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11.4 Teorema de De Moivre y enésima Raíces

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ya sabes cómo multiplicar dos números complejos juntos y has visto las ventajas de usar la forma polar trigonométrica, especialmente al multiplicar más de dos números complejos al mismo tiempo. Debido a que elevar un número a una potencia de número entero es multiplicación repetida, también se sabe cómo elevar un número complejo a una potencia numérica entera. ¿Qué es una interpretación geométrica de la cuadratura de un número complejo?

    Teorema de De Moivre y enésima raíz

    Recordemos que si\(z_{1}=r_{1} \cdot \operatorname{cis} \theta_{1}\) y\(z_{2}=r_{2} \cdot \operatorname{cis} \theta_{2}\) con\(r_{2} \neq 0\), entonces\(z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot \operatorname{cis}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)\)

    Si\(z_{1}=z_{2}=z=r \operatorname{cis} \theta\) entonces puedes determinar\(z^{2}\) y\(z^{3}\):

    \(z^{2}=r \cdot r \cdot \operatorname{cis}(\theta+\theta)=r^{2} \operatorname{cis}(2 \cdot \theta)\)

    \(z^{3}=r^{3} \operatorname{cis}(3 \cdot \theta)\)

    El teorema de De Moivre simplemente generaliza este patrón al poder de cualquier entero positivo.

    \(z^{n}=r^{n} \cdot \operatorname{cis}(n \cdot \theta)\)

    Además de elevar un número complejo a una potencia, también puedes tomar raíces cuadradas, raíces cubicas y\(n^{\text {th }}\) raíces de números complejos. Supongamos que tienes un número complejo\(z=r\) cis\(\theta\) y quieres echar la\(n^{t h}\) raíz de\(z\). En otras palabras, se quiere encontrar un número\(v=s \cdot \operatorname{cis} \beta\) tal que\(v^{n}=z\). Hacer alguna sustitución y manipulación:

    \(\begin{aligned} v^{n} &=z\\(s \cdot \operatorname{cis} \beta)^{n} &=r \cdot \operatorname{cis} \theta \\ s^{n} \cdot \operatorname{cis}(n \cdot \beta) &=r \cdot \operatorname{cis} \theta \end{aligned}\)

    Se puede ver en este punto que para encontrar\(s\) se necesita tomar la\(n^{\text {th }}\) raíz de\(r\). La parte más complicada es encontrar los ángulos, ya que\(n \cdot \beta\) podría ser cualquier ángulo coterminal con\(\theta\). Esto significa que existen\(n\) diferentes\(n^{\text {th }}\) raíces de\(z\).

    \(n \cdot \beta=\theta+2 \pi k\)

    \(\beta=\frac{\theta+2 \pi k}{n}\)

    El número\(k\) puede ser todos los números de conteo incluyendo ceros hasta\(n-1\). Entonces, si estás tomando la\(4^{\text {th }}\) raíz, entonces\(k=0,1,2,3\).

    Así, la\(n^{t h}\) raíz de un número complejo requiere\(n\) diferentes cálculos, uno para cada raíz:

    \(v=\sqrt[n]{r} \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{\theta+2 \pi k}{n}\right)\)para\(\{k \in I \mid 0 \leq k \leq n-1\}\)

    Para aplicar esta fórmula, encuentra la raíz cubo del número 8. La mayoría de los estudiantes lo saben\(2^{3}=8\) y así saben que 2 es la raíz cubo de 8. No obstante, no se dan cuenta de que hay otras dos raíces cubo que les faltan. Recuerda escribir\(k=0,1,2\) y usar el círculo de unidades siempre que sea posible para ayudarte a encontrar las tres raíces cubo.

    \(\begin{aligned} 8 &=8 \text { cis } 0=(s \cdot \operatorname{cis} \beta)^{3} \\ z_{1} &=2 \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{0+2 \pi \cdot 0}{3}\right)=2 \text { cis } 0=2(\cos 0+i \cdot \sin 0)=2(1+0)=2 \\ z_{2} &=2 \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{0+2 \pi \cdot 1}{3}\right)=2 \operatorname{cis}\left(\frac{2 \pi}{3}\right) \\ &=2\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \cdot \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)=2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)=-1+i \sqrt{3} \\ z_{3} &=2 \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{0+2 \pi \cdot 2}{3}\right)=2 \operatorname{cis}\left(\frac{4 \pi}{3}\right) \\ &=2\left(\cos \left(\frac{4 \pi}{3}\right)+i \cdot \sin \left(\frac{4 \pi}{3}\right)\right)=2\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)=-1-i \sqrt{3} \end{aligned}\)

    Las raíces cubicas de 8 son\(2,-1+i \sqrt{3},-1-i \sqrt{3}\).

    Para comprobar, que son las raíces cubicas, las cubos todas simplifican.

    \(z_{1}^{3}=2^{3}=8\)

    \(z_{2}^{3}=(-1+i \sqrt{3})^{3}\)

    \(\quad=(-1+i \sqrt{3}) \cdot(-1+i \sqrt{3}) \cdot(-1+i \sqrt{3})\)

    \(\quad=(1-2 i \sqrt{3}-3) \cdot(-1+i \sqrt{3})\)

    \(\quad=(-2-2 i \sqrt{3}) \cdot(-1+i \sqrt{3})\)

    \(\quad=2-2 i \sqrt{3}+2 i \sqrt{3}+6\)

    \(\quad=8\)

    Tenga en cuenta cuántos pasos y oportunidades hay para cometer un error al multiplicar

    múltiples términos en forma rectangular. Cuando\(z_{3},\) verifiques usa forma polar trigonométrica.

    \(\begin{aligned} z_{3}^{3} &=2^{3} \operatorname{cis}\left(3 \cdot \frac{4 \pi}{3}\right) \\ &=8(\cos 4 \pi+i \cdot \sin 4 \pi) \\ &=8(1+0) \\ &=8 \end{aligned}\)

    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, se le preguntó qué es una interpretación geométrica de cuadrar un número complejo. Al cuadrar un número complejo se produce un nuevo número complejo. El ángulo se duplica y la magnitud se cuadra, por lo que geométricamente se ve una rotación.

    Ejemplo 2

    Trazar gráficamente las raíces de 8 y discutir cualquier patrón que note.

    Los tres puntos están igualmente espaciados alrededor de un círculo de radio 2. Sólo uno de los puntos,\(2+0 i\), se compone únicamente de números reales. Los otros dos puntos tienen tanto un componente real como uno imaginario por lo que están fuera del\(x\) eje.

    A medida que se sienta más cómodo con las raíces, solo puede determinar el número de puntos que deben espaciarse uniformemente alrededor de un cierto círculo de radio y encontrar el primer punto. El resto es solo lógica.

    Ejemplo 3

    ¿Cuáles son las cuartas raíces de 16 cis\(48^{\circ} ?\)

    Habrá 4 puntos, cada uno\(90^{\circ}\) aparte con el primer punto a 2 cis\(\left(12^{\circ}\right)\).

    \(2 \operatorname{cis}\left(12^{\circ}\right), 2 \operatorname{cis}\left(102^{\circ}\right), 2 \operatorname{cis}\left(192^{\circ}\right), 2 \operatorname{cis}\left(282^{\circ}\right)\)

    Ejemplo 4

    Resuelve\(z\) encontrando la enésima raíz del número complejo.

    \(z^{3}=64-64 \sqrt{3} i\)

    Primero escribe el número complejo en forma cis. Recuerda identificar\(k=0,1,2\). Esto significa que las raíces aparecerán cada una\(\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ}\).

    \(z^{3}=64-64 \sqrt{3} i=128 \cdot \operatorname{cis} 300^{\circ}\)

    \(z_{1}=128^{\frac{1}{3}} \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{300}{3} \circ\right)=128^{\frac{1}{3}} \cdot \operatorname{cis}\left(100^{\circ}\right)\)

    \(z_{2}=128^{\frac{1}{3}} \cdot \operatorname{cis}\left(220^{\circ}\right)\)

    \(z_{3}=128^{\frac{1}{3}} \cdot \operatorname{cis}\left(340^{\circ}\right)\)

    Ejemplo 5

    Utilice el Teorema de De Moivre para evaluar el siguiente poder.

    \((\sqrt{2}-\sqrt{2} i)^{6}\)

    Primero escribe el número en forma polar trigonométrica, luego aplica el Teorema de De Moivre y simplifica.

    \(\begin{aligned}(\sqrt{2}-\sqrt{2} i)^{6} &=\left(2 \operatorname{cis} 315^{\circ}\right)^{6} \\ &=2^{6} \cdot \operatorname{cis}\left(6 \cdot 315^{\circ}\right) \\ &=64 \cdot \operatorname{cis}\left(1890^{\circ}\right) \\ &=64 \cdot \operatorname{cis}\left(1890^{\circ}\right) \\ &=64 \cdot \operatorname{cis}\left(90^{\circ}\right) \\ &=64\left(\cos 90^{\circ}+i \cdot \sin 90^{\circ}\right) \\ &=64(0+i) \\ &=64 i \end{aligned}\)

    Revisar

    Utilice el Teorema de De Moivre para evaluar cada expresión. Escribe tus respuestas en forma rectangular.

    1. \((1+i)^{5}\)

    2. \((1-\sqrt{3} i)^{3}\)

    3. \((1+2 i)^{6}\)

    4. \((\sqrt{3}-i)^{5}\)

    5. \(\left(\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}\right)^{4}\)

    6. Encuentra las raíces cubicas de\(3+4 i\).

    7. Encuentra las\(5^{\text {th }}\) raíces de\(32 i\).

    8. Encuentra las\(5^{\text {th }}\) raíces de\(1+\sqrt{5} i\).

    9. Encuentra las\(6^{\text {th }}\) raíces de -64 y trazarlas en el plano complejo.

    10. Usa tus respuestas\(\# 9\) para ayudarte a resolver\(x^{6}+64=0\).

    Para cada ecuación: a) indicar el número de raíces, b) calcular las raíces y c) representar gráficamente las raíces.

    11. \(x^{3}=1\)

    12. \(x^{8}=1\)

    13. \(x^{12}=1\)

    14. \(x^{4}=16\)

    15. \(x^{3}=27\)


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