5.1: Reglas de Constante, Identidad y Poder

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La regla del poder es un fantástico “atajo” para encontrar las derivadas de polinomios básicos. Entre la regla de poder y la definición básica de la derivada de una constante, se puede identificar un gran número de derivadas polinómicas con poco esfuerzo, ¡muchas veces en tu cabeza!

Derivadas constantes y la regla del poder

En esta lección, desarrollaremos fórmulas y teoremas que calcularán derivados de formas más eficientes y rápidas. Busque estos teoremas en cajas a lo largo de la lección.

La derivada de una constante

Teorema

Si\[f(x)=c \nonumber\] donde c es una constante, entonces\[f'(x)=0 \nonumber\]

Prueba: \[f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{c-c}{h}=0 \nonumber\]

Teorema

Si c es una constante y f es diferenciable en absoluto x, entonces

Prueba: \[ \frac{d}{dx}[cf(x)]=c \frac{d}{dx}[f(x)] \nonumber\]En notación más simple\[(cf)'=c(f)'=cf' \nonumber\]

La regla del poder

Teorema

(La regla de poder) Si n es un entero positivo, entonces para todos los valores reales de x\[ \frac{d}{dx}[x^n]=nx^{n-1} \nonumber\]

Ejemplos

Ejemplo 1

Encuentra f′ (x) para f (x) =16.

Si f (x) =16 para todos x, entonces f′ (x) =0 para todos x.

También podemos escribir\[ \frac{d}{dx}16=0 \nonumber\]

Ejemplo 2

Encuentra la derivada de f (x) =4x ³.

\[\frac{d}{dx} 4x^3 \nonumber\]... Reafirmar la función

\[4 \frac{d}{dx} x^3 \nonumber\]... Aplicar la ley conmutativa

\[4[3x^2] \nonumber\]... Aplicar la regla de poder

\[12x^2 \nonumber\]... Simplificar

Ejemplo 3

Encuentra la derivada de\[f(x)= \frac{-2}{x^4} \nonumber\].

\[ \frac{d}{dx}[\frac{-2}{x^4}] \nonumber\]... Reafirmar

\[ \frac{d}{dx}[-2x^{-4}] \nonumber\]... Reglas de exponentes

\[ -2 \frac{d}{dx}[x^{-4}] \nonumber\]... Por la ley conmutativa

\[ -2 [-4x^{-4-1}] \nonumber\]... Aplicar la regla de poder

\[ -2 [-4x^{-5}] \nonumber\]... Simplificar

\[8x^{-5} \nonumber\]... Simplificar de nuevo

\[ \frac{8}{x^5} \nonumber\]... Usar reglas de exponentes

Ejemplo 4

Encuentra la derivada de f (x) =x.

Aplicación especial de la regla de poder:

\[\frac{d}{dx}[x]=1x^{1−1}=x^0=1 \nonumber\]

Ejemplo 5

Encuentra la derivada de f (x) =x ^0.5.

Reafirmar la función:\[\frac{d}{dx}[x^{0.5}] \nonumber\]

Usando reglas de exponentes (de álgebra):\[\frac{d}{dx}[x^{1/2}] \nonumber\]

Aplicar la regla de poder:\[\frac{1}{2} x^{1/2−1} \nonumber\]

Simplificar:\[\frac{1}{2} x^{-1/2} \nonumber\]

Reglas de exponentes:\[\frac{1}{2x^{1/2}} \nonumber\]

Ejemplo 6

Encuentra la derivada de\[f(x)= \frac{1}{x^3} \nonumber\].

Reafirmar la función:\[\frac{d}{dx}[\frac{1}{x^3}] \nonumber\]

Reglas de exponentes:\[\frac{d}{dx} x^{-3}] \nonumber\]

Regla de potencia:\[−3x^{-3−1} \nonumber\]

Simplificar:\[−3x^{-4} \nonumber\]

Reglas de exponentes:\[\frac{-3}{x^4} \nonumber\]

Revisar

Estado la regla del poder.

Encuentra la derivada:

2. \[y=5 x^{7}\]
3. \[y=-3 x\]
4. \[f(x)=\frac{1}{3} x+\frac{4}{3}\]
5. \[y=x^{4}-2 x^{3}-5 \sqrt{x}+10\]
6. \[y=\left(5 x^{2}-3\right)^{2}\]
7. Dado\[y(x)=x^{-4 \pi^{2}}\] encontrar la derivada cuando\[x=1\]
8. \[y(x)=5\]
9. Dado $\[u(x)=x^{-5 \pi^{3}},\] lo que es\[u^{\prime}(2) ?\]
10. \[y=\frac{1}{5}\]cuando\[x=4\]
11. Dado\[d(x)=x^{-0.37}\] lo que es\[d^{\prime}(1) ?\]
12. \[g(x)=x^{-3}\]
13. \[u(x)=x^{0.096}\]
\[k(x)=x-0.49\]
\[y=x^{-5 \pi^{3}}\]

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.9.

El vocabulario

Término	Definición
derivado	La derivada de una función es la pendiente de la línea tangente a la función en un punto dado de la gráfica. Las notaciones para derivadas incluyen f′ (x), dydx, y′, dfdx y\ frac {df (x)} {dx}.
prueba	Una prueba es una serie de afirmaciones verdaderas que conducen a la aceptación de la verdad de una afirmación más compleja.
teorema	Un teorema es una afirmación que puede demostrarse verdadera usando postulados, definiciones y otros teoremas que ya han sido probados.

Recursos adicionales

PLIX: Juega, aprende, interactúa, explora - Calculadora derivada: reglas de potencia

Video: Cálculo - Derivados

Práctica: Reglas de Constante, Identidad y Poder

Mundo real: Girar y gritar