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LibreTexts Español

6.12: Acordes y arcos de ángulo central

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    107261
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Arcos determinados por ángulos cuyo vértice es el centro de un círculo y acordes (segmentos que conectan dos puntos en un círculo).

    Acordes en Círculos

    Teoremas de Acorde

    Existen varios teoremas importantes sobre acordes que te ayudarán a analizar mejor los círculos.

    1. Teorema de Acorde #1: En el mismo círculo o círculos congruentes, los arcos menores son congruentes si y sólo si sus acordes correspondientes son congruentes.

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    Figura\(\PageIndex{1}\)

    En ambas fotos,\(\overline{BE}\cong \overline{CD}\) y\(\widehat{BE}\cong \widehat{CD}\).

    2. Teorema de Acorde #2: La bisectriz perpendicular de una cuerda también es un diámetro.

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    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Si\(\overline{AD}\perp \overline{BC}\) y\(\overline{BD}\cong \overline{DC}\) entonces\(\overline{EF}\) es un diámetro.

    3. Teorema de Acorde #3: Si un diámetro es perpendicular a una cuerda, entonces el diámetro biseca la cuerda y su arco correspondiente.

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    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Si\(\overline{EF}\perp \overline{BC}\), entonces\(\overline{BD}\cong \overline{DC}\)

    4. Teorema del acorde #4: En el mismo círculo o círculos congruentes, dos acordes son congruentes si y sólo si son equidistantes del centro.

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    Figura\(\PageIndex{4}\)

    La distancia más corta de cualquier punto a una línea es la línea perpendicular entre ellos. Si\(FE=EG\) y\(\overline{EF}\perp \overline{EG}\), entonces\(\overline{AB}\) y\(\overline{CD}\) son equidistantes al centro y\(\overline{AB}\cong \overline{CD}\).

    ¿Y si te dieran un círculo con dos acordes dibujados a través de él? ¿Cómo podrías determinar si estos dos acordes eran congruentes?

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Encuentra el valor de\(x\) y\(y\).

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    Figura\(\PageIndex{5}\)

    Solución

    El diámetro es perpendicular a la cuerda, lo que significa que biseca la cuerda y el arco. Configure ecuaciones para\(x\) y\(y\).

    \ (\ begin {array} {rlr}
    (3 x-4) ^ {\ circ} & =( 5 x-18) ^ {\ circ} & y+4=2 y+1\\
    14 & =2 x & 3=y\\
    7 & =x
    \ end {array}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    \(BD=12\)y\(AC=3\) en\(\bigodot A\). Encuentra el radio.

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    Figura\(\PageIndex{6}\)

    Solución

    Primero encuentra el radio. \(\overline{AB}\)es un radio, así podemos usar el triángulo rectángulo\ Delta ABC\) con hipotenusa\(\overline{AB}\). Del Teorema del Acorde #3,\(BC=6\).

    \(\begin{aligned} 3^2+6^2&=AB^2 \\ 9+36&=AB^2 \\ AB&=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\end{aligned}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    \(\bigodot A\)Utilízala para responder lo siguiente.

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    Figura\(\PageIndex{7}\)
    1. Si\(m\widehat{BD}=125^{\circ}\), encuentra\(m\widehat{CD}\).
    2. Si\(m\widehat{BC}=80^{\circ}\), encuentra\(m\widehat{CD}\).

    Solución

    1. \(BD=CD\), lo que significa que los arcos también son congruentes. \(m\widehat{CD}=125^{\circ}\).
    2. \(m\widehat{CD}\cong m\widehat{BD}\)porque\(BD=CD\).

    \(\begin{aligned} m\widehat{BC}+m\widehat{CD}+m\widehat{BD}&=360^{\circ} \\ 80^{\circ}+2m\widehat{CD}&=360^{\circ} \\ 2m\widehat{CD}&=280^{\circ} \\ m\widehat{CD}=140^{\circ}\end{aligned}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Encuentra los valores de\(x\) y\(y\).

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    Figura\(\PageIndex{8}\)

    Solución

    El diámetro es perpendicular a la cuerda. Del Teorema de Acorde #3,\(x=6\) y\(y=75^{\circ}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Encuentra el valor de\(x\).

