5.2: Reglas de diferenciación de suma y diferencia

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Con base en su conocimiento de la definición límite de la derivada de una función, y las propiedades de límites discutidas en un concepto anterior, ¿puede hacer una predicción en este momento cómo se debe determinar la derivada de una suma o diferencia de dos funciones?

Diferenciación de Sumas y Diferencias

Aquí están las reglas de diferenciación para la suma y diferencia de dos funciones:

\[\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]= \frac{d}{dx}[f(x)]+ \frac{d}{dx}ddx[g(x) \nonumber\]

\[\frac{d}{dx}[f(x)−g(x)]=\frac{d}{dx}[f(x)]−\frac{d}{dx}[g(x)] \nonumber\]

En notación más simple\[(f±g)′=f′±g′ \nonumber\]

El uso de las propiedades de límite de capítulos anteriores debería permitirle averiguar por qué se aplican estas reglas de diferenciación.

A menudo es necesario aplicar varias reglas para encontrar la derivada de una función. Para encontrar la derivada de f (x) =3x ² +2x, es necesario aplicar la fórmula suma de derivados y la regla de potencia:

\[\frac{d}{dx}3x^2+2x]=\frac{d}{dx}[3x^2]+\frac{d}{dx}[2x] \nonumber\]

=\[3 \frac{d}{dx}[x^2]+2 \frac{d}{dx}[x] \nonumber\]

=\[3[2x]+2[1] \nonumber\]

=\[6x+2 \nonumber\]

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que hiciera una predicción para la suma y diferencias de derivatves.

En un concepto anterior, aprendiste que si existen los límites:

\[ \displaystyle \lim_{x \to a} [f(x)±g(x)] = \lim_{x \to a} f(x)± \lim_{x \to a} g(x), \nonumber\]

Dado que la derivada de una función está definida por un límite, ddx [f (x) ±g (x)] se definiría por límite aplicado a [f (x) ±g (x)]. Elaborar los detalles para ver que las reglas anteriores tienen sentido.

Ejemplo 2

Dado: t (x) =x−1, qué es ^dt/_dx cuando x=0

Por la regla de diferencia:

\[ (x−1)′=(x)′−(1)′=0 \nonumber\]

\[x′=1 \nonumber\]... Por la regla del poder

\[1′=0 \nonumber\]... La derivada de una constante = 0

Entonces cuando evaluamos esto en x=0, obtenemos 1, ya que\[1−0=1 \nonumber\]

Ejemplo 3

Encuentra la derivada:\[ f(x)=x^3−5x^2 \nonumber\]

Usa las reglas de diferencia y poder para ayudar a:

\[ \frac{d}{dx}[x^3−5x^2]=\frac{d}{dx}[x^3]−5\frac{d}{dx}[x^2] \nonumber\]

\[ =3x^2−5[2x] \nonumber\]

\[ =3x^2−10x \nonumber\]

Ejemplo 4

Dado\[ a(x)=−\pi x^{−0.54}+6x^4 \nonumber\] Lo que es\[\frac{d}{dx}a(x)? \nonumber\]

Usaremos las reglas de suma y poder:

\[ \frac{d}{dx}(−\pi x^{−0.54}+6x^4)=\frac{d}{dx}(−\pi x^{−0.54}+\frac{d}{dx}(6x^4) \nonumber\]... Por la regla de la suma

\[= -\pi \frac{d}{dx}(x^{−0.54})+6 \frac{d}{dx}(x^4) \nonumber\]... Por la Constante - función Regla del producto

\[=0.54 \pi x^{−1.54}+24x^3 \nonumber\]... Por la regla del poder

Revisar

Para #1 -7, encuentra la derivada usando la regla de suma/diferencia

1. \[y=\frac{1}{2}\left(x^{3}-2 x^{2}+1\right)\nonumber\]
2. \[y=\sqrt{2} x^{3}-\frac{1}{\sqrt{2}} x^{2}+2 x+\sqrt{2}\nonumber\]
3. \[y=a^{2}-b^{2}+x^{2}-a-b+x\nonumber\](donde $a, b$ son constantes)
4. \[y=x^{-3}+\frac{1}{x^{7}}\nonumber\]
5. \[y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\nonumber\]
6. \[f(x)=(-3 x+4)^{2}\nonumber\]
7. \[f(x)=-0.93 x^{10}+\left(\pi^{3} x\right)^{\frac{-5}{12}}\nonumber\]
8. Qué es\[\frac{d}{d x}(2 x+1)^{2} ?\nonumber\]
9. Dado:\[a(x)=(-5 x+3)^{2}\nonumber\] Qué es\[\frac{d y}{d x} ?\nonumber\]
10. \[v(x)=-3 x^{3}+5 x^{2}-2 x-3\nonumber\]Qué es\[v^{\prime}(0) ?\nonumber\]
11. \[f(x)=2 x^{2}+3 x+1 .\nonumber\]Encuentra\[f^{\prime}(x)\nonumber\]
12. \[f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x} .\nonumber\]Encuentra\[f^{\prime}(1)\nonumber\]
13. \[y=(x+1)(x+2) \cdot\nonumber\]Evaluar\[\frac{d y}{d x}\nonumber\] a los\[x=-\frac{1}{2}\nonumber\]
14. \[f(x)=2 a x^{3}+x^{2} ; f^{\prime}(-2)=0 \nonumber\]Encuentra un
15. \[f(x)=a\left(x^{2}-5\right) ;\nonumber\]encontrar un para que\[f^{\prime \prime}(5)=20\nonumber\]

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.5.

vocabulario

Término	Definición
derivado	La derivada de una función es la pendiente de la línea tangente a la función en un punto dado de la gráfica. Las notaciones para derivadas incluyen f′ (x), dydx, y′, dfdx y\ frac {df (x)} {dx}.
diferenciable	Una función diferenciable es una función que tiene una derivada que se puede calcular.

Recursos adicionales

Video: Regla del producto

Práctica: Reglas de diferenciación de suma y diferencia