2.6.5: Amplitud, Periodo y Frecuencia

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Propiedades verticales y horizontales de las ondas sinusoidales y cosenoidales.

Estás trabajando en el laboratorio de ciencias una tarde cuando tu maestra te pide que hagas un trabajo un poco más avanzado con ella sobre el sonido. Emocionado por ayudar, fácilmente estás de acuerdo. Ella te da un dispositivo que grafica las ondas sonoras a medida que entran a través de un micrófono. Luego te da una gráfica de “línea de base” de cómo sería la gráfica de la onda sonora:

F-d_84c976c9883eb335c0c5f8336c00e48b40f8c8fda2fa27743556c841+image_tiny+image_tiny.jpg — Figura\(\PageIndex{1}\)

Luego te pide que trazar la onda sonora que está a punto de generar. No obstante, ella te dice que la onda sonora será el doble de fuerte y dos veces más alta en tono que la onda sonora de línea base que te dio.

¿Puedes determinar qué tan grande debe ser el gráfico para trazar la nueva onda de sonido? ¿Qué pasa con el espaciado de los números en el eje “x”?

Amplitud y Periodo

En otras lecciones has tratado de cómo encontrar la amplitud de una onda, o el periodo de una onda. Aquí tomaremos unos minutos para trabajar problemas que involucren tanto la amplitud como el periodo, dándonos dos variables con las que trabajar al pensar en ecuaciones sinusoidales.

Encontrar el Periodo, Amplitud y Frecuencia

1. Encuentra el periodo, amplitud y frecuencia de\(y=2\cos \dfrac{1}{2}x\) y bosqueja una gráfica de 0 a\(2\pi \).

Se trata de una gráfica coseno que ha sido estirada tanto vertical como horizontalmente. Ahora alcanzará hasta 2 y bajará a -2. La frecuencia es\(\dfrac{1}{2}\) y para ver un periodo completo necesitaríamos graficar el intervalo\([0, 4\pi ]\). Ya que sólo vamos a salir a\(2\pi \), sólo vamos a ver la mitad de una ola. Una onda coseno completa se ve así:

f-d_5dd0fb415b02159f707a8127d6e426381f29a3e7abcbd70226df1be5+image_tiny+image_tiny.jpg — Figura\(\PageIndex{2}\)

Entonces, la mitad es esto:

f-d_cad4c6b4f7f3eabd3720fb84b5a383af290bbb43efc627e4edb3c656+image_tiny+image_tiny.jpg — Figura\(\PageIndex{3}\)

Esto significa que esta mitad necesita ser estirada para que termine en\(2\pi \), lo que significa que en\(\pi\) la gráfica debe cruzar el eje x:

f-d_0ef49d0ff28cfd39ff6c7d31f242944a9e3fc0384ac94f612517b9fa+image_tiny+image_tiny.jpg — Figura\(\PageIndex{4}\)

El boceto final se vería así:

F-d_3d7e23abc73fc4e4d09acea433474aed1fda64ab4343427e1f2f9213+image_tiny+image_tiny.jpg — Figura\(\PageIndex{5}\)

amplitude=2, frecuencia=\(\dfrac{1}{2}\), periodo\(=\dfrac{2\pi }{\dfrac{1}{2}}=4\pi\)

2. Identificar el periodo, amplitud, frecuencia y ecuación de la siguiente sinusoide:

F-d_c42249dba341d57b2b1d5017f9d3a2d10b905376bfca1e7c5e6cda74+image_tiny+image_tiny.jpg — Figura\(\PageIndex{6}\)

La amplitud es 1.5. Observe que las unidades en el eje x no están etiquetadas en términos de\(\pi \). Esto parece ser una onda sinusoidal porque la intercepción y es 0.

Una ola parece completarse en 1 unidad (¡no\(1\pi\) unidades! ), por lo que el periodo es 1. Si se completa una ola en 1 unidad, ¿cuántas olas habrá en\(2\pi \) unidades? En problemas anteriores, se le dio la frecuencia y se le pidió que encontrara el periodo usando la siguiente relación:

\(p=\dfrac{2\pi }{B}\)

Donde B es la frecuencia y p es el periodo. Con solo un poco de álgebra, podemos transformar esta fórmula y resolverla para B:

\(p=\dfrac{2\pi }{B} \rightarrow Bp=2\pi \rightarrow B=\dfrac{2\pi }{p}\)

Por lo tanto, la frecuencia es:

\(B=\dfrac{2\pi }{1}=2\pi\)

Si tuviéramos que graficar esto a\(2\pi \) veríamos\(2\pi \) (o un poco más de 6) ondas completas.

Sustituir estos valores en la ecuación da:\(f(x)=1.5\sin 2\pi x\).

3. Encuentra el periodo, amplitud y frecuencia de\(y=3\sin 2x\) y bosqueja una gráfica de 0 a\(6\pi \).

Se trata de una gráfica sinusoidal que ha sido estirada tanto vertical como horizontalmente. Ahora alcanzará hasta 3 y bajará a -3. La frecuencia es 2 y así veremos que la onda se repite dos veces en el intervalo de 0 a\(2\pi \).

f-d_adf4c7918bfe29382ae9d849816ce1ba493ec1587328583e00d473b0+image_tiny+image_tiny.jpg — Figura\(\PageIndex{7}\)

amplitude=3, frecuencia=2,\(\text{period }=\dfrac{2\pi }{2}=\pi\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Anteriormente, se le preguntó ¿puede determinar qué tan grandes deben ser las gráficas para trazar la nueva onda de sonido?

Solución

Ya sabes que la amplitud de la ola es la altura máxima que hace por encima de cero. También sabes que la frecuencia es el número de ciclos en un segundo. La escala de la gráfica que hagas debe poder tomar en cuenta una altura máxima de la ola que se ha duplicado, así como una frecuencia que es el doble de alta. Tu gráfica debería verse así: