8.2 Sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas
- Page ID
- 107419
Posteriormente, aprenderás sobre matrices y cómo reducir filas lo que te permitirá resolver sistemas de ecuaciones de una nueva manera. Para configurarlo de manera que el uso de matrices sea lógico y útil, es importante resolver primero algunos sistemas de tres ecuaciones usando un tipo muy específico de eliminación de variables.
A la hora de resolver sistemas, ¿qué se le permite hacer a cada ecuación?
Resolver sistemas de ecuaciones con tres incógnitas
Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas representa tres planos en el espacio tridimensional. Al resolver el sistema, estás averiguando cómo se cruzan los planos. Una forma en que tres planos podrían cruzarse es en un punto:
Un sistema de ecuaciones que tiene al menos una solución se denomina sistema consistente.
También es posible que dos o más planos sean paralelos o que cada par de planos se crucen en una línea. En cualquiera de estos casos los tres planos no se cruzan en un solo punto y se dice que el sistema no tiene solución. Un sistema de ecuaciones sin soluciones se denomina sistema inconsistente. Si los tres planos se cruzan en una línea o un plano, hay un número infinito de soluciones.
El siguiente sistema de ecuaciones tiene la solución (1,3,7). Puedes verificar esto sustituyendo 1 por\(x\), 3 para\(y,\) y 7 para\(z\) en cada ecuación.
\(\begin{aligned} x+2 y-z &=0 \\ 7 x-0 y+z &=14 \\ 0 x+y+z &=10 \end{aligned}\)
Una cosa a tener en cuenta cuando se le da un sistema de ecuaciones es si las ecuaciones son linealmente independientes o no. Tres ecuaciones son linealmente independientes si cada ecuación no puede ser producida por una combinación lineal de las otras dos. Recuerde que una combinación lineal significa que una ecuación puede escribirse como la suma de múltiplos de las otras.
A la hora de resolver un sistema de tres ecuaciones y tres variables, hay algunas pautas generales que pueden ser útiles:
- Comienza tratando de eliminar la primera variable de la segunda fila.
- A continuación eliminar las variables primera y segunda en la tercera fila. Esto creará cero coeficientes en la esquina inferior derecha.
- Repite este proceso para la esquina superior derecha y deberías terminar con una diagonal muy bonita indicando qué\(x, y\) e\(z\) igual.
Tome el sistema de ecuaciones mencionado anteriormente:
\(x+2 y-z=0\)
\(7 x-0 y+z=14\)
\(0 x+y+z=10\)
Hay una serie de formas de resolver este sistema. Las técnicas comunes implican el intercambio de filas,
dividir y multiplicar una fila por una constante y sumar o restar un múltiplo de una fila a
otro.
Paso 1: Intercambia las filas 2 y 3. Cambiar -0 a\(+0 .\)
\(\begin{aligned} x+2 y-z &=0 \\ 0 x+y+z &=10 \\ 7 x+0 y+z &=14 \end{aligned}\)
Paso 2: Restar 7 veces la fila 1 de la fila 3, luego reemplaza la fila 3.
\(\begin{aligned} x+2 y-z &=0 \\ 0 x+y+z &=10 \\ 0 x-14 y+8 z &=14 \end{aligned}\)
Paso 3: Agregue 14 veces la fila 2 a la fila 3 y luego reemplace la fila\(3 .\)
\(\begin{aligned} x+2 y-z &=0 \\ 0 x+y+z &=10 \\ 0 x+0 y+22 z &=154 \end{aligned}\)
Paso 4: Divide la fila 3 por 22.
\(\begin{aligned} x+2 y-z &=0 \\ 0 x+y+z &=10 \\ 0 x+0 y+z &=7 \end{aligned}\)
Paso 5: Restar la fila 3 de la fila 2 y luego reemplazar la fila 2.
\(x+2 y-z=0\)
\(0 x+y+0 z=3\)
\(0 x+0 y+z=7\)
Paso 6: Agrega la fila 3 a la fila 1 y luego reemplaza la fila 1.
\(x+2 y+0 z=7\)
\(0 x+y+0 z=3\)
\(0 x+0 y+z=7\)
Paso 7: Restar 2 veces la fila 2 de la fila 1 y luego reemplazar la fila 1
\(x+0 y+0 z=1\)
\(0 x+y+0 z=3\)
\(0 x+0 y+z=7\)
La solución al sistema es (1,3,7) exactamente como se indicó anteriormente.
