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3.3.4: Fórmulas de suma coseno y diferencia

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    107743
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    coseno de una suma o diferencia relacionada con un conjunto de funciones coseno y seno.

    Mientras juegas un juego de mesa con amigos, estás usando un spinner como este:

    f-d_e90635de1bde098cf8ccc604babd88a06189c6e04fa930c4007d3235+image_tiny+image_tiny.jpg
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Cuando tocas el spinner con la mano, éste gira\(110^{\circ}\). No obstante, en ese momento, alguien toca el tablero de juego y el spinner retrocede un poco a\(80^{\circ}\). Uno de tus amigos, que está por encima de ti en matemáticas, empieza a hablarte de funciones trig.

    “¿Crees que puedes calcular el coseno de la diferencia entre esos ángulos?” pregunta.

    “Mmm”, respondes. “Claro. Creo que es justo”\(\cos (110^{\circ} −80^{\circ} )=\cos 30^{\circ}\).

    Tu amiga sonríe. “¿Estás seguro?” pregunta.

    Te das cuenta de que no estás seguro en absoluto. ¿Puedes resolver este problema? Lee esta lección, y al final podrás calcular el coseno de la diferencia de los ángulos.

    Fórmulas para la suma y diferencia de cosenos

    Al pensar en cómo calcular valores para funciones trig, es natural considerar cuál es el valor para la función trig de una diferencia de dos ángulos.

    Por ejemplo, ¿es\(\cos 15^{\circ} =\cos (45^{\circ} −30^{\circ} )\)? Al aparecer, sí, lo es. En esta sección se explora cómo encontrar una expresión que sea igual\(\cos (45^{\circ} −30^{\circ} )\). Para simplificar esto, deja que los dos ángulos dados sean\(a\) y\(b\) dónde\(0<b<a<2\pi\).

    Comience con el círculo unitario y coloque los ángulos a y b en posición estándar como se muestra en la Figura A. El punto Pt1 se encuentra en el lado terminal de\(b\), por lo que sus coordenadas son\((\cos b, \; \sin b)\) y el Punto Pc2 se encuentra en el lado terminal de a por lo que sus coordenadas son\((\cos a,\sin a)\). Colocar el\(a−b\) en posición estándar, como se muestra en la Figura B. El punto A tiene coordenadas\((1,0)\) y el Pt3 está en el lado terminal del ángulo\(a−b\), por lo que sus coordenadas son\((\cos [a−b],\sin [a−b])\).

    f-d_eac23c502a80c9a34722956aa55857a8c2941be762830b1b8879014a+image_tiny+image_tiny.jpg
    Figura\(\PageIndex{2}\)
    F-d_7a383e3cfbd0e85942352d55b94125afbba4f07c492bc9c91c9d7c82+image_tiny+image_tiny.jpg
    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Los triángulos\(OP_{1} P_{2}\) en la figura A y\(OAP_{3}\) el triángulo en la figura\(B\) son congruentes. (Dos lados y el ángulo incluido,\(a−b\), son iguales). Por lo tanto, el lado desconocido de cada triángulo también debe ser igual. Es decir:\(d (A, P_3)=d (P_1,\; P_2)\)

    Aplicando la fórmula de distancia a los triángulos de las Figuras A y B y estableciéndolos iguales entre sí:

    \(\sqrt{[\cos (a−b)−1]^2+[\sin (a−b)−0]^2}=\sqrt{(\cos a−\cos b)^2+(\sin a−\sin b)^2}\)

    Cuadra ambos lados para eliminar la raíz cuadrada.

    \([\cos (a−b)−1]^2+[\sin (a−b)−0]^2=(\cos a−\cos b)^2+(\sin a−\sin b)^2\)

    FOIL las cuatro expresiones al cuadrado y simplificar.

