7.7.2: Encontrar el término n dado dos términos para una secuencia geométrica

Encontrar el enésimo término dada la relación común y cualquier término o dos términos

Una muestra de bacterias se duplica cada hora. Después de cuatro horas hay 64 bacterias en la muestra. ¿Cuál es el\(\ n^{t h}\) término regla para la secuencia geométrica representada por esta situación?

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Encontrar el ^término n

Estaremos usando la regla general para el\(\ n^{t h}\) término en una secuencia geométrica y el término (s) dado (s) para determinar el primer término y escribir una regla general para encontrar cualquier otro término.

Consideremos la secuencia geométrica en la que la proporción común es\(\ -\frac{4}{5}\) y\(\ a_{5}=1280\). Encontraremos el primer término en la secuencia y escribiremos la regla general para la secuencia.

Empezaremos usando el término que conocemos, la proporción común y la regla general,\(\ a_{n}=a_{1} r^{n-1}\).

Al enchufar los valores que conocemos, entonces podemos resolver para el primer término,\(\ a_{1}\).

\ (\\ begin {alineado}
a_ {5} &=a_ {1}\ izquierda (-\ frac {4} {5}\ derecha) ^ {4}\\
1280 &=a_ {1}\ izquierda (-\ frac {4} {5}\ derecha) ^ {4}\
\ frac {1280} {\ izquierda (-\ frac {4} {5}\ derecha) ^ {4}} &=a_ {1}\\
3125 &=a_ {1}
\ end {alineado}\)

Ahora bien, el\(\ n^{t h}\) término regla es\(\ a_{n}=3125\left(-\frac{4}{5}\right)^{n-1}\).

Ahora, vamos a encontrar el\(\ n^{t h}\) término regla para una secuencia en la que\(\ a_{1}=16\) y\(\ a_{7}=\frac{1}{4}\).

Ya que\(\ a_{7}=\frac{1}{4}\) y conocemos el primer término, podemos escribir la ecuación\(\ \frac{1}{4}=16 r^{6}\) y resolver para la relación común:

\ (\\ comenzar {alineado}
\ frac {1} {4} &=16 r^ {6}\
\ frac {1} {64} &=r^ {6}\
\ sqrt [6] {\ frac {1} {64}} &=\ sqrt [6] {r^ {6}}\
\ frac {1} {2} &=r
\ end alineado}\)

El\(\ n^{t h}\) término regla es\(\ a_{n}=16\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\).

Por último, vamos a encontrar el\(\ n^{t h}\) término regla para la secuencia geométrica en la que\(\ a_{5}=8\) y\(\ a_{10}=\frac{1}{4}\).

Usando el mismo método en el problema anterior, podemos resolver para\(\ r\) y\(\ a_{1}\). Entonces, escribe la regla general.

Ecuación 1:\(\ a_{5}=8\), entonces\(\ 8=a_{1} r^{4}\), resolviendo para\(\ a_{1}\) nosotros obtenemos\(\ a_{1}=\frac{8}{r^{4}}\).

Ecuación 2:\(\ a_{10}=\frac{1}{4}\), entonces\(\ \frac{1}{4}=a_{1} r^{9}\), resolviendo para\(\ a_{1}\) nosotros obtenemos\(\ a_{1}=\frac{\frac{1}{4}}{r^{9}}\).

\ (\\ comenzar {alineado}
\ frac {8} {r^ {4}} &=\ frac {\ frac {1} {4}} {r^ {9}}\\
8 r^ {9} &=\ frac {1} {4} r^ {4}\
\ frac {8 r^ {9}} {8 r^ {4}} &=\ frac {\ frac {1} {4} r^ {4}} {8 r^ {4}}\\
r^ {5} &=\ frac {1} {32}\
\ sqrt [5] {r^ {5}} &=\ sqrt [5] {\ frac {1 } {32}}\\
r &=\ frac {1} {2}
\ final {alineado}\)

Por lo tanto,\(\ a_{1}=\frac{8}{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}}=\frac{8}{\frac{1}{16}}=\frac{8}{1} \cdot \frac{16}{1}=128\).

El\(\ n^{t h}\) término regla es\(\ a_{n}=\left(\frac{3}{8}\right)(2)^{n-1}\).

Nota

Al resolver la ecuación anterior para\(\ r\) dividimos ambos lados por\(\ r^{4}\). En general no es recomendable dividir ambos lados de una ecuación por la variable porque podemos perder una posible solución,\(\ r=0\). Sin embargo, en este caso,\(\ r \neq 0\) ya que es el cociente común en una secuencia geométrica.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió encontrar el\(\ n^{t h}\) término regla de la secuencia geométrica representada por una muestra de bacterias que se duplica cada hora.

Solución

Se nos da eso\(\ a_{4}=64\) y debido a que la muestra se duplica cada hora sabemos que la proporción común es\(\ 2\). Por lo tanto, podemos tapar los valores conocidos en la ecuación\(\ a_{n}=a_{1} r^{n-1}\) para obtener\(\ a_{1}\).

\ (\\ comenzar {alineado}
a_ {4} &=a_ {1} r^ {n-1} &\\
64 &=a_ {1} (2) ^ {3}\\
64 &=8 a_ {1}\\
8 &=a_ {1}
\ end {alineado}\)

Por lo tanto, hay\(\ 8\) bacterias en la muestra para empezar y el\(\ n^{t h}\) término regla es\(\ a_{n}=8 \cdot 2^{n-1}\).