Ejemplos
Anteriormente, se le preguntó qué se le permite hacer al resolver un sistema de tres ecuaciones. Al resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, se le permite sumar y restar filas, intercambiar filas y escalar filas. Estas tres operaciones deberían permitirle eliminar los coeficientes de las variables de manera sistemática.
¿El siguiente sistema es linealmente independiente o dependiente? ¿Cómo lo sabes?
\(3 x+2 y+z=8\)
\(x+y+z=3\)
\(5 x+4 y+3 z=14\)
\(6 x+6 y+6 z=18\)
Con cuatro ecuaciones y tres incógnitas debe haber al menos una ecuación dependiente. El método más simple de ver linealmente la dependencia es notar que una ecuación es solo un múltiplo de la otra. En este caso la cuarta ecuación es sólo seis veces la segunda ecuación y por lo tanto es dependiente.
La mayoría de la gente no notará que la tercera ecuación también es dependiente. Es común comenzar a hacer un problema y notar en algún lugar del camino que todas las variables seguidas desaparecen. Esto quiere decir que las ecuaciones originales eran dependientes. En este caso, la tercera ecuación es la primera ecuación más dos veces la segunda ecuación. Esto quiere decir que son dependientes.
Reducir el siguiente sistema a un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas.
\(3 x+2 y+z=7\)
\(4 x+0 y+z=6\)
\(6 x-y+0 z=5\)
El intercambio estratégico de filas para que los coeficientes cero no vivan en la diagonal es un movimiento inicial inteligente.
Paso 1: Intercambia las filas 2 y 3.
\(3 x+2 y+z=7\)
\(6 x-y+0 z=5\)
\(4 x+0 y+z=6\)
Paso 2: Escala la fila 3 por un factor de 3. Restar 2 veces la fila 1 de la fila 2 y reemplazar la fila 2.
\(\begin{aligned} 3 x+2 y+z &=7 \\ 0 x-5 y-2 z &=-9 \\ 12 x+0 y+3 z &=18 \end{aligned}\)
Paso 3: Restar 4 veces la fila 1 de la fila 3 y reemplazar la fila 3.
\(3 x+2 y+z=7\)
\(0 x-5 y-2 z=-9\)
\(0 x-8 y-z=-10\)
Paso 4: Escala la segunda fila por 8 y la tercera fila por 5.
\(\begin{aligned} 3 x+2 y+z &=7 \\ 0 x-40 y-16 z &=-72 \\ 0 x-40 y-5 z &=-50 \end{aligned}\)
Paso 5: Restar la fila 2 de la fila 3 y reemplazar la fila 3.
\(\begin{aligned} 3 x+2 y+z &=7 \\ 0 x-40 y-16 z &=-72 \\ 0 x+0 y+11 z &=+22 \end{aligned}\)
Paso 6: Divide la fila 3 por 11.
\(\begin{aligned} 3 x+2 y+z &=7 \\ 0 x-40 y-16 z &=-72 \\ 0 x+0 y+z &=2 \end{aligned}\)
Ahora eso\(z=2\), reescribe el sistema para que se convierta en un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas.
\(3 x+2 y+2=7\)
\(0 x-40 y-32=-72\)
Resolver la segunda fila muestra aquello\(y=1\) que se puede utilizar para determinar eso\(x=1\).
Cuando Kaitlyn fue a la tienda con diez dólares vio que tenía algunas opciones sobre qué comprar. Podría conseguir una manzana, una cebolla y una canasta de arándanos por 9 dólares. Podría conseguir dos manzanas y dos cebollas por 10 dólares. También podría conseguir dos cebollas y una canasta de arándanos por 10 dólares. Escribir y resolver un sistema de ecuaciones con variables\(a, o\) y\(b\) representando cada una de las tres cosas que puede comprar.
Aquí está el sistema de ecuaciones:
\(\begin{aligned} a+o+b &=9 \\ 2 a+2 o &=10 \\ 2 o+b &=10 \end{aligned}\)
Reescribe el sistema usando\(x, y\) y\(z\) para que\(o\) y 0 no se mezclen. Incluir coeficientes de 0 para que cada columna represente una variable.
Paso 1: Reescribir
\(1 x+1 y+1 z=9\)
\(2 x+2 y+0 z=10\)
\(0 x+2 y+1 z=10\)
Paso 2: Restar 2 veces la fila 1 de la fila 2 y reemplazar la fila 2.
\(1 x+1 y+1 z=9\)
\(0 x+0 y-2 z=-8\)
\(0 x+2 y+1 z=10\)
Paso 3: Divide la fila 2 por -2.