    \ (\ begin {alineado}
    \ cos ^ {2} (a-b) -2\ cos (a-b) +1+\ sin ^ {2} (a-b) &=\ cos ^ {2} a-2\ cos a\ cos b+\ cos ^ {2} b+\ sin ^ {2} a-2\\ underbrackets {
    \ sin ^ {2} (a-b) +\ cos ^ {2} (a-b) +\ cos ^ {2} (a-b) b)} -2\ cos (a-b) +1 &=\ underbrackets {\ sin ^ {2} a+\ cos ^ {2} a} -2\ cos a\ cos b+\ underbrackets {\ sin ^ {2} b+\ cos ^2 b} -2\ sin a\ sin b\ fin {alineado}\)

    \ (\ begin {alineado} 2\ cos (a-b) + 1&=1-2\ cos a\ cos b+1-2\ sin a\ sin b\
    2-2\ cos (a-b) &=2-2\ cos a\ cos b-2\ sin a\ sin b\\
    -2\ cos (a-b) &=-2\ cos a\ cos b-2\ sin a\ sin b\
    \ cos (a-b) &=\ cos cos a\ cos b+\ sin a\ sin b
    \ fin {alineado}\)

    En\(\cos (a−b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\), la fórmula de diferencia para coseno, se puede sustituir\(a−(−b)=a+b\) para obtener:\(\cos (a+b)=\cos [a−(−b)]\) o\(\cos a\cos (−b)+\sin a\sin (−b)\). desde\(\cos (−b)=\cos b\) y\(\sin (−b)=−\sin b\), entonces\(\cos (a+b)=\cos a\cos b−\sin a\sin b\), que es la fórmula de suma para coseno.

    usando la fórmula de diferencia de coseno

    1. Encuentre una forma equivalente de\(\cos \left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)\) usar la fórmula de diferencia de coseno.

    \(\begin{aligned} \cos \left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right) &=\cos \dfrac{\pi}{2}\cos \theta +\sin \dfrac{\pi}{2} \sin \theta \\ \cos \left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)&=0 \times \cos \theta +1\times \sin \theta , \text{ substitute } \cos \dfrac{\pi}{2}=0 \text{ and } \sin \dfrac{\pi}{2}=1\\ \cos \left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right) &=\sin \theta \end{aligned}\)

    Sabemos que es una verdadera identidad por nuestra comprensión de las curvas sinusoidales y cosenales, que son un desplazamiento de fase\(\dfrac{\pi}{2}\) de una de otra.

    Las fórmulas de coseno también se pueden utilizar para encontrar valores exactos de coseno que antes no pudimos encontrar, como\(15^{\circ} =(45^{\circ} −30^{\circ})\)\(75^{\circ} =(45^{\circ} +30^{\circ} )\), entre otros.

    2. Encuentra el valor exacto de\(\cos 15^{\circ}\)

    Utilice la fórmula de diferencia donde\(a=45^{\circ}\) y\(b=30^{\circ}\).

    \(\begin{aligned} \cos (45^{\circ} −30^{\circ} ) &=\cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} +\sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \\ \cos 15^{\circ}&=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{1}{2} \\ \cos 15^{\circ}&=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{aligned}\)

    3. Encuentra el valor exacto de\(\cos \dfrac{5 \pi}{12}\), en radianes.

    \(\cos \dfrac{5 \pi}{12}=\cos \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\right)\), observe que\(\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3 \pi}{12}\) y\(\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2 \pi}{12}\)

    \(\begin{aligned} \cos \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\right) &=\cos \dfrac{\pi}{4}\cos \dfrac{\pi}{6}−\sin \dfrac{\pi}{4}\sin \dfrac{\pi}{6} \\ \cos \dfrac{\pi}{4}\cos \dfrac{\pi}{6}−\sin \dfrac{\pi}{4}\sin \dfrac{\pi}{6}&=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{1}{2} \\&=\dfrac{\sqrt{6}−\sqrt{2}}{4} \end{aligned}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Anteriormente, te preguntaron si puedes calcular el coseno de la diferencia entre los dos ángulos.

