7.3.3: Inducción y Desigualdades

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Inducción y Desigualdades

Esta es la tercera de una serie de lecciones sobre pruebas matemáticas. En esta lección seguimos enfocándose principalmente en la prueba por inducción, esta vez de desigualdades, y otros tipos de pruebas como la prueba por geometría.

Inducción y Desigualdades

La propiedad transitiva de la desigualdad

A continuación, probaremos varias afirmaciones sobre las desigualdades que se basan en la propiedad transitiva de la desigualdad:

Si a < b y b < c, entonces a < c.

Tenga en cuenta que también podríamos hacer tal declaración dando la vuelta a las relaciones (es decir, usando declaraciones “mayores que”) o haciendo declaraciones inclusivas, como a ≥ b.

También es importante señalar que esta propiedad de los enteros es un postulado, o una afirmación que suponemos que es cierta. Esto significa que no necesitamos probar la propiedad transitiva de la desigualdad.

Ha encontrado otras propiedades útiles de las desigualdades en cursos anteriores de álgebra:

Propiedad de adición: si a > b, entonces a + c > b + c.

Propiedad de multiplicación: si a > b, y c > 0 entonces ac > bc.

Ejemplos

Ejemplo 1

Demostrar que\(\ n ! \geq 2^{n}\) para\(\ n \geq 4\)

Solución

Paso 1) ¡El caso base es n = 4:4! = 24, 2 ⁴ = 16. 24 ≥ 16 por lo que el caso base es verdadero.

Paso 2) Supongamos que k! ≥ 2 ^k para algún valor de k tal que k ≥ 4

Paso 3) ¡Demuéstralo (k +1)! ≥ 2 ^k+1

(k +1)! = ¡k! (k +1)	¡Reescribe (k +1)! en términos de k!
≥ 2 ^k (k +1)	Utilice el paso 2 y la propiedad de multiplicación.
≥ 2 ^k (2)	k +1 ≥ 5 >2, para que podamos volver a usar la propiedad de multiplicación.
= 2 ^k+1

Por lo tanto n! ≥ 2 ⁿ para n ≥ 4.

Ejemplo 2

¿Para qué valores de x es verdadera la desigualdad x > x ²?

Solución

La desigualdad es verdadera si x es un número entre -1 y 1 pero no 0.

Ejemplo 3

Demostrar que 9 ⁿ - 1 es divisible por 8 para todos los enteros positivos n.

Solución

1. Caso base:	Si n = 1, 9 ⁿ - 1 = 9-1 = 8 = 8 (1)
2. Hipótesis inductiva:	Supongamos que 9 ^k - 1 es divisible por 8.
3. Paso inductivo:	Mostrar que 9 ^k+1 - 1 es divisible por 8.

9 ^k - 1 divisible por 8 ⇒ 8 W = (9 ^k -1) para algún entero W
9 ^k+1 - 1 = 9 (9 ^k - 1) + 8 = 9 (8W) + 8, que es divisible por 8

Ejemplo 4

Demostrar que\(\ 2^{n}<n !\) para todos los enteros positivos\(\ n\) donde\(\ n \geq 4\).

Solución

Utilice los tres pasos de prueba por inducción:

Paso 1) Caso Base:\(\ 2^{4}<4 !\)

\(\ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2<1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\)

\(\ 16<24\)... Esto echa un cheque

Paso 2) Suposición:\(\ 2^{k}<k !\)

Paso 3) Paso de inducción: comenzando con\(\ 2^{k}<k !\) probar\(\ 2^{k}(k+1)<k !(k+1)\)

\(\ 2^{k}(k+1)<(k+1) !\)

\(\ 2<k+1 \ldots \ldots\)Si\(\ k \geq 4\) entonces esto es cierto

\(\ 2^{k} \cdot 2<2^{k}(k+1) \ldots\)Multiplicar ambos lados por\(\ 2^{k}\)

\(\ 2^{k+1}<2^{k}(k+1)\)

\(\ 2^{k+1}<(k+1) !\)

\(\ \therefore 2^{n}<n !\)para todos los enteros positivos\(\ n\) donde\(\ n \geq 4\)

Ejemplo 5

Demuéstralo\(\ n^{2}<3^{n}\) para todos los enteros\(\ n>2\).

