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2.6.4: Traducciones horizontales o cambios de fase

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    Desplace a la derecha o izquierda a lo largo del eje x.

    Una función periódica que no inicia en el eje sinusoidal o en un máximo o un mínimo se ha desplazado horizontalmente. Este movimiento horizontal permite diferentes puntos de partida ya que una onda sinusoidal no tiene principio ni fin.

    ¿Cuáles son otras cinco formas de escribir la función\(f(x)=2\cdot \sin x\)?

    Desplazamiento de fase de funciones sinusoidales

    La función sinusoidal general es:

    \(f(x)=\pm a\cdot \sin (b(x+c))+d\)

    La constante c controla el desplazamiento de fase. El desplazamiento de fase es el desplazamiento horizontal hacia la izquierda o hacia la derecha para funciones periódicas. Si\(c=\dfrac{\pi }{2} \) entonces la onda sinusoidal se desplaza a la izquierda por\(\dfrac{\pi }{2} \). Si\(c=−3\) entonces la onda sinusoidal se desplaza a la derecha en 3. Esta es la dirección opuesta a la que cabría esperar, pero es consistente con las reglas de las transformaciones para todas las funciones.

    Para graficar una función como\(f(x)=3\cdot \cos \left(x−\dfrac{\pi }{2} \right)+1\), primero busca el inicio y el final de un periodo. Después esboza solo esa parte del eje sinusoidal. Finalmente, trazar los 5 puntos importantes para una gráfica coseno teniendo en cuenta la amplitud. La gráfica se muestra a continuación:

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    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Generalmente siempre\(b\) se escribe para ser positivo. Si te encuentras con una situación en la que b es negativo, usa tu conocimiento de las funciones pares e impares para reescribir la función.

    \(\begin{aligned} \cos (−x)& =\cos (x) \\ \sin (−x)&=−\sin (x) \end{aligned}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Anteriormente, se le pidió que escribiera\(f(x)=2\cdot \sin x\) de cinco formas distintas.

    Solución

    La función se\(f(x)=2\cdot \sin x\) puede reescribir un número infinito de formas.

    \(2\cdot \sin x=−2\cdot \cos \left(x+\dfrac{\pi }{2} \right)=2\cdot \cos \left(x−\dfrac{\pi }{2} \right)=−2\cdot \sin (x−\pi )=2\cdot \sin (x−8\pi )\)

    Todo depende de dónde elijas empezar y de si ves una gráfica positiva o negativa de seno o coseno.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Dada la siguiente gráfica, identificar modelos algebraicos equivalentes de seno y coseno.

    f-d_efde5ee5dad2016cdc547f7167af462a9d23ae4232eb07c467ce0081+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Solución

    O esta es una función sinusoidal desplazada a la derecha por\(\dfrac{\pi }{4}\) o una gráfica coseno desplazada a la izquierda\(\dfrac{5\pi }{4}\).

    \(f(x)=\sin (x−\pi 4)=\cos \left(x+\dfrac{5\pi }{4}\right)\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    A los\(t=5\) minutos William sube 2 pies para sentarse en el punto más bajo de la noria que tiene un diámetro de 80 pies. Una hora completa después finalmente se le suelta del volante después de hacer sólo una sola revolución. Durante esa hora se preguntó cómo modelar su estatura a lo largo del tiempo en una gráfica y ecuación.

    Solución

    Dado que el periodo es de 60 lo que funciona extremadamente bien con el\(360^{\circ} \) en círculo, este problema se mostrará en grados.

    Tiempo (minutos) Altura (pies)
    5 2
    20 42
    35 82
    50 42
    65 2
    F-d_b554053b6466dd2855a29b7b28b29af1d34bb016b77ad77f1b6cd93a+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{3}\)

    William elige ver un coseno negativo en la gráfica. Identifica que la amplitud es de 40 pies. El desplazamiento vertical del eje sinusoidal es de 42 pies. El desplazamiento horizontal es de 5 minutos a la derecha.

    El periodo es de 60 (no 65) minutos lo que implica\(b=6\) cuando se grafica en grados.

    \(60=\dfrac{360}{b}\)

    Así, una ecuación sería: R5

    \(f(x)=−40\cdot \cos (6(x−5))+42\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Las tablas de mareas reportan los tiempos y profundidades de las mareas bajas y altas. Aquí está parte del reporte de mareas de Salem, Massachusetts fechado el 19 de septiembre de 2006.

    10:15AM

    9 pies

    Marea Alta

    4:15PM

    1 pie

    Marea Baja

    10:15PM

    9 pies

    Marea Alta

    Encuentra una ecuación que predice la altura en función del tiempo. Elija cuando t=0 con cuidado.