    Solución

    Parecería que tu amigo se estaba divirtiendo contigo, ya que pensó que no conocías la fórmula de la diferencia coseno. Pero ahora, con esta fórmula en la mano, puedes resolver fácilmente la diferencia de los dos ángulos:

    \(\begin{aligned} \cos (110^{\circ} −80^{\circ} ) &=(\cos 110^{\circ} )(\cos 80^{\circ} )+(\sin 110^{\circ} )(\sin 80^{\circ} ) \\&=(−.342)(.174)+(.9397)(.9848) \\&=−.0595+.9254=.8659\end{aligned}\)

    Por lo tanto,

    \(\cos \left(110^{\circ} −80^{\circ} \right)=.8659\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Encuentre el valor exacto para\(\cos \dfrac{5 \pi}{12}\)

    Solución

    \(\begin{aligned} \cos \dfrac{5 \pi}{12}&=\cos \left(\dfrac{2 \pi}{12}+\dfrac{3 \pi}{12}\right) \\&=\cos \left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos \dfrac{\pi}{6}\cos \dfrac{\pi}{4}−\sin \dfrac{\pi}{6}\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}−12\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}−\dfrac{\sqrt{2}}{4}=\sqrt{6}−\dfrac{\sqrt{2}}{4} \end{aligned}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Encuentre el valor exacto para\(\cos \dfrac{7 \pi}{12}\)

    Solución

    \(\begin{aligned}\cos \dfrac{7 \pi}{12}&=\cos \left(\dfrac{4 \pi}{12}+\dfrac{3 \pi}{12}\right) \\ &=\cos \left(\dfrac{ \pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\right) \\ &=\cos \dfrac{ \pi}{3}\cos \dfrac{\pi}{4}−\sin \dfrac{ \pi}{3}\sin \dfrac{\pi}{4} \\&=12\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\&=\dfrac{\sqrt{2}}{4}−\dfrac{\sqrt{6}}{4} \\&=\dfrac{\sqrt{2}−\sqrt{6}}{4} \end{aligned}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Encuentre el valor exacto para\(\cos 345^{\circ}\)

    Solución

    \(\begin{aligned} \cos 345^{\circ} &=\cos (315^{\circ} +30^{\circ} ) \\&=\cos 315^{\circ} \cos 30^{\circ} −\sin 315^{\circ} \sin 30^{\circ} \\&=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}−\left(−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot \dfrac{1}{2} \\&=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{aligned}\)

    Revisar

    Encuentra el valor exacto para cada expresión de coseno.

    1. \(\cos 75^{\circ}\)
    2. \(\cos 105^{\circ}\)
    3. \(\cos 165^{\circ}\)
    4. \(\cos 255^{\circ}\)
    5. \(\cos −15^{\circ}\)

    Escribe cada expresión como el coseno de un ángulo.

    1. \(\cos 96^{\circ} \cos 20^{\circ} +\sin 96^{\circ} \sin 20^{\circ}\)
    2. \(\cos 4x\cos 3x−\sin 4x\sin 3x\)
    3. \(\cos 37^{\circ} \cos 12^{\circ} +\sin 37^{\circ} \sin 12^{\circ}\)
    4. \(\cos 59^{\circ} \cos 10^{\circ} −\sin 59^{\circ} \sin 10^{\circ}\)
    5. \(\cos 5y\cos 2y+\sin 5y\sin 2y\)
    6. Demostrar que\(\cos \left(x−\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos (x)+\sin (x))\)
    7. Si\(\cos (x)\cos (y)=\sin (x)\sin (y)\), entonces, ¿qué es\(\cos (x+y)\) igual?
    8. Demostrar que\(\cos \left(x−\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin (x)\)
    9. Usa el hecho de que\(\cos \left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)=\sin (x)\) (mostrado en ejemplos), para demostrarlo\(\sin \left(\dfrac{\pi}{2}−x \right)=\cos (x)\).
    10. \(\cos (x−y)+\cos (x+y)=2\cos (x)\cos (y)\)Demuéstralo.

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.6.


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