3.2.1: Identidades trigonométricas para encontrar valores trigonométricos exactos
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Identidades pitagóricas, tangentes y recíprocas utilizadas para encontrar valores de funciones.
Uso de identidades trigonométricas para encontrar valores trigonométricos exactos
Se le da la siguiente información sobre\(\theta\)
\(\sin\theta =\dfrac{2}{3}\),\(\dfrac{\pi}{2}<\theta <\pi\)
¿Qué son\(\cos\theta\) y\(\tan\theta \)?
Identidades trigonométricas
Puede utilizar las identidades pitagóricas, tangentes y recíprocas para encontrar los seis valores trigonométricos para ciertos ángulos. Vamos a recorrer algunos problemas para que entiendas cómo hacer esto.
Resolvamos los siguientes problemas usando identidades trigonométricas.
- Dado eso\(\cos\theta =\dfrac{3}{5}\) y\(0<\theta <\dfrac{\pi}{2}\), encontrar\(\sin \theta\).
Usa la identidad pitagórica para encontrar el pecado\ theta.
\ (\ comenzar {alineado}
\ sin ^ {2}\ theta+\ cos ^ {2}\ theta &=1\\
\ sin ^ {2}\ theta+\ izquierda (\ dfrac {3} {5}\ derecha) ^ {2} &=1\
\\ sin ^ {2}\ theta &=1-\ dfrac {9} {25}\
\ sin ^ {2}\ theta &=\ dfrac {16} {25}\\
\ sin\ theta &=\ pm\ dfrac {4} {5}
\ end {alineado}\)
Porque\(\theta\) está en el primer cuadrante, sabemos que el seno será positivo. \(\sin\theta =\dfrac{4}{5}\)
- Encuentra\(\tan\theta \) de #1 arriba.
Usa la Identidad Tangente para encontrar\(\tan\theta\).
\(\tan\theta =\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{\dfrac{4}{5}}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{4}{3}\)
- Encuentra las otras tres funciones trigonométricas de\(\theta\) desde #1.
Para encontrar secante, cosecante y cotangente use las Identidades Recíprocas.
\(\csc \theta=\dfrac{1}{\sin \theta}=\dfrac{1}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{5}{4} \quad \sec \theta=\dfrac{1}{\cos \theta}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{5}{3} \quad \cot \theta=\dfrac{1}{\tan \theta}=\dfrac{1}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3}{4}\)
Antes, se le pidió que encontrara\(\cos\theta\) y\(\tan\theta\) de\(\sin\theta =\dfrac{2}{3}\),\(\dfrac{\pi}{2}<\theta <\pi \).
Solución
Primero, usa la Identidad Pitagórica para encontrar\(\cos\theta\).
\ (\ begin {alineado}
\ sin ^ {2}\ theta+\ cos ^ {2}\ theta &=1\\
\ izquierda (\ dfrac {2} {3}\ derecha) ^ {2} +\ cos ^ {2}\ theta&=1\\
\ cos ^ {2}\ theta &=1-\ dfrac {4} {9}\
\ cos ^ {2}}\ theta &=\ dfrac {5} {9}\\
\ cos\ theta &=\ pm\ dfrac {\ sqrt {5}} {3}
\ fin {alineado}\)
Sin embargo, debido a que\(\theta\) está restringido al segundo cuadrante, el coseno debe ser negativo. Por lo tanto,\(\cos \theta =−\dfrac{\sqrt{5}}{3}\).
Ahora usa la Identidad Tangente para encontrar tan\ theta.
\(\tan\theta =\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{−\dfrac{\sqrt{5}}{3}}=−2\sqrt{5}=\dfrac{−2\sqrt{5}}{5}\)
Encuentra los valores de las otras cinco funciones trigonométricas.
\(\tan\theta =−\dfrac{5}{12}\),\(\dfrac{\pi}{ 2}<\theta <\pi\)
Solución
Primero, sabemos que\ theta está en el segundo cuadrante, haciendo que el seno sea positivo y el coseno negativo. Para este problema, usaremos la Identidad Pitagórica\(1+\tan^2\theta =\sec^2\theta\) para encontrar secante.
\ (\ comenzar {alineado}
1+\ izquierda (-\ dfrac {5} {12}\ derecha) ^ {2} &=\ seg ^ {2}\ theta\\
1+\ dfrac {25} {144} &=\ seg ^ {2}\ theta\
\ dfrac {169} {144} &=\ seg ^ {2}\ theta\\ pm
\ dfrac ac {13} {12} &=\ seg\ theta\\
-\ dfrac {13} {12} &=\ seg\ theta
\ end {alineado}\)
Si\(\sec\theta =−\dfrac{13}{12}\), entonces\(\cos\theta =−\dfrac{12}{13}\). \(\sin\theta =\dfrac{5}{13}\)porque el valor numerador de tangente es el seno y tiene el mismo valor denominador que el coseno. \(\csc\theta =\dfrac{13}{5}\)y\(\cot\theta =−\dfrac{12}{5}\) de las Identidades Recíprocas.
\(\csc \theta =−8\),\(\pi <\theta <\dfrac{3 \pi}{2}\)
Solución
\ theta está en el tercer cuadrante, así que tanto el seno como el coseno son negativos. El recíproco de\(\csc\theta =−8\), nos dará\(\sin\theta =−\dfrac{1}{8}\). Ahora, usa la Identidad Pitagórica\(sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1\) para encontrar coseno.
\ (\ comenzar {alineado}
\ izquierda (-\ dfrac {1} {8}\ derecha) ^ {2} +\ cos ^ {2}\ theta &=1\
\\ cos ^ {2}\ theta &=1-\ dfrac {1} {64}\
\ cos ^ {2}\ theta &=\ dfrac {63} {64}\
\ cos\ theta &=\ pm\ dfrac {3\ sqrt {7}} {8}\\
\ cos\ theta &=-\ dfrac {3\ sqrt {7}} {8}
\ final {alineado}\)
\(\sec\theta =−\dfrac{8}{3\sqrt{7}}=−\dfrac{8\sqrt{7}}{21}\),\(\tan\theta =\dfrac{1}{3\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{7}}{ 21}\), y\(\cot\theta =3\sqrt{7}\)
Revisar
- ¿En qué cuadrantes es positivo el valor sinusoidal? ¿Negativo?
- ¿En qué cuadrantes es positivo el valor del coseno? ¿Negativo?
- ¿En qué cuadrantes es positivo el valor tangente? ¿Negativo?
Encuentra los valores de las otras cinco funciones trigonométricas de\(\theta \).
- \(\sin\theta =\dfrac{8}{17}\),\(0<\theta <\dfrac{\pi}{2}\)
- \(\cos\theta =−\dfrac{5}{6}\),\(\dfrac{\pi}{2}<\theta <\pi\)
- \(\tan\theta =\dfrac{\sqrt{3}}{4}\),\(0<\theta <\dfrac{\pi}{2}\)
- \(\sec\theta =−\dfrac{41}{9}\),\(\pi <\theta <\dfrac{3\pi}{2}\)
- \(\sin\theta =−\dfrac{11}{14}\),\(\dfrac{3\pi}{2}<\theta <2\pi\)
- \(\cos\theta =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\),\(0<\theta <\dfrac{\pi}{2}\)
- \(\cot\theta =\sqrt{5}\),\(\pi <\theta <\dfrac{3\pi}{2}\)
- \(\csc\theta =4\),\(\dfrac{\pi}{2}<\theta <\pi\)
- \(\tan\theta =−\dfrac{7}{10}\),\(\dfrac{3\pi}{2}<\theta <2\pi\)
- Aparte de usar las identidades, ¿de qué otra manera se pueden encontrar los valores de las otras cinco funciones trigonométricas?
- Dado eso\(\cos\theta =\dfrac{6}{11}\) y\(\theta\) está en el\(2^{nd}\) cuadrante, ¿qué es\(\sin(−\theta )\)?
- Dado eso\(\tan\theta =−\dfrac{5}{8}\) y\(\theta\) está en el\(4^{th}\) cuadrante, ¿qué es\(\sec(−\theta )\)?
Respuestas para problemas de revisión
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