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2.2.2: Aplicaciones de la función Trig

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    107704
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    Use una calculadora para encontrar seno, coseno y tangente en aplicaciones básicas

    Modelado del Comportamiento Periódico

    Esta lección explorará cómo se pueden modelar ejemplos de comportamiento periódico de la vida real con funciones trigonométricas. En otras palabras, los elementos que están en movimiento -como un giro de rueda o las ondas en movimiento- se pueden modelar y entender a través de la trigonometría.

    Calentamiento

    Las funciones trigonométricas como seno y coseno muestran un comportamiento periódico cuando se grafican. Utilice el interactivo a continuación para ver el comportamiento periódico de la función sinusoidal. Más adelante en esta sección verás cómo los problemas del mundo real pueden modelarse y resolverse con funciones similares a estas.

    Elemento Interactivo

    Agrega el texto del elemento interactivo aquí. Esta caja NO se imprimirá en pdf

    Trabaje a cabo 1

    Dos alumnos, Manny y Julisa, estaban teniendo un debate sobre cómo modelar la longitud de onda de la frecuencia de la estación de radio de su escuela. Para simplificar su debate, utilizaron otro modelo de ola como se muestra a continuación.

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    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Manny dice que la ecuación para la gráfica anterior es\(f(x)=5 \sin\left(x−\dfrac{\pi}{2}\right)\) y Julisa dice que es\(f(x)=5 \cos x\).

    1. Sin graficar las ecuaciones, ¿puedes decir qué estudiante es el correcto y, de ser así, quién?
    2. ¿Cómo lo sabes?
    3. ¿Cómo sería la gráfica de la ecuación incorrecta cuando se compara con la gráfica anterior?

    Discusión

    Recordemos que la ecuación para una función coseno es\(y=A\cos(w(x−h))+k\) donde\(A\) cambia la amplitud (la distancia entre el punto medio y el pico o valle de la gráfica), h cambia el inicio de una fase (el movimiento de la gráfica a la izquierda y a la derecha sobre los ejes),\(k\) cambia la línea media, y w cambia el periodo de la función básica, que ocurre entre 0 y\(2\pi\). Podemos decir que esta gráfica tiene una amplitud de + 5, y un periodo de 1.

    Pero, ¿es una función coseno como cree Julisa, o una función sinusoidal con un cambio en la fase como cree Manny? Si graficas estas dos funciones, y también\(y=5 \sin x\) verás las sutiles, pero importantes diferencias entre las tres gráficas.

    Trabaje a cabo 2

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    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Una noria grande mide 100 pies de diámetro y tiene 12 turismos. La noria gira en sentido antihorario y tarda 1 minuto en completar una rotación completa. Los jinetes suben por una escalera para abordar desde una plataforma que se encuentra a 60 pies sobre el suelo, y es horizontal al centro de la noria. En este escenario, la altura de un automóvil es la distancia entre el automóvil y la plataforma (no la altura del automóvil desde el suelo). La coaltura es la distancia horizontal entre el automóvil y una línea vertical que corre hacia arriba y hacia abajo por el centro de la noria. Es decir, si el carro estaba ubicado en una\((x,y)\) coordenada, la co-altura es\(x\) y la altura es\(y\).

    1. Vamos a\(\theta =0\) representar la posición del Auto 1 en el escenario anterior. Croquis gráficos de la altura y co-altura del Coche 1 como funciones de\(\theta\), el número de radianes a través de los cuales ha girado el automóvil.
    2. ¿Cuál es la amplitud de las funciones de altura y coaltura para la noria?
    3. Si\(X(\theta)\) representa la coaltura y\(Y(\theta)\) representa la altura del automóvil, ¿qué funciones trigonométricas representarían la coaltura y la altura en términos de\(\theta\)?

    Discusión

    Para determinar la altura del Auto 1 a medida que gira la noria, considere que después de 15 segundos (que es\(\dfrac{1}{4}\) de la vuelta o\(\dfrac{\pi}{2}\) radianes), el carro está en la parte superior de la rueda, que sabemos que está a 50 pies sobre la plataforma. ¿Qué tan alto estará el auto 15 segundos después de eso? ¿Después de un total de 45 segundos? ¿Después de 1 minuto de rotación?

    La gráfica a continuación representa la co-altura del automóvil. A 0 segundos, el auto está a 50 pies del centro de la rueda. Cuando el auto está en\(\pi\) radianes, ¿qué tan lejos estará de la línea vertical que atraviesa el centro de la noria? ¿Por qué algunos de los valores de la coaltura están por debajo de los números negativos?

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    Figura\(\PageIndex{3}\)

    La amplitud de la función de la co-altura es de 50 porque el automóvil oscilará entre +50 y -50 pies de distancia de una línea vertical (como el\(y\) eje -eje) que atraviesa el centro de la noria. Por lo tanto, la co-altura puede ser representada por la función\(f(\theta )=50 \cos(\theta)\).

