las siguientes identidades.

\(\ 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
\(\ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\)
\(\ 1 \cdot 2 \cdot 3+2 \cdot 3 \cdot 4+\ldots+n(n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\)
\(\ 1 x \cdot 1 !+2 x \cdot 2 !+\ldots+n \cdot n !=(n+1) !-1\)
\(\ n^{2} \frac{(n+1)^{2}}{4}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}\)
\(\ n(n+1) \frac{(2 n+1)}{6}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}\)

Demostrar las siguientes divisibilidades.

Demostrar que\(\ n \frac{(n+1)}{2}\) es un factor de\(\ 1+2+3+\ldots+n\) para todos los enteros positivos\(\ n\)
Demostrar que 3 es un factor de\(\ n^{3}+2 n\) para todos los enteros positivos\(\ n\).
Demostrar que\(\ n^{2} \frac{(n+1)^{2}}{4}\) es un factor de\(\ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 7.7.

El vocabulario

Término	Definición
factor	Los factores son los números que se multiplican para igualar un producto. Factorizar significa reescribir una expresión matemática como producto de factores.
inducción	La inducción es un método de prueba matemática que se usa típicamente para establecer que una declaración dada es verdadera para todos los enteros positivos.
Entera	Los enteros constan de todos los números naturales, sus opuestos y cero. Los enteros son números en la lista..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...
prueba	Una prueba es una serie de afirmaciones verdaderas que conducen a la aceptación de la verdad de una afirmación más compleja.