\(\begin{aligned} 1 x+1 y+1 z &=9 \\ 0 x+0 y+1 z &=4 \\ 0 x+2 y+z &=10 \end{aligned}\)
En este punto se puede ver a partir de la segunda ecuación que\(z=4\). A partir de la tercera ecuación\(2 y+4=10\),, entonces\(y=3\). Por último se puede ver desde la primera ecuación que\(x+3+4=9\) así\(x=2\). Las manzanas cuestan 2 dólares cada una, las cebollas cuestan 3 dólares cada una y los arándanos cuestan 4 dólares cada una.
Demostrar que el siguiente sistema es dependiente.
\(x+y+z=9\)
\(x+2 y+3 z=22\)
\(2 x+3 y+4 z=31\)
Se podría notar que la tercera ecuación es simplemente la suma de las otras dos. ¿Qué pasa cuando no te das cuenta y tratas de resolver el sistema como si fuera independiente?
Paso 1: Reescribir el sistema.
\(x+y+z=9\)
\(x+2 y+3 z=22\)
\(2 x+3 y+4 z=31\)
Paso 2: Restar 2 veces la fila 1 de la fila 3 y reemplazar la fila\(3 .\)
\(\begin{aligned} x+y+z &=9 \\ x+2 y+3 z &=22 \\ 0 x+1 y+2 z &=13 \end{aligned}\)
Paso 3: Restar la fila 1 de la fila 2 y reemplazar la fila 2.
\(\begin{aligned} x+y+z &=9 \\ 0 x+1 y+2 z &=13 \\ 0 x+1 y+2 z &=13 \end{aligned}\)
En este punto cuando restas la fila 2 de la fila 3, todos los coeficientes de la fila 3 desaparecen. Esto significa que terminarás con el siguiente sistema de sólo dos ecuaciones y tres incógnitas. Dado que las incógnitas superan en número a las ecuaciones, el sistema no tiene una solución de un punto.
\(\begin{aligned} x+y+z &=9 \\ 0 x+1 y+2 z &=13 \end{aligned}\)
1. Una ecuación con tres variables representa un plano en el espacio. Describir todas las formas en que tres planos podrían interactuar en el espacio.
2. ¿Qué significa que las ecuaciones sean linealmente dependientes?
3. ¿Cómo se puede decir que un sistema es linealmente dependiente?
4. Si tienes ecuaciones linealmente independientes con cuatro incógnitas, ¿cuántas de estas ecuaciones necesitarías para obtener una solución?
5. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
\(3 x-4 y+z=-17\)
\(6 x+y-3 z=4\)
\(-x-y+5 z=16\)
6. Demostrar que el siguiente sistema es dependiente:
\(\begin{aligned} 2 x-2 y+z &=5 \\ 6 x+y-3 z &=2 \\ 4 x+3 y-4 z &=-3 \end{aligned}\)
7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
\(\begin{array}{r} 4 x+y+z=15 \\ -2 x+3 y+4 z=38 \\ -x-y+3 z=16 \end{array}\)
8. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
\(\begin{array}{c} 3 x-2 y+3 z=6 \\ x+3 y-3 z=-14 \\ -x+y+5 z=22 \end{array}\)
9. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
\(3 x-y+z=-10\)
\(\begin{array}{l} 6 x-2 y+2 z=-20 \\ -x-y+4 z=12 \end{array}\)
10. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
\(\begin{aligned} x-3 y+6 z &=-30 \\ 4 x+2 y-3 z &=18 \\ -8 x-3 y+2 z &=-22 \end{aligned}\)
11. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.
\(\begin{aligned} x+2 y+2 z+w &=5 \\ 2 x+y+2 z-0 w &=5 \\ 3 x+3 y+3 z+2 w &=12 \\ x+0 y+z+w &=1 \end{aligned}\)
Una parábola atraviesa\((3,-9.5),(6,-32),\) y (-4,8)
12. Escribe un sistema de ecuaciones que podrías usar para resolver para encontrar la ecuación de la parábola. Pista: Usa la ecuación general\(A x^{2}+B x+C=y\).
13. Resuelve el sistema de ecuaciones a partir de #12.
Una parábola atraviesa\((-2,3),(2,19),\) y\((1,6) .\)
14. Escribe un sistema de ecuaciones que podrías usar para resolver para encontrar la ecuación de la parábola. Pista: Usa la ecuación general\(A x^{2}+B x+C=y\).
15. Resuelve el sistema de ecuaciones a partir de #14.