    Solución

    Hay dos lugares lógicos para establecer\(t=0\). El primero es a la medianoche de la noche anterior y el segundo es a las 10:15 AM. La primera opción ilustra un desplazamiento de fase que es el foco de este concepto, pero la segunda opción produce una ecuación más simple. Establecer\(t=0\) para ser a medianoche y elegir unidades para estar en minutos.

    Tiempo (horas: minutos) Tiempo (minutos) Marea (pies)
    10:15 615 9
    16:15 975 1
    22:15 1335 9
      \(\dfrac{615+975}{2}=795\) 5
      \(\dfrac{1335+975}{2}=1155\) 5

    Estos números parecen indicar una curva coseno positiva. La amplitud es 4 y el desplazamiento vertical es 5. El desplazamiento horizontal es 615 y el periodo es 720.

    \(720=\dfrac{2\pi }{b} \rightarrow b=\dfrac{\pi }{360}\)

    Por lo tanto, una ecuación es:

    \(f(x)=4\cdot \cos \left(\dfrac{\pi }{360}\left(x−615 \right) \right)+5\)

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Usa la ecuación del Ejemplo 4 para saber cuándo la marea estará exactamente a 8 pies el 19 de septiembre.

    Solución

    Este problema te da la y y te pide que encuentres la x Posteriormente aprenderás a resolver esto algebraicamente, pero por ahora usa la potencia del botón de intersección en tu calculadora para intersectar la función con la línea y=8. Recuerda encontrar todos los valores x entre 0 y 1440 para dar cuenta de las 24 horas completas.

    F-D_527b9c49990e8757a0bd15517b34ea8fe0f1e754952b0c7a1d5958ce+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Hay cuatro veces dentro de las 24 horas cuando la altura es exactamente de 8 pies. Puedes convertir estos tiempos a horas y minutos si lo prefieres.

    \(t\approx 532.18 (8:52),\; 697.82 (11:34),\; 1252.18 (20:52),\; 1417.82 (23:38)\)

    Revisar

    Grafica cada una de las siguientes funciones.

    1. \(f(x)=2\cos \left(x−\dfrac{\pi }{2} \right)−1\)
    2. \(g(x)=−\sin \left(x−\pi \right)+3\)
    3. \(h(x)=3\cos \left(2\left(x−\pi \right)\right)\)
    4. \(k(x)=−2\sin \left (2x−\pi \right)+1\)
    5. \(j(x)=−\cos \left(x+\dfrac{\pi }{2} \right)\)

    Dar una posible ecuación sinusoidal para cada una de las gráficas a continuación.


    1. f-d_2c83b17b023ae80c1c657dc5d4432f63bbd046d7bea7952ba24d451a+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{5}\)
    2. F-d_8e97916f582bc3912f502c0f16f4f06bf5b26b90351ba816828f3e61+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{6}\)
    3. F-d_851fa3f08458bc2b92d1af6e3e0a0247a5c7d0db227452cea22f1b20+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{7}\)

    Dar una posible función coseno para cada una de las gráficas a continuación.

    1. F-d_12ee77121bf7a0cc3f91f7a7927e5583b04d621e59a992c20f2fab71+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{8}\)
    2. f-d_f0cad739f2f0252396580f0fe8cb8f1d061c4e66eea6a595a3488eeb+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{9}\)
    3. F-D_6444b420323f9fd1ab8367f9a68a4a289087750a685390216569cff6+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{10}\)

    La temperatura durante un cierto período de 24 horas se puede modelar con una función sinusoidal. A las 3:00, la temperatura para el periodo alcanza un mínimo de\(22^{\circ} \) F. A las 15:00, la temperatura para el periodo alcanza un máximo de\(40^{\circ} \) F.

    12. Encuentra una ecuación que predice la temperatura en función del tiempo en minutos. Elija t=0 para ser medianoche.

    13. Utilice la ecuación de #12 para predecir la temperatura a las 4:00 PM.

    14. Usa la ecuación de #12 para predecir la temperatura a las 8:00 AM.

    15. Usa la ecuación de #12 para predecir el tiempo (s) en el que será\(32^{\circ} \) F.

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 5.6.

    El vocabulario

    Término Definición
    amplitud la distancia máxima que las partículas del medio se mueven desde sus posiciones de reposo cuando pasa una ola.
    Desplazamiento horizontal Un desplazamiento horizontal es el resultado de agregar un término constante a la función dentro de los paréntesis. Un término positivo da como resultado un desplazamiento hacia la izquierda y un término negativo en un desplazamiento hacia la derecha.
    función periódica Una función periódica es una función con un patrón repetitivo predecible. las ondas sinusoidales y las ondas coseno son funciones periódicas.
    eje sinusoidal El eje sinusoidal es la línea horizontal neutra que se encuentra entre las crestas y las depresiones de la gráfica de una función sinusoidal o coseno.
    función sinusoidal Una función sinusoidal es una onda sinusoidal o coseno.
    funciones sinusoidales Una función sinusoidal es una onda sinusoidal o coseno.

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