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LibreTexts Español

3.3.6: Resolver ecuaciones trigonométricas usando fórmulas de suma y diferencia

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Resuelve seno, coseno y tangente de ángulos que se suman o restan.

    Como Agente Trigonometría, se le da una pieza del rompecabezas:\(\sin \left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)=−1\). ¿Cuál es el valor de\(x\)?

    Resolución de funciones trigonométricas

    Podemos usar las fórmulas suma y diferencia para resolver ecuaciones trigonométricas. Para este concepto, solo encontraremos soluciones en el intervalo\(0\leq x<2\pi\).

    Resolvamos las siguientes funciones usando las fórmulas suma y diferencia.

    1. \(\cos (x-\pi) =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

    Usa la fórmula para simplificar el lado izquierdo y luego resolver para x.

    \ (\ begin {alineado}
    \ cos (x-\ pi) &=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\
    \ cos x\ cos\ pi+\ sin x\ sin\ pi &=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}} {2}\
    -\ cos x &=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\
    \ cos x &=-\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}
    \ end {alineado}\)

    El coseno negativo en los cuadrantes 2 y 3. \(x=\dfrac{3\pi}{4}\)y\(\dfrac{5 \pi}{4}\).

    1. \(\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+1 =\sin \left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)\)

    \ (\ comenzar {alineado}
    \ sin\ izquierda (x+\ dfrac {\ pi} {4}\ derecha) +1 &=\ sin\ izquierda (\ dfrac {\ pi} {4} -x\ derecha)\
    \ sin x\ cos\ dfrac {\ pi} {4} +\ cos x\ sin\ dfrac {\ pi} {4} +1 &=\ sin dfrac\ {\ pi} {4}\ cos x-\ cos\ dfrac {\ pi} {4}\ sin x\
    \ sin x\ cdot\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} +\ cos x\ cdot\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} +1 &=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ cdot\ cos x-\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ cdot\ sin x\
    \ sqrt {2}\ sin x &=-1\\
    \ sin x &=-\ dfrac {1} {\ sqrt {2}} =-\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}
    \ final {alineado}\)

    En el intervalo,\(x=\dfrac{5 \pi}{4}\) y\(\dfrac{7\pi}{4}\).

    1. \(2\sin \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\tan \dfrac{\pi}{3}\)

    \ (\ begin {alineado}
    2\ sin\ izquierda (x+\ dfrac {\ pi} {3}\ derecha) &=\ tan\