3.2.6: Resolver ecuaciones trigonométricas usando álgebra básica
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Sustituir en soluciones potenciales o resolver usando funciones trigonométricas inversas.
Como agente Trigonometría, se le da esta pista:\(2 \sin x−\sqrt{2}=0\). Si\(0\leq x<2\pi\), cuál es/son el/los valor (s) de\(x\).
Resolviendo Ecuaciones Trigonométricas
Ya hemos verificado identidades trigonométricas, que son ciertas para cada valor real de\(x\). En este concepto, resolveremos ecuaciones trigonométricas. Una ecuación sólo es cierta para algunos valores de\(x\).
Verifiquemos eso\(\csc x−2=0\) cuando\(x=\dfrac{5\pi}{6}\).
Sustituir\(x=\dfrac{5\pi}{6}\) para ver si las ecuaciones se mantienen verdaderas.
\(\begin{aligned} \csc \left(\dfrac{5\pi}{6}\right)−2&=0\\ \dfrac{1}{\sin \left(\dfrac{5\pi}{6}\right)}−2&=0 \\ \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}−2&=0 \\ 2−2&=0\end{aligned}\)
Esta es una afirmación verdadera, así\(x=\dfrac{5\pi}{6}\) es una solución a la ecuación.
Ahora, vamos a resolver\(2\cos x+1=0\).
Para resolver esta ecuación, necesitamos aislar cosx y luego usar la inversa para encontrar los valores de x cuando la ecuación es válida.
\(\begin{aligned} 2\cos x+1&=0 \\ 2\cos x&=−1 \\ \cos x&=−\dfrac{1}{2}\end{aligned}\)
Entonces, ¿cuándo es el\(\cos x=−\dfrac{1}{2}\)? Entre\(0\leq x<2\pi\),\(x=\dfrac{2\pi}{3}\) y\(\dfrac{4\pi}{3}\). Pero, las funciones trigonométricas son periódicas, por lo que hay más soluciones que solo estas dos. Se pueden escribir las soluciones generales como\(x=\dfrac{2\pi}{3} \pm 2\pi n\) y\(x=\dfrac{4\pi}{3}\pm 2\pi n\), donde\(n\) está cualquier entero. Puedes verificar tu respuesta gráficamente graficando\(y=\cos x\) y\(y=−\dfrac{1}{2}\) en el mismo conjunto de ejes. Donde las dos líneas se cruzan son las soluciones.
Por último, vamos a resolver\(5 \tan(x+2)−1=0\), dónde\(0\leq x<2\pi\).
En este problema, tenemos un intervalo donde queremos encontrar\(x\). Por lo tanto, al final del problema, tendremos que sumar o restar\(\pi\), el periodo de tangente, para encontrar las soluciones correctas dentro de nuestro intervalo.
\(\begin{aligned} 5 \tan(x+2)−1&=0 \\ 5 \tan(x+2)&=1 \\ \tan(x+2)&=\dfrac{1}{5} \end{aligned}\)
Usando el botón tan−1 de tu calculadora, lo conseguimos\(\tan^{−1} \left(\dfrac{1}{5}\right)=0.1974\). Por lo tanto, tenemos:
\(\begin{aligned} x+2&=0.1974 \\ x&=−1.8026 \end{aligned}\)
Esta respuesta no está dentro de nuestro intervalo. Para encontrar las soluciones en el intervalo, agregue\(\pi \) un par de veces hasta que hayamos encontrado todas las soluciones en\([0,2\pi ]\).
\(\begin{aligned} x&=−1.8026+\pi =1.3390 \\ &=1.3390+\pi =4.4806\end{aligned}\)
Las dos soluciones son\(x=1.3390\) y\(4.4806\).
Anteriormente, se le pidió que encontrara el valor de x a partir de la ecuación\(2\sin x−\sqrt{2}=0\).
Solución
Para resolver esta ecuación, necesitamos aislar\(\sin x\) y luego usar la inversa para encontrar los valores de\(x\) cuando la ecuación es válida.
\(\begin{aligned} 2 \sin x−\sqrt{2}&=0 \\ 2\sin x&=\sqrt{2} \\ \sin x&=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}\)
Entonces ahora necesitamos encontrar los valores de\(x\) para los cuales\(\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Sabemos por los triángulos especiales que este valor de seno mantiene cierto para un\(45^{\circ}\) ángulo, pero ¿es ese el único valor\(x\) para el que es cierto?
Eso nos dicen\(0\leq x<2\pi\). Recordemos que el seno es positivo tanto en el primer como en el segundo cuadrantes, así que\(\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) cuando\(x\) también lo es\(135^{\circ}\).
Determinar si\(x=\dfrac{\pi}{3}\) es una solución para\(2\sin x=\sqrt{3}\).
Solución
\(2\sin \dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3} \rightarrow 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\)
Sí,\(x=\dfrac{\pi}{3}\) es una solución.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica en el intervalo\(0\leq x<2\pi\).
\(3 \cos^2 x−5=0\)
Solución
\(\begin{aligned} 9\cos^2x−5&=0 \\ 9\cos^2x&=5 \\ \cos^2 x&=\dfrac{5}{9} \\ \cos x=\pm \dfrac{\sqrt{5}}{3}\end{aligned}\)
El\(\cos x=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) at\(x=0.243 \text{rad}\) (usa tu calculadora gráfica). Para encontrar el otro valor donde el coseno es positivo, restar 0.243 de\(2\pi\),\(x=2\pi −0.243=6.037\text{ rad}\).
El\(\cos x=−\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) at\(x=2.412 \text{rad}\), que está en el\(2^{nd}\) cuadrante. Para encontrar el otro valor donde el coseno es negativo (el\(3^{rd}\) cuadrante), use el ángulo de referencia, 0.243, y agréguelo a\(\pi\). \(x=\pi +0.243=3.383\text{ rad}\).
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica en el intervalo\(0\leq x<2\pi\).
\(3\sec(x−1)+2=0\)
Solución
Aquí, encontraremos la solución dentro del rango dado,\(0\leq x<2\pi\).
\(\begin{aligned} 3\sec(x−1)+2&=0 \\ 3\sec(x−1)&=−2 \\ \sec(x−1)&=−\dfrac{2}{3} \\ \cos(x−1)&=−\dfrac{3}{2}\end{aligned}\)
En este punto, podemos detenernos. El rango de la función coseno es de 1 a -1. \(−\dfrac{3}{2}\)está fuera de este rango, por lo que no hay solución a esta ecuación.
Revisar
Determinar si los siguientes valores para x. son soluciones a la ecuación\(5+6 \csc x=17\).
- \(x=−\dfrac{7\pi }{6}\)
- \(x=\dfrac{11\pi }{6}\)
- \(x=\dfrac{5\pi }{6}\)
Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas. Si no existen soluciones, no escriba ninguna solución.
- \(1−\cos x=0\)
- \(3\tan x−\sqrt{3}=0\)
- \(4\cos x=2\cos x+1\)
- \(5 \sin x−2=2 \sin x+4\)
- \(\sec x−4=−\sec x\)
- \(\tan^2(x−2)=3\)
Únicamente las siguientes ecuaciones trigonométricas dentro del intervalo\(0\leq x<2\pi\). Si no existen soluciones, no escriba ninguna solución.
- \(\cos x=\sin x\)
- \(−\sqrt{3} \csc x=2\)
- \(6\sin(x−2)=14\)
- \(7\cos x−4=1\)
- \(5+4\cot^2 x=17\)
- \(2\sin^2x−7=−6\)
Respuestas para problemas de revisión
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Recursos adicionales
Práctica: Resolver ecuaciones trigonométricas usando álgebra básica