    No lo olvides: aún necesitas crear una gráfica y encontrar la función para la altura del Auto 1.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Usando el escenario de la noria desde arriba, ¿cómo representaría la altura de un automóvil como la distancia desde el suelo? ¿Cómo se impactaría la co-altura midiendo la altura desde el suelo en lugar de desde la plataforma? ¿Cómo serían las gráficas de la altura y la coaltura?

    Solución

    La coaltura no cambiará, porque la distancia horizontal entre el automóvil y la línea vertical por el centro de la noria no se verá afectada por la altura de la plataforma o la posición del Auto 1 cuando suban los ciclistas.

    En este ejemplo, ya que estás midiendo la altura del Auto 1 desde el suelo, el punto más alto al que alcance el auto será de 50 pies (el radio de la rueda) más 60 pies (la altura de la plataforma), o 110 pies. El punto más bajo que alcance el auto será de -50 pies (debajo del centro de la rueda) más 60 pies (la altura de la plataforma), o 10 pies del suelo. La gráfica para la altura en función de la cantidad de rotaciones está por debajo.

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    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Lo anterior es una gráfica de la función\(Y(\theta )=50 \sin \theta +60\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Una noria mide 40 pies de altura. Hay una plataforma de 25 pies para entrar en el primer carro, que carga desde la parte inferior de la rueda (no el lateral como en ejemplos anteriores). Además, la noria gira en sentido antihorario, haciendo una rotación completa cada 2 minutos. Escribe y grafica las funciones para la altura (desde el suelo) y co-altura de la noria en términos de tiempo (en minutos).

    Solución

    Dejar t = tiempo. Comience determinando los valores para A, w, h y k tanto para la altura como para la coaltura.

    Co-Altura:

    • La rueda tiene 40 pies de diámetro, por lo que tendrá coalturas máximas y mínimas de 20 pies y -20 pies respectivamente a la línea media. Por lo tanto, la Amplitud (A) =20.
    • La rueda gira una vez cada 2 minutos. Debido a que los pasajeros suben desde la parte inferior, que es una rotación -14 en sentido horario desde el eje x, la noria necesita girar +14 en sentido antihorario para que la coaltura esté en su máximo de +20 pies. Este cuarto de rotación toma 12 de un minuto, y por lo tanto el valor de h (el desplazamiento de fase) es 12.
    • Después de 1 minuto, la noria ha hecho una rotación de\ pi. Por lo tanto, el periodo (w) =\ pi.
    • La coaltura no se ve afectada por la ubicación del centro de la rueda. Por lo tanto, k=0.
    • La ecuación para la coaltura es:\(X(t)=20 \cos(\pi (x−\dfrac{1}{2}))\).

    Altura:

    • Para determinar la altura del Auto 1 desde el suelo, deberá ajustar la altura de la plataforma. La plataforma agrega 25 pies a la parte inferior de la noria, lo que hace que el centro esté a 20 pies + 25 pies (o 45 pies) por encima del suelo. Esto significa que la altura del Auto 1, en relación con el suelo, es de 25 pies en el punto más bajo y 65 en el punto más alto, con k=45.
    • La ecuación para la altura es:\(Y(t)=20 \sin(\pi (x−\dfrac{1}{2}))+45\).

    El gráfico de la altura en función del tiempo, con el Car 1 comenzando en la parte inferior de la rueda y girando en sentido horario, se ve así:

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    Figura\(\PageIndex{4}\)
    Elemento Interactivo

    Agrega el texto del elemento interactivo aquí. Esta caja NO se imprimirá en pdf

    Este video demuestra cómo resolver un problema similar de la noria.

    Trabaje a cabo 3

    Tú y dos amigos están montando la noria en el Ejemplo 2. Estás en el Auto 1, otro amigo está en el Auto 3, y el tercer amigo está en el Auto 5. Cuando llegas a la parte superior de la rueda miras hacia abajo para ver a tus amigos en algún lugar debajo de ti. ¿Cuánto más alto es tu auto que el Auto 3 y el Auto 5?

    Discusión

    Cuando estás en la parte superior del volante, ¿qué tan alto vas a estar? Y ¿cuánto de giro, en radianes, habrás hecho? Considera dónde están los otros autos en el círculo; es decir, ¿cuánto de un giro (nuevamente en radianes) habrán hecho los Autos 3 y 5?

    Dada la amplitud (20 pies) y la altura de la plataforma (25 pies), tu altura será de 45 pies en la parte superior de la rueda, que es\(\pi\) radianes desde el lugar de inicio. En este punto, digamos que tu amigo en Auto 3 ha girado\(120^{\circ}\) desde el lugar de salida, que es 13 de un turno completo. ¿Cómo se utiliza esta información y la ecuación para la altura de la noria para determinar la altura del Auto 3?

