3.3.2: Simplificación de expresiones trigonométricas mediante fórmulas de suma y diferencia
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Simplifique el seno, el coseno y la tangente de los ángulos que se suman o restan.
Como Agente Trigonometría se le da esta pista:\(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)\). ¿Cómo podría simplificar esta expresión para facilitar la resolución de su caso?
Simplificación de expresiones trigonométricas
También podemos utilizar las fórmulas suma y diferencia para simplificar las expresiones trigonométricas.
El\(\sin a=−\dfrac{3}{5}\) y\(\cos b=\dfrac{12}{13}\). a está en el\(3^{rd}\) cuadrante y b está en el\(1^{st}\). Vamos a encontrar\(\sin(a+b)\).
Primero, tenemos que encontrar\(\cos a\) y\(\sin b\). Usando el Teorema de Pitágoras, las longitudes faltantes son 4 y 5, respectivamente. Entonces,\(\cos a=−\dfrac{4}{5}\) porque está en el 3er cuadrante y\(\sin b=\dfrac{5}{13}\). Ahora, use las fórmulas apropiadas.
\(\begin{aligned}\sin(a+b)& =\sin a \cos b+\cos a \sin b \\&=−\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{12}{13}+−\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{13}=−\dfrac{56}{65} \end{aligned}\)
Ahora, usando la información del problema anterior anterior, encontremos\(\tan(a+b)\).
Desde el coseno y seno de\(a\) y\(b\), sabemos que\(\tan a=\dfrac{3}{4}\) y\(\tan b=\dfrac{5}{12}\).
\(\begin{aligned} \tan(a+b)&=\dfrac{\tan a+\tan b}{1−\tan a\tan b} \\&=\dfrac{\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{12}}{1−\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{5}{12}} \\&=\dfrac{\dfrac{14}{12}}{\dfrac{11}{16}}\\&=\dfrac{56}{33}\end{aligned}\)
Por último, simplifiquemos\(\cos(\pi −x)\).
Amplíe esto usando la fórmula de diferencia y luego simplifique.
\(\begin{aligned} \cos(\pi −x)&=\cos\pi \cos x+\sin \pi \sin x\\ &=−1\cdot \cos x+0\cdot \sin x \\ &=−\cos x \end{aligned}\)
Antes, se le pidió que simplificara\(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}−x \right)\).
Solución
Puede expandir la expresión usando la fórmula de diferencia y luego simplificar.
\(\begin{aligned} \sin\left(\dfrac{\pi}{2}−x \right)&=\sin\dfrac{\pi}{2} \cos x−\cos\dfrac{\pi}{2} \sin x \\ &=1 \cdot cosx−0\cdot \sin x \\&=\cos x \end{aligned}\)
Usando la información del primer problema anterior (donde encontramos\(\sin(a+b)\)), encuentra\(\cos(a−b)\).
Solución
\(\begin{aligned} \cos(a−b)&=\cos a \cos b+\sin a \sin b=−\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{12}{13}+−\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{13} \\ &=−\dfrac{63}{65} \end{aligned}\)
Simplificar\(\tan(x+\pi)\).
Solución
\(\begin{aligned} \tan(x+\pi )&=\dfrac{\tan x+\tan\pi}{−\tan x \tan\pi} \\ &=\dfrac{\tan x+0}{1−\tan 0} \\&=\tan x\end{aligned}\)
Revisar
\(\sin a=−\dfrac{8}{17}\),\(\pi \leq a<\dfrac{3 \pi}{2}\) y\(\sin b=−\dfrac{1}{2}, \; \dfrac{3 \pi}{2}\leq b<2\pi \). Encuentra los valores trigonométricos exactos de:
- \(\sin(a+b)\)
- \(\cos(a+b)\)
- \(\sin(a−b)\)
- \(\tan(a+b)\)
- \(\cos(a−b)\)
- \(\tan(a−b)\)
Simplifica las siguientes expresiones.
- \(\sin(2\pi −x)\)
- \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\)
- \(\cos(x+\pi )\)
- \(\cos\left(\dfrac{3 \pi}{2}−x\right)\)
- \(\tan(x+2\pi)\)
- \(\tan(x−\pi )\)
- \(\sin\left(\pi 6−x\right)\)
- \(\tan\left(\dfrac{\pi }{4}+x\right)\)
- \(\cos\left(x−\dfrac{\pi }{3}\right)\)
Determinar si las siguientes declaraciones trigonométricas son verdaderas o falsas.
- \(\sin(\pi −x)=\sin(x−\pi )\)
- \(\cos(\pi −x)=\cos(x−\pi )\)
- \(\tan(\pi −x)=\tan(x−\pi )\)
Respuestas para problemas de revisión
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