Solución

Utilice los tres pasos de prueba por inducción:

Paso 1) Caso Base:\(\ (n=1) 1^{2}<3^{1}\) o, si lo prefieres,\(\ (n=2) 2^{2}<3^{2}\)

Paso 2) Suposición:\(\ k^{2}<3^{k}\)

Paso 3) Paso de inducción: comenzando con\(\ k^{2}<3^{k}\) probar\(\ (k+1)^{2}<3^{k+1}\)

\(\ k^{2} \cdot 3<3^{k} \cdot 3\)

\(\ 2 k<k^{2} \text { and } 1<k^{2}\)... asumiendo\(\ 2<k\) como se especifica en la pregunta

\(\ 2 k+1<2 k^{2}\)... combinar las dos declaraciones anteriores

\(\ k^{2}+2 k+1<3 k^{2}\)... agregar\(\ k^{2}\) a ambos lados

\(\ (k+1)^{2}<3 k^{2}\)

\(\ (k+1)^{2}<3 \cdot 3^{k}\)... desde arriba

\(\ (k+1)^{2}<3^{k+1}\)

\(\ \therefore n^{2}<3^{n}\)para todos los enteros\(\ n>2\)

Ejemplo 6

Demostrar que\(\ 2 n+1<2^{n}\) para todos los enteros\(\ n>3\)

Solución

Utilice los tres pasos de prueba por inducción:

Paso 1) Caso base: Si\(\ n=3,2(3)+1=7,2^{3}=8: 7<8\), entonces el caso base es verdadero.

Paso 2) Hipótesis inductiva: Supongamos que\(\ 2 k+1<2^{k}\) para\(\ k>3\)

Paso 3) Paso inductivo: Demuestre que\(\ 2(k+1)+1<2^{k+1}\)

\(\ 2(k+1)+1=2 k+2+1=(2 k+1)+2<2^{k}+2<2^{k}+2^{k}=2\left(2^{k}\right)=2^{k+1}\)

Revisar

Demostrar las siguientes desigualdades.

\(\ 5^{k}<(k+5) !\)
\(\ 1^{k}<(k+1) !\)
\(\ 4^{k}<(k+4) !\)
\(\ 2^{k}<(k+2) !\)
¿Para qué valores de\(\ x\) es\(\ x>x^{2}\) verdad la desigualdad?
Demuéstralo\(\ 3^{n}>n^{2}\) para todos los enteros positivos\(\ n\).

Demostrar las siguientes desigualdades.

\(\ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\ldots+\frac{1}{2 n}>\frac{13}{24}(n>1)\)
\(\ 2^{n} \geq n^{2}\)para\(\ n=4,5,6, \ldots\)
\(\ \frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots+\frac{1}{n^{2}}\)
Dado:\(\ x_{1}, \ldots, x_{n}\) son números positivos, probar lo siguiente:\(\ \frac{\left(x_{1}+\ldots+x_{n}\right)}{n} \geq\left(x_{1} \cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}\)
\(\ n ! \geq 3^{n}\)para\(\ n=7,8,9, \ldots\)

Complete las siguientes pruebas de inducción geométrica.

Demostrar que la longitud lateral de un cuadrilátero es menor que la suma de todas sus otras longitudes laterales.
Demostrar que la longitud lateral de un pentágono es menor que la suma de todas sus otras longitudes laterales.
Demostrar que es posible colorear todas las regiones de un plano divididas por varias líneas con dos colores diferentes, de modo que cualquiera de las dos regiones vecinas contengan un color diferente.

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 7.8.

El vocabulario

Término	Definición
!	El factorial de un número entero n es el producto de los enteros positivos de 1 a n. El símbolo “!” denota factorial. n! =1234... ⋅ (n−1) n.
factorial	El factorial de un número entero n es el producto de los enteros positivos de 1 a n. El símbolo “!” denota factorial. n! =1234... ⋅ (n−1) n.
inducción	La inducción es un método de prueba matemática que se usa típicamente para establecer que una declaración dada es verdadera para todos los enteros positivos.
desigualdad	Una desigualdad es una declaración matemática que relaciona expresiones que no son necesariamente iguales mediante el uso de un símbolo de desigualdad. Los símbolos de desigualdad son <, >, ≤, ≥ y ≠.
Entera	Los enteros constan de todos los números naturales, sus opuestos y cero. Los enteros son números en la lista..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...
postular	Un postulado es una afirmación que se acepta como verdadera sin pruebas.
prueba	Una prueba es una serie de afirmaciones verdaderas que conducen a la aceptación de la verdad de una afirmación más compleja.