    Debido a que solo necesitas medir la altura de los autos, la velocidad de la noria no está incluida en la ecuación, lo que cambia el valor de w Además, cambia la medición del giro en radianes. ¿Cuál será la ecuación sin w?

    Deberías obtener:\(Y(t)=20 \sin\left(x−\dfrac{\pi}{2}\right)+45\). A continuación, enchufa la parte del giro que el Coche 3 ha realizado (en radianes) y resuelve:

    \(\begin{aligned} X(t)&=20 \sin \left(\dfrac{2\pi}{3}−\dfrac{\pi}{2}\right)+45 \\ X(t)&=20 \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+45 \\ X(t)&=55\end{aligned}\)

    Esto significa que estás a 65 pies - 55 pies = 10 pies más alto que tu amigo en el Auto 3.

    ¿Cuánto más alto eres que tu amigo en Car 5 si los autos están espaciados uniformemente?

    ¿Qué cambiaría del proceso para resolver este problema si en lugar de haber 12 autos, solo hubiera 8 autos? ¿Y si hubiera el doble de autos?

    Otros modelos de comportamiento periódico

    Esta lección modeló el comportamiento periódico utilizando la rotación de un automóvil alrededor de una noria para explorar las conexiones entre las funciones trigonométricas transformadas y sus gráficas basadas en escenarios de la vida real. Sin embargo, las ruedas de la fortuna giratorias están lejos de ser las únicas cosas “reales” que se pueden modelar con funciones trigonométricas, o que tienen un comportamiento periódico.

    Por ejemplo, las mareas altas y las mareas bajas se pueden modelar y predecir usando funciones periódicas porque los científicos pueden determinar la altura del agua en diferentes momentos del día (cuando el nivel del agua es bajo, la marea es baja). Las ondas sonoras, la presión arterial y las variaciones de temperatura también se pueden modelar como funciones periódicas.

    CK-12 Interactivo

    Elemento Interactivo

    Revisar

    1. Para las gráficas siguientes, identifique el valor de la amplitud, periodo, frecuencia, desplazamiento de fase y línea media. Después escribe la ecuación para la gráfica.
      1. F-d_263851fd7bf33f162cec3008bd5ce1cf09464d3075f9c53814acb0db+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.jpg
        Figura\(\PageIndex{5}\)
      2. F-d_41f9a112feed05e11733f9a3f0a5a3e67a034a29eb0e2331b34e2c81+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.jpg
        Figura\(\PageIndex{6}\)
      3. F-d_13b8bcdce83d49d1b2795b565bd43aab98cbb6457d946ec8414485c1+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.jpg
        Figura\(\PageIndex{7}\)
    2. El paseo Anansi the Spider es una pequeña noria en un parque de diversiones para niños. Hay 8 autos en el viaje, espaciados cada uno\(45^{\circ}\). La noria es de 16 pies de arriba a abajo, y los niños cargan en el Auto 1 desde abajo en una plataforma que está a 4 pies del suelo. El viaje dura 1 minuto para una rotación completa.
      1. Esboce una función para la altura del Auto 1 con respecto al tiempo mientras la noria gira durante tres minutos.
      2. Encuentra una fórmula para la función que has graficado arriba.
      3. Determine una función diferente que tendrá la misma gráfica que esbozó en la parte a.
    3. Estás parado en un muelle y midiendo la altura del agua debajo de ti en diferentes momentos cada día. A las 3 de la tarde, el nivel del agua está a 7 pies. A las 9 de la tarde el agua ha bajado a 1 pie. Y a las 3 de la mañana, el nivel del agua vuelve a subir a 7 pies.
      1. Esboza la gráfica dada la información que tienes.
      2. Determine la amplitud, el desplazamiento de fase, el período y la línea media. [Pista: La marea tarda 12 horas en pasar por una rotación completa de\(2\pi\), entonces, ¿cuál sería el periodo si estás midiendo en horas?]
      3. Derivar una fórmula que modelaría la altura del agua a partir de las 12 pm del primer día, y que muestre la altura del agua en un periodo de 24 horas.
      4. Grafique su fórmula usando una calculadora gráfica o programa para confirmar que sus respuestas para las partes a-c son correctas.
      5. ¿Cuál sería la altura del agua a las 6 de la mañana?
    4. La temperatura exterior (en Fahrenheit) se recolectó cada hora en un día frío de invierno durante un periodo de 24 horas. A las 12 de la tarde, la temperatura era\(30^{\circ}\). A las 6 de la tarde había alcanzado\(50^{\circ}\), la temperatura más cálida registrada durante el periodo de medición. A las 6 am, la temperatura había bajado a su punto más bajo de\(10^{\circ}\).
      1. Haz un boceto de una gráfica dada la información que tengas.
      2. Determine la amplitud, el desplazamiento de fase, el período y la línea media de su gráfica.
      3. Derive una fórmula que modele la temperatura en un periodo de 24 horas.

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