3.3.5: Fórmulas de suma tangente y diferencia

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tangente de una suma o diferencia relacionada con un conjunto de funciones tangentes.

Supongamos que te dieron dos ángulos y te pidieron encontrar la tangente de la diferencia de ellos. Por ejemplo, puedes calcular:

\(\tan (120^{\circ} −40^{\circ} )\)

¿Simplemente restarías los ángulos y luego tomarías la tangente del resultado? ¿O se requiere algo más complicado para resolver este problema? Sigue leyendo, y al final de esta lección, podrás calcular funciones trig como la anterior.

tangente, suma, y, diferencia, fórmulas

En esta lección, queremos encontrar una fórmula que facilite el cálculo de la tangente de una suma de argumentos o una diferencia de argumentos. Como primero, puede parecer que solo debes sumar (o restar) los argumentos y tomar la tangente del resultado. Sin embargo, no es tan fácil.

Para encontrar la fórmula de suma para tangente:

\ (\ begin {alineado}
\ tan (a+b) &=\ dfrac {\ sin (a+b)} {\ cos (a+b)} &&\ text {Usando}\ tan\ theta=\ dfrac {\ sin\ theta} {\ cos\ theta}\\\
&=\ dfrac {\ sin a\ cos b+\ sin\ cos a} {cos\ a\ cos b-\ sin a\ sin b} &&\ text {Sustituyendo las fórmulas de suma por seno y coseno}
\\
&=\ dfrac {\ dfrac {\ sin a\ cos b+\ sin b\ cos a} {\ cos a\ cos b}} {\ dfrac {\ cos a\ cos b-\ sin a\ sin b} {\ cos a\ cos b}} &&\ text {Divide tanto el numerador como el denominador}\ cos a\ cos b\\
&=\ dfrac {\ dfrac {\ sin a\ cos b} {\ cos a\ cos b} +\ dfrac {\ sin b\ cos a} {\ cos a\ cos b}} {\ dfrac {\ cos a\ cos b} {\ cos a\ cos b} -\ dfrac {\ sin a\ sin b} {\ cos a\ cos b}} &&\ text {Reducir cada una de las fracciones}\\
&=\ dfrac {\ dfrac {\ sin a} {\ cos a} +\ dfrac {\ sin b} {\ cos b}} {1-\ dfrac {\ sin a\ sin b} {\ cos a\ cos b}} &&\ text {Sustituto}\ dfrac {\ sin\ theta} {\ cos\ theta} =\ tan\ theta\
\ tan (a+b) &=\ dfrac {\ tan a+\ tan b} {1-\ tan a\ tan b} &&\ text {fórmula de suma para tangente}
\ end {alineado}\)

En conclusión,\(\tan (a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1−\tan a\tan b}\). Sustituyendo\(b\) en\(−b\) los resultados anteriores en la fórmula de diferencia para tangente:

\(\tan (a−b)=\dfrac{\tan a−\tan b}{1+\tan a\tan b}\)

Uso de la fórmula de diferencia tangente

1. Encuentra el valor exacto de\(\tan 285^{\circ}\).

Utilice la fórmula de diferencia para tangente, con\(285^{\circ} =330^{\circ} −45^{\circ}\)

\ (\ comenzar {alineado}
\ tan\ izquierda (330^ {\ circ} -45^ {\ circ}\ derecha) &=\ dfrac {\ tan 330^ {\ circ} -\ tan 45^ {\ circ}} {1+\ tan 330^ {\ circ}\ tan 45^ {\ circ}}\\
&=\ dfrac {-\ dfrac\ sqrt {3}} {3} -1} {1-\ dfrac {\ sqrt {3}} {3}\ cdot 1} =\ dfrac {-3-\ sqrt {3}} {3-\ sqrt {3}}\\
&=\ dfrac {-3-\ sqrt {3}} {3-\ sqrt {3}}\ cdot\ dfrac {3+\ sqrt {3}} {3+\ sqrt {3}}\\
&=\ dfrac {-9-6\ sqrt {3} -3} {9-3}\\
&=\ dfrac {-12-6\ sqrt {3}} {6}\\
&=-2-\ sqrt {3}
\ fin {alineado}\)

Para verificar esto en la calculadora,\(\tan 285^{\circ} =−3.732\) y\(−2−\sqrt{3}=−3.732\).

2. Verificar la fórmula de diferencia tangente encontrando\(\tan \dfrac{6\pi}{6}\), ya que ésta debería ser igual a\(\tan \pi =0\).

Utilice la fórmula de diferencia para tangente, con\(\tan \dfrac{6\pi}{6}=\tan \left(\dfrac{7\pi}{6}−\dfrac{\pi}{6}\right)\)

\ (\ begin {alineado}
\ tan\ izquierda (\ dfrac {7\ pi} {6} -\ dfrac {\ pi} {6}\ derecha) &=\ dfrac {\ tan\ dfrac {7\ pi} {6} -\ tan\ dfrac {\ pi} {6}} {1+\ tan\ dfrac {7\ pi} {6}\ tan\ dfrac {\ pi} {6}}\\
&=\ dfrac {\ dfrac {\ sqrt {2}} {6} -\ dfrac {\ sqrt {2}} {6}} {1-\ dfrac {\ sqrt {2}} {6}\ cdot\ dfrac {\ sqrt {2}} {6}} =\ dfrac {0} {1-\ dfrac {2} {36}}\\
&=\ dfrac {0} {\ dfrac {34} {36}}\\
&=0
\ end {alineado}\)

3. Encuentra el valor exacto de\(\tan 165^{\circ}\).

Utilice la fórmula de diferencia para tangente, con\(165^{\circ} =225^{\circ} −60^{\circ}\)

\(\begin{aligned} \tan (225^{\circ} −60^{\circ} )&= \dfrac{\tan 225^{\circ} −\tan 60^{\circ}}{1+\tan 225^{\circ} \tan 60^{\circ}} \\&=\dfrac{1−\sqrt{3}}{1−1\cdot \sqrt{3}}=1 \end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Antes, se le pidió que encontrara\(\tan (120^{\circ} −40^{\circ} )\).