Ejemplo 2

Encuentra el primer término y la regla de\(\ n^{t h}\) término para la secuencia geométrica dado que\(\ r=-\frac{1}{2}\) y\(\ a_{6}=3\).

Solución

Utilice las cantidades conocidas en la forma general para que el\(\ n^{t h}\) término regla encuentre\(\ a_{1}\).

\ (\\ comenzar {alineado}
3 &=a_ {1}\ izquierda (-\ frac {1} {2}\ derecha) ^ {5}\
\ izquierda (-\ frac {32} {1}\ derecha)\ cdot 3 &=a_ {1}\ izquierda (-\ frac {1} {32}\ derecha)\ cdot\ izquierda (-\ frac {32} {1}\ derecha)\\
a_ {1} &=-96
\ end {alineado}\)

Por lo tanto,\(\ a_{n}=-96\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)

Ejemplo 3

Encuentra la relación común y el\(\ n^{t h}\) término regla para la secuencia geométrica dado que\(\ a_{1}=-\frac{16}{625}\) y\(\ a_{6}=-\frac{5}{2}\).

Solución

Nuevamente, sustituya en las cantidades conocidas para resolver\(\ r\).

\ (\\ comenzar {alineado}
-\ frac {5} {2} &=\ izquierda (-\ frac {16} {625}\ derecha) r^ {5}\
-\ frac {5} {2}\ izquierda (-\ frac {625} {16}\ derecha) &=r^ {5}\
\ frac {3125} {32} &=r^ {5}}\\
\ sqrt [5] {\ frac {3125} {32}} &=\ sqrt [5] {r^ {5}}\\
r &=\ frac {5} {2}
\ end {alineado}\)

Entonces,\(\ a_{n}=-\frac{16}{625}\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1}\)

Ejemplo 4

Encuentra el\(\ n^{t h}\) término regla para la secuencia geométrica en la que\(\ a_{5}=6\) y\(\ a_{13}=1536\).

Solución

Esta vez tenemos dos incógnitas, el primer término y la proporción común. Tendremos que resolver un sistema de ecuaciones utilizando ambos términos dados.

Ecuación 1:\(\ a_{5}=6\), entonces\(\ 6=a_{1} r^{4}\), resolviendo para\(\ a_{1}\) nosotros obtenemos\(\ a_{1}=\frac{6}{r^{4}}\).

Ecuación 2:\(\ a_{13}=1536\), entonces\(\ 1536=a_{1} r^{12}\), resolviendo para\(\ a_{1}\) nosotros obtenemos\(\ a_{1}=\frac{1536}{r^{12}}\).

Ahora que ambas ecuaciones están resueltas\(\ a_{1}\) porque podemos establecerlas iguales entre sí y resolver para\(\ r\).

\ (\\ comenzar {alineado}
\ frac {6} {r^ {4}} &=\ frac {1536} {r^ {12}}\\
6 r^ {12} &=1536 r^ {4}\
\ frac {6 r^ {12}} {6 r^ {4}} &=\ frac {1536 r^ {4}} {6 r^ {4}}\\
r^ {8} &=256\\
\ sqrt [8] {r^ {8}} &=\ sqrt [8] {256}\\
r &=2
\ end {alineado}\)

Ahora usa\(\ r\) para encontrar\(\ a_{1}\):\(\ a_{1}=\frac{6}{\left(2^{4}\right)}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}\).

El\(\ n^{t h}\) término regla es\(\ a_{n}=\left(\frac{3}{8}\right)(2)^{n-1}\).

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Revisar

Utilice la información dada para encontrar el\(\ n^{t h}\) término regla para cada secuencia geométrica.

1. \(\ r=\frac{2}{3}\)y\(\ a_{8}=\frac{256}{81}\)
2. \(\ r=-\frac{3}{4}\)y\(\ a_{5}=\frac{405}{8}\)
3. \(\ r=\frac{6}{5}\)y\(\ a_{4}=3\)
4. \(\ r=-\frac{1}{2}\)y\(\ a_{7}=5\)
5. \(\ r=\frac{6}{7}\)y\(\ a_{0}=1\)
6. \(\ a_{1}=\frac{11}{8}\)y\(\ a_{7}=88\)
7. \(\ a_{1}=24\)y\(\ a_{4}=81\)
8. \(\ a_{1}=48\)y\(\ a_{4}=\frac{3}{4}\)
9. \(\ a_{1}=\frac{343}{216}\)y\(\ a_{5}=\frac{6}{7}\)
10. \(\ a_{6}=486\)y\(\ a_{10}=39366\)
11. \(\ a_{5}=648\)y\(\ a_{10}=\frac{19683}{4}\)
12. \(\ a_{3}=\frac{2}{3}\)y\(\ a_{5}=\frac{3}{2}\)
13. \(\ a_{5}=\frac{4}{3}\)y\(\ a_{10}=-\frac{128}{3}\)

Utilice una secuencia geométrica para resolver los siguientes problemas de palabras.

14. Los padres de Ricardo quieren tener 100.000 dólares ahorrados para pagar la universidad para cuando Ricardo se gradúe de la preparatoria (dentro de 16 años). Si el vehículo de inversión que eligen invertir en siniestros arroja 7% de crecimiento anual, ¿cuánto deberían invertir hoy en día? Da tu respuesta a los mil dólares más cercanos.
15. Si una pieza de maquinaria se deprecia (pierde valor) a una tasa de 6% anual, ¿cuál fue su valor inicial si tiene 10 años y vale 50.000 dólares? Da tu respuesta a los mil dólares más cercanos.

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Respuestas para problemas de revisión

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