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5.9: Paralelogramos

  • Page ID
    107499
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Encuentra medidas de ángulo desconocidas de cuadriláteros con dos pares de lados paralelos.

    Un paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos.

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    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Observe que cada par de lados está marcado paralelo (para las dos últimas formas, recuerde que cuando dos líneas son perpendiculares a la misma línea entonces son paralelas). Los paralelogramas tienen muchas propiedades interesantes.

    Datos sobre los paralelogramos

    1. Teorema de lados opuestos: Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces ambos pares de lados opuestos son congruentes.

    Si

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    Figura\(\PageIndex{2}\)

    entonces

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    Figura\(\PageIndex{3}\)

    2. Teorema de ángulos opuestos: Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces ambos pares de ángulos opuestos son congruentes.

    Si

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    Figura\(\PageIndex{4}\)

    entonces

    f-d_38a3a7e2860bd48a289437b11c5d8d38969c1bee2977b985fe32989e+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{5}\)

    3. Teorema de ángulos consecutivos: Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces todos los pares de ángulos consecutivos son complementarios.

    Si

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    Figura\(\PageIndex{6}\)

    entonces

    f-d_38a3a7e2860bd48a289437b11c5d8d38969c1bee2977b985fe32989e+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{7}\)

    \(\begin{aligned} m\angle A+m\angle D&=180^{\circ} \\ m\angle A+m\angle B&=180^{\circ} \\ m\angle B+m\angle C&=180^{\circ} \\ m\angle C+m\angle D&=180^{\circ} \end{aligned}\)

    4. Teorema de las diagonales del paralelogramo: Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces las diagonales se bisecan entre sí.

    Si

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    Figura\(\PageIndex{8}\)

    entonces

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    Figura\(\PageIndex{9}\)

    ¿Y si te dijeran que\(FGHI\) es un paralelogramo y se te da la longitud de FG\) y la medida de\(\angle F\)? ¿Qué puedes determinar sobre\(HI\)\(\angle H\),\(\angle G\), y\(\angle I\)?

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Demostrar que las diagonales de\(FGHJ\) bisectar entre sí.

    f-d_03a8e7d7267d582bcda6e32549da3b61910abd4aa3983417573f8595+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{10}\)

    Solución

    Encuentra el punto medio de cada diagonal.

    \(\begin{aligned}\text{ Midpoint of } \overline{FH}:& \left(\dfrac{−4+6}{2}, \dfrac{5−4}{2}\right)=(1,0.5) \\ \text{ Midpoint of } of\: \overline{GJ}: & \left(\dfrac{3−1}{2}, \dfrac{3−2}{2}\tight)=(1,0.5)\end{aligned}\)

    Debido a que son el mismo punto, las diagonales se cruzan en el punto medio de la otra. Esto significa que se bisectan entre sí.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Encuentre las medidas de a y b en el paralelogramo a continuación:

    f-d_345c1eb74af71473e0e2933ba2798bd8cc094438b8f45c2dcebd9989+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{11}\)

    Solución

    Los ángulos consecutivos son suplementarios por lo\(127^{\circ}+m\angle b=180^{\circ}\) que significa que\(m\angle b=53^{\circ}\). \(a\)y\(b\) son ángulos interiores alternos y dado que las líneas son paralelas (ya que es un paralelogramo), eso significa que\(m\angle a=m\angle b=53^{\circ}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    \(ABCD\)es un paralelogramo. Si\(m\angle A=56^{\circ}\), encuentra la medida de los otros ángulos.

    Solución

    Primero dibuja un cuadro. Al etiquetar los vértices, se listan las letras, en orden.

    f-d_c5df69650ecbb0d4710c414d22b150ec22f31e9d7ddb1d0854803dda+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{12}\)

    Si\(m\angle A=56^{\circ}\), entonces\(m\angle C=56^{\circ}\) por el Teorema de Ángulos Opuestos.

    \ (\ begin {alineado}
    &m\ ángulo A+m\ ángulo B=180^ {\ circ}\ quad\ text {por el Teorema de Ángulos Consecutivos.}\\
    &56^ {\ circ} +m\ ángulo B=180^ {\ circ}\\
    &m\ ángulo B=124^ {\ circ}\ quad m\ ángulo D=124^ {\ circ}\ quad\ text {porque es un ángulo opuesto a}\ ángulo B
    \ end {alineado}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Encuentra los valores de\(x\) y\(y\).

    f-d_bbd796e60f9972dc63a286a56789a9500fb9e460ff1fa19cbbf0f8b5+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{13}\)

    Solución

    Recuerda que los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes. Configura ecuaciones y resuelve.

    \(\begin{aligned} 6x−7&=2x+9 \\ 4x&=16 \\ x&=4 \\ y+3&=12 \\ y&=9\end{aligned} \)

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Demostrar el teorema de lados opuestos.

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    Figura\(\PageIndex{14}\)

    Solución

    Dado:\(ABCD\) es un paralelogramo con diagonal\(\overline{BD}\)

    Demostrar:\(\overline{AB}\cong \overline{DC}\),\(\overline{AD}\cong \overline{BC} \)

    Declaración Razón
    1. \(ABCD\)es un paralelogramo con diagonal\(\overline{BD}\) 1. Dado
    2. \(\overline{AB}\parallel \overline{DC}\),\(\overline{AD}\parallel \overline{BC}\) 2. Definición de un paralelogramo
    3. \(\angle ABD\cong \angle BDC\),\(\angle ADB\cong \angle DBC\) 3. Teorema de ángulos interiores alternos
    4. \(\overline{DB}\cong \overline{DB}\) 4. PoC reflexivo
    5. \(\Delta ABD\cong \Delta CDB\) 5. ASA
    6. \(\overline{AB}\cong \overline{DC}\),\(\overline{AD}\cong \overline{BC}\) 6. CPCTC

    La prueba del Teorema de Ángulos Opuestos es casi idéntica.