Solución

Puedes usar la fórmula de diferencia tangente:

\(\tan (a−b)=\dfrac{\tan a−\tan b}{1+\tan a \tan b}\)

para ayudar a resolver esto. Sustituyendo en cantidades conocidas:

\(\tan (120^{\circ} −40^{\circ} )=\dfrac{\tan 120^{\circ} −\tan 40^{\circ}}{1+(\tan 120^{\circ} )(\tan 40^{\circ} )}=\dfrac{−1.732−.839}{1+(−1.732)(.839)}=\dfrac{−2.571}{−.453148}=5.674\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentre el valor exacto para\(\tan 75^{\circ}\)

Solución

\ (\ begin {alineado}
\ tan 75^ {\ circ} &=\ tan\ izquierda (45^ {\ circ} +30^ {\ circ}\ circ}\ derecha)\\
&=\ dfrac {\ tan 45^ {\ circ} +\ tan 30^ {\ circ}} {1-\ tan 45^ {\ circ}\ tan 30^ {\ circ}\
&=\ dfrac {1+\ dfrac {\ sqrt {3}} {3}} {1-1\ cdot\ dfrac {\ sqrt {3}} {3}} =\ dfrac {\ dfrac {3+\ sqrt {3}} {3}} {\ dfrac {3-\ sqrt {3}} {3}}\
&=\ dfrac {3+\ sqrt {3}} {3-\ sqrt {3}}\ cdot\ dfrac {3+\ sqrt {3}} {3+\ sqrt {3}}\\
&=\ dfrac {9+6\ sqrt {3} +3} {9-3} = dfrac {12+6\ sqrt {3}} {6}\\
&=2+\ sqrt {3}
\ end {alineado}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Simplificar\(\tan (\pi +\theta )\)

Solución

\(\tan (\pi +\theta )=\dfrac{\tan \pi +\tan \theta }{1−\tan \pi \tan \theta }=\dfrac{\tan \theta }{1}=\tan \theta\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentre el valor exacto para\(\tan 15^{\circ}\)

Solución

\ (\ begin {alineado}
\ tan 15^ {\ circ} &=\ tan\ izquierda (45^ {\ circ} -30^ {\ circ}\ circ}\ derecha)\\
&=\ dfrac {\ tan 45^ {\ circ} -\ tan 30^ {\ circ}} {1+\ tan 45^ {\ circ}\ tan 30^ {\ circ}}\
&=\ dfrac {1-\ dfrac {\ sqrt {3}} {3}} {1+1\ cdot\ dfrac {\ sqrt {3}} {3}} =\ dfrac {\ dfrac {3-\ sqrt {3}} {3}} {\ dfrac {3+\ sqrt {3}} {3}}\\
&=\ dfrac {3-\ sqrt {3}} {3+\ sqrt {3}}\ cdot\ dfrac {3-\ sqrt {3}} {3-\ sqrt {3}}\\
&=\ dfrac {9+6\ sqrt {3} +3} {9-3} =\ dfrac {12+6\ sqrt {3}} {6}\\
&=2+\ sqrt {3}
\ end {alineado}\)

Revisar

Encuentra el valor exacto para cada expresión tangente.

\(\tan \dfrac{5 \pi}{12}\)
\(\tan \dfrac{11 \pi}{12}\)
\(\tan −165^{\circ}\)
\(\tan 255^{\circ}\)
\(\tan −15^{\circ}\)

Escribe cada expresión como la tangente de un ángulo.

\(\dfrac{\tan 15^{\circ} +\tan 42^{\circ}}{1−\tan 15^{\circ} \tan 42^{\circ}}\)
\(\dfrac{\tan 65^{\circ} −\tan 12^{\circ} }{1+\tan 65^{\circ} \tan 12^{\circ}}\)
\(\dfrac{\tan 10^{\circ} +\tan 50^{\circ}}{1−\tan 10^{\circ} \tan 50^{\circ}}\)
\(\dfrac{\tan 2y+\tan 4}{1−\tan 2 \tan 4y}\)
\(\dfrac{\tan x−\tan 3x}{1+\tan x\tan 3x}\)
\(\dfrac{\tan 2x−\tan y}{1+\tan 2x\tan y}\)
Demostrar que\(\tan \left(x+\dfrac{\pi }{4}\right)=\dfrac{1+\tan (x)}{1−\tan (x)}\)
Demostrar que\(\tan \left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)=−\cot (x)\)
Demostrar que\(\tan \left(\dfrac{\pi }{2}−x\right)=\cot (x)\)
Demostrar que\(\tan (x+y)\tan (x−y)=\dfrac{\tan^2(x)−\tan^2(y)}{1−\tan^2(x)\tan^2(y)}\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.8.

vocabulario

Término	Definición
tangente Diferencia Fórmula	La fórmula de diferencia tangente relaciona la tangente de una diferencia de dos argumentos con un conjunto de funciones tangentes, cada una de las cuales contiene un argumento.
tangente suma Fórmula	La fórmula de suma tangente relaciona la tangente de una suma de dos argumentos con un conjunto de funciones tangentes, cada una de las cuales contiene un argumento.

Recursos adicionales

Video: Identidades de suma y diferencia para tangente