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    Figura\(\PageIndex{9}\)

    Solución

    Debido a que la distancia desde el centro a los acordes es igual, los acordes son congruentes.

    \(\begin{aligned} 6x−7&=35 \\ 6x&=42 \\ x&=7 \end{aligned}\)

    Revisar

    Rellene los espacios en blanco.

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    Figura\(\PageIndex{10}\)
    1. \(\text{_____}\cong \overline{DF}\)
    2. \(\widehat{AC} \cong \text{_____}\)
    3. \(\widehat{DJ}\cong \text{_____}\)
    4. \(\text{_____}\cong \overline{EJ}\)
    5. \(\angle AGH\cong \text{_____}\)
    6. \(\angle DGF\cong \text{_____}\)
    7. Enumere todos los radios congruentes en\(\bigodot G\).

    Encuentra el valor del arco indicado en\(\bigodot A\).

    1. \(m\widehat{BC}\)
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      Figura\(\PageIndex{11}\)
    2. \(m\widehat{BD}\)
      f-d_bce947699ed17e4af5984ac250939bce56a798366107e63de77029c5+imagen_tiny+imagen_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{12}\)
    3. \(m\widehat{BC}\)
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      Figura\(\PageIndex{13}\)
    4. \(m\widehat{BD}\)
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      Figura\(\PageIndex{14}\)
    5. \(m\widehat{BD} \)
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      Figura\(\PageIndex{15}\)
    6. \(m\widehat{BD}\)
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      Figura\(\PageIndex{16}\)

    Encuentra el valor de\(x\) y/o\(y\).

    1. F-D_95516e6a2de73e7e3446d679a0d9b1f3111de133bc0cf62b5a7fc83b+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{17}\)
    2. f-d_d47ecdb188af6f2ba1d054cd698e394d84eb04b4f4638b6d0767b4e2+image_tiny+imagen_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{18}\)
    3. f-d_9be9abda5a3dbc885f1f2cd569efbbf5fc8ac77202c1b9a5f088667b+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{19}\)
    4. \(AB=32\)
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      Figura\(\PageIndex{20}\)
    5. F-D_4492ff4d528ec529326136c74f79977f45dd9b253385402237da0e9c+imagen_tiny+imagen_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{21}\)
    6. F-D_8F018A04724318888C2AF6DAB8E56ABF73852CA4F411BF60D1F003FC+Image_Tiny+Image_Tiny.png
      Figura\(\PageIndex{22}\)
    7. F-D_56aee6101f23de087cdb1cf8e4c4128722b26f889fa0706c5874e346+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{23}\)
    8. f-d_737eb20a8a8d654e96f6dc7cc4bc884a737733cb0201d3d4f039bcc9+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{24}\)
    9. \(AB=20\)
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      Figura\(\PageIndex{25}\)
    10. Encuentra\(m\widehat{AB}\) en la Pregunta 17. Redondea tu respuesta al décimo de grado más cercano.
    11. Encuentra\(m\widehat{AB}\) en la Pregunta 22. Redondea tu respuesta al décimo de grado más cercano.

    En los problemas 25-27, ¿qué se puede concluir sobre el panorama? Afirma un teorema que justifique tu respuesta. Se puede suponer que A es el centro del círculo.

    1. f-d_eb4b17b2ae37553bd45a56c987091014a1018bd3481fa03047b60e08+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{26}\)
    2. f-d_f73f80551beeb5404eb70ce01f9b8b70fba384ebd8c21685d435c671+image_tiny+imagen_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{27}\)
    3. f-d_cd466baf5e5be089161117b67b6f950de91de043fb4b82a3506276a9+image_tiny+imagen_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{28}\)

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 9.4.

    El vocabulario

    Término Definición
    acorde Un segmento de línea cuyos extremos están en un círculo.
    círculo El conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto específico, llamado el centro.
    diámetro Un acorde que pasa por el centro del círculo. La longitud de un diámetro es dos veces la longitud de un radio.
    radio La distancia desde el centro hasta el borde exterior de un círculo.

    Recursos adicionales

    Elemento Interactivo

    Video: Acordes en Círculos Principios - Básico

    Actividades: Acordes en Círculos Preguntas de Discusión

    Ayudas de estudio: Círculos: segmentos y longitudes Guía de estudio

    Práctica: Acordes y arcos de ángulo central


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