    Revisar

    \(ABCD\)es un paralelogramo. Rellena los espacios en blanco a continuación.

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    Figura\(\PageIndex{15}\)
    1. Si\(AB=6\), entonces\(CD= \text{______}\).
    2. Si\(AE=4\), entonces\(AC= \text{______}\).
    3. Si\(m\angle ADC=80^{\circ}\),\(m\angle DAB = \text{______}\).
    4. Si\(m\angle BAC=45^{\circ}\),\(m\angle ACD = \text{______}\).
    5. Si\(m\angle CBD=62^{\circ}\),\(m\angle ADB = \text{______}\).
    6. Si\(DB=16\), entonces\(DE = \text{______}\).
    7. Si\( m\angle B=72^{\circ}\) en paralelogramo\(ABCD\), encuentra los otros tres ángulos.
    8. Si\(m\angle S=143^{\circ}\) en paralelogramo\(PQRS\), encuentra los otros tres ángulos.
    9. Si está\(\overline{AB}\perp \overline{BC}\) en paralelogramo\(ABCD\), encuentre la medida de los cuatro ángulos.
    10. Si\(m\angle F=x^{\circ}\) en paralelogramo\(EFGH\), encuentra los otros tres ángulos.

    Para las preguntas 11-18, encuentre los valores de la (s) variable (s). Todas las cifras a continuación son paralelogramos.

    1. f-d_ac67dd022466e9db02576fdca241d797010ed4fc03b3fe649b2f0b1f+image_tiny+imagen_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{16}\)
    2. F-D_A32E2C3617A37EFD77E0D013E3F4788789075409559F44092FB8FF01+Image_Tiny+Image_Tiny.png
      Figura\(\PageIndex{17}\)
    3. f-d_a973128a397929358d8d8b4179e3bd7548dcb85fefdd58e86bf3533fec+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{18}\)
    4. F-d_a2e291c76568c99b080cd4707788ff1d9dc6d223aae3be872d751f2c+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{19}\)
    5. F-d_a209b5cd1cf9d73521e65993d910557d2c2f9708605c92a30986abd7+image_tiny+imagen_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{20}\)
    6. F-D_98662387D16E923A2F946322721D102169628550B15A697988267D74+Image_Tiny+Imagen_Tiny.png
      Figura\(\PageIndex{21}\)
    7. f-d_9680af28a174e6a54198a609c73189aae8f2fd57d2dd8725805de7fd+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{22}\)
    8. f-d_ad9e5078b4dc578e2daaed9eadf826bb808145e64862f78f5713e7fc+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{23}\)

    Usa el paralelogramo\(WAVE\) para encontrar:

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    Figura\(\PageIndex{24}\)
    1. \(m\angle AWE\)
    2. \(m\angle ESV\)
    3. \(m\angle WEA\)
    4. \(m\angle AVW\)

    Encuentra el punto de intersección de las diagonales para ver si\(EFGH\) es un paralelogramo.

    1. \(E(−1,3), F(3,4), G(5,−1), H(1,−2)\)
    2. \(E(3,−2), F(7,0), G(9,−4), H(5,−4)\)
    3. \(E(−6,3), F(2,5), G(6,−3), H(−4,−5)\)
    4. \(E(−2,−2), F(−4,−6), G(−6,−4), H(−4,0)\)

    Rellene los espacios en blanco en las pruebas a continuación.

    1. Teorema de ángulos opuestos
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    Figura\(\PageIndex{25}\)

    Dado:\(ABCD\) es un paralelogramo con diagonal\(\overline{BD}\)

    Demostrar:\(\angle A\cong \angle C\)

    Declaración Razón
    1. 1. Dado
    2. \(\overline{AB}\parallel \overline{DC}\),\(\overline{AD}\parallel \overline{BC}\) 2.
    3. 3. Teorema de ángulos interiores alternos
    4. 4. PoC reflexivo
    5. \(\Delta ABD\cong \Delta CDB\) 5.
    6. \(\angle A\cong \angle C\) 6.
    1. Teorema de las diagonales del paralelogramo
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    Figura\(\PageIndex{26}\)

    Dado:\(ABCD\) es un paralelogramo con diagonales\(\overline{BD}\) y\(\overline{AC}\)

    Demostrar:\(\overline{AE}\cong \overline{EC}\),\(\overline{DE}\cong \overline{EB}\)

    Declaración Razón
    1. 1.
    2. 2. Definición de un paralelogramo
    3. 3. Teorema de ángulos interiores alternos
    4. \(\overline{AB}\cong \overline{DC}\) 4.
    5. 5.
    6. \( \overline{AE}\cong \overline{EC}\),\(\overline{DE}\cong \overline{EB}\) 6.
    1. Encontrar\(x\),\(y^{\circ}\), y\(z^{\circ}\). (Los dos cuadriláteros con el mismo lado son paralelogramos.)
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    Figura\(\PageIndex{27}\)

    El vocabulario

    Término Definición
    paralelogramo Un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. Un paralelogramo puede ser un rectángulo, un rombo o un cuadrado, pero no necesita ser ninguno de los tres.

    Recursos adicionales

    Elemento Interactivo

    Video: Principios de paralelogramos - Básico

    Actividades: Paralelogramas Preguntas de Discusión

    Ayudas de estudio: Guía de estudio de paralelogramos

    Práctica: Paralelogramos

    Mundo Real: Paralelogramos


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