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2.5: Polinomio División Larga y División Sintética

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    107392
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    Si bien puede tener experiencia en factorización, siempre habrá polinomios que no factorizan fácilmente usando técnicas básicas o avanzadas. ¿Cómo se pueden identificar las raíces de estos polinomios?

    Raíces Racionales y Polinomios Divididos

    Existen numerosos teoremas que señalan las relaciones entre polinomios y sus factores. Por ejemplo hay un teorema de que un polinomio de grado\(n\) debe tener exactamente\(n\) soluciones/factores que pueden o no ser números reales. El teorema de la raíz racional y el teorema del resto son dos teoremas que son lugares de partida particularmente útiles a la hora de manipular polinomios.

    El teorema de la raíz racional

    El Teorema de la Raíz Racional establece que en un polinomio, cada solución racional puede escribirse como una fracción reducida\(\left(x=\frac{p}{q}\right),\) donde\(p\) es un factor entero del término constante y\(q\) es un factor entero del coeficiente principal.

    Identificemos todas las posibles soluciones racionales del siguiente polinomio utilizando el Teorema de la Raíz Racional.

    \(12 x^{18}-91 x^{17}+x^{16}+\cdots+2 x^{2}-14 x+5=0\)

    Los factores enteros de 5 son 1,5. Los factores enteros de 12 son 1,2,3,4,6 y\(12 .\) dado que los pares de factores podrían ser ambos negativos, recuerde incluir\(\pm\).

    \(\pm \frac{p}{q}=\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{5}{1}, \frac{5}{2}, \frac{5}{3}, \frac{5}{4}, \frac{5}{6}, \frac{5}{12}\)

    Las posibles soluciones se pueden encontrar a partir de estas 24 posibles respuestas racionales. Si esta pregunta requería que encontraras una solución, entonces el Teorema de la Raíz Racional te daría un gran punto de partida. Una vez que tengas una raíz, puedes usar ya sea una división polinómica larga o sintética para dividir el factor y seguir reduciendo la expresión. Utilizaremos el Teorema Racional de la Raíz en el Ejemplo 3.

    Polinomio División Larga y Teorema del Resto

    La división larga polinómica es idéntica a la división larga regular, excepto que el dividendo y el divisor son polinomios en lugar de números.

    El Teorema del Resto establece que el resto de un polinomio\(f(x)\) dividido por un divisor lineal\((x-a)\) es igual a\(f(a)\). El Teorema del Resto solo es útil después de haber realizado la división polinómica larga porque generalmente nunca se le da el divisor y el resto para comenzar. El propósito principal del Teorema del Resto en este escenario es un medio de doble comprobación de su aplicación de la división polinómica larga.

    Pongamos en uso este conocimiento y usemos la división polinómica larga para dividir:

    \(\frac{x^{3}+2 x^{2}-5 x+7}{x-3}\)

    Primero señalar que es claro que 3 no es una raíz del polinomio debido al Teorema de la Raíz Racional y así definitivamente habrá un resto. Comience una pregunta polinómica de división larga escribiendo el problema como un problema de división larga con números regulares:

    \(- x - 3 \longdiv { x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } - 5 x + 7 }\)

    Primero señalar que es claro que 3 no es una raíz del polinomio debido al Teorema de la Raíz Racional y así definitivamente habrá un resto. Comience una pregunta polinómica de división larga escribiendo el problema como un problema de división larga con números regulares:

    \(- x - 3 \longdiv { x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } - 5 x + 7 }\)

    Al igual que con los números regulares pregúntate “¿cuántas veces\(x\) entra\(x^{3}\)?” que en este caso lo es\(x^{2}\).

    \(\frac{x^{2}}{x-3) x^{3}+2 x^{2}-5 x+7}\)

    Ahora multiplique el\(x^{2}\) por\(x-3\) y copie a continuación. Recuerda restar la cantidad total.

    \ begin {tabular} {c}
    \(x^{2}\)\\
    \ hline\(x-3) x^{3}+2 x^{2}-5 x+7\)\\
    \(-\left(x^{3}-3 x^{2}\right)\)
    \ final {tabular}

    Combina las filas, baja el siguiente número y repite.

    \(\frac{x^{2}+5 x+10}{3) x^{3}+2 x^{2}-5 x+7}\)
    \(\frac{-\left(x^{3}-3 x^{2}\right)}{5 x^{2}-5 x}\)
    \(\frac{-\left(5 x^{2}-15 x\right)}{10 x+7}\)
    \(\frac{-(10 x-30)}{37}\)

    El número 37 es el resto. Hay dos cosas en las que pensar en este punto. Primero, interprete en una ecuación:

    \(\frac{x^{3}+2 x^{2}-5 x+7}{x-3}=\left(x^{2}+5 x+10\right)+\frac{37}{x-3}\)

    Segundo, verifica tu resultado con el Teorema del Resto que establece que la función original evaluada en 3 debe ser 37. Observe la notación que indica sustituir 3 en por\(x\).

    \(\left.\left(x^{3}+2 x^{2}-5 x+7\right)\right|_{x=3}=3^{3}+2 \cdot 3^{2}-5 \cdot 3+7=27+18-15+7=37\)

    División Sintética

    La división sintética es una versión abreviada de la división polinómica larga donde solo se utilizan los coeficientes. La división sintética se utiliza principalmente cuando los coeficientes principales del numerador y denominador son iguales a 1 y el divisor es un binomio de primer grado. Usemos la división sintética para dividir la misma expresión que dividimos anteriormente con la división polinómica larga:

    \(\frac{x^{3}+2 x^{2}-5 x+7}{x-3}\)

    En lugar de escribir y reescribir continuamente los\(x\) símbolos, la división sintética se basa en un espaciado ordenado.

    \(\pm 3 \mid \begin{array}{llll}1 & 2 & -5 & 7\end{array}\)

    Observe cómo solo se utilizan los coeficientes para el denominador y el divisor incluye un tres positivo en lugar de un tres negativo. El primer coeficiente se baja y luego se multiplica por los tres para producir el valor que va por debajo del 2.

    clipboard_ece0b72a8911113140c9815b1e6d79071.png

    A continuación se agrega la nueva columna. \(2+3=5,\)que va por debajo de la\(2^{n d}\) columna. Ahora, multiplicar\(5 \cdot+3=15\), que va por debajo del -5 en la\(3^{r d}\) columna. Y el proceso se repite...

    clipboard_e78cc8c7ea6f4aca43831176a28e690c3.png

    El último número, 37, es el resto. Al escribir la expresión resultante, pondrás este resto sobre el divisor. Los otros tres números representan la cuadrática que es idéntica a la solución al resultado de dividir la expresión usando división polinómica larga. Tenga en cuenta que al escribir la expresión, disminuye en 1 el exponente del coeficiente principal del original.

    \(\left(1 x^{2}+5 x+10\right)+\frac{37}{x-3}\)

    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, se le preguntó sobre la identificación de raíces de polinomios que no factorizan fácilmente utilizando las técnicas que ha aprendido hasta ahora. Identificar raíces de polinomios a mano puede ser un asunto complicado. La mejor manera de identificar raíces es usar el teorema racional de la raíz para identificar rápidamente posibles candidatos para soluciones y luego usar la división larga sintética o polinómica para probarlas de manera rápida y efectiva para ver si sus restos son realmente cero.

    Ejemplo 2

    Dividir los siguientes polinomios.

    \(\frac{x^{3}+2 x^{2}-4 x+8}{x-2}\)

    Dado que los coeficientes principales del numerador y denominador son ambos 1 y el denominador es un binomio, la división sintética es un buen método para usar aquí.

    \(\frac{x^{3}+2 x^{2}-4 x+8}{x-2}=x^{2}+4 x+4+\frac{16}{x-2}\)

    Ejemplo 3

    Completamente factorizar el siguiente polinomio.

    \(x^{4}+6 x^{3}+3 x^{2}-26 x-24\)

    Observe que las raíces posibles son ±1,2,3,4,6,8,24. De estas 14 posibilidades, cuatro producirán un resto de cero. Cuando encuentres una, usa división larga o división sintética para factorizar la raíz que encontraste. Entonces encuentra otro cero y repite el proceso.

    \(x^{4}+6 x^{3}+3 x^{2}-26 x-24\)
    \(=(x+1)\left(x^{3}+5 x^{2}-2 x-4\right)\)
    \(=(x+1)(x-2)\left(x^{2}+7 x+12\right)\)
    \(=(x+1)(x-2)(x+3)(x+4)\)

    El primer cero encontrado fue -1. Se dividió de la expresión original para encontrar la porción restante no factorizada de la expresión. El segundo cero encontrado fue 2 de la pieza restante y se dividió. Una vez que llegas a una expresión cuadrática, puedes usar las otras técnicas de factorización que conoces para factorizar el resto de la expresión.

    Ejemplo 4

    Dividir los siguientes polinomios.

    \(\frac{3 x^{5}-2 x^{2}+10 x-5}{x-1}\)

    Dado que el primer coeficiente del numerador no es 1, la división polinómica larga es un buen método para usar aquí.

    \(\frac{3 x^{5}-2 x^{2}+10 x-5}{x-1}=3 x^{4}+3 x^{3}+3 x^{2}+x+11+\frac{6}{x-1}\)

    Revisar

    Identificar todas las posibles soluciones racionales de los siguientes polinomios utilizando el Teorema de Raíz Racional.

    1. \(15 x^{14}-12 x^{13}+x^{12}+\cdots+2 x^{2}-5 x+5=0\)

    2. \(18 x^{11}+42 x^{10}+x^{9}+\cdots+x^{2}-3 x+7=0\)

    3. \(12 x^{16}+11 x^{15}+3 x^{14}+\cdots+6 x^{2}-2 x+11=0\)

    4. \(14 x^{7}-7 x^{6}+x^{5}+\cdots+x^{2}+6 x+3=0\)

    5. \(9 x^{9}-10 x^{8}+3 x^{7}+\cdots+4 x^{2}-2 x+2=0\)

    Completamente factorizar los siguientes polinomios.

    6. \(2 x^{4}-x^{3}-21 x^{2}-26 x-8\)

    7. \(x^{4}+7 x^{3}+5 x^{2}-31 x-30\)

    8. \(x^{4}+3 x^{3}-8 x^{2}-12 x+16\)

    9. \(4 x^{4}+19 x^{3}-48 x^{2}-117 x-54\)

    10. \(2 x^{4}+17 x^{3}-8 x^{2}-173 x+210\)

    Dividir los siguientes polinomios.

    11. \(\frac{x^{4}+7 x^{3}+5 x^{2}-31 x-30}{x+4}\)

    12. \(\frac{x^{4}+7 x^{3}+5 x^{2}-31 x-30}{x+2}\)

    13. \(\frac{x^{4}+3 x^{3}-8 x^{2}-12 x+16}{x+3}\)

    14. \(\frac{2 x^{4}-x^{3}-21 x^{2}-26 x-8}{x^{3}-x^{2}-10 x-8}\)

    15. \(\frac{x^{4}+8 x^{3}+3 x^{2}-32 x-28}{x^{3}+10 x^{2}+23 x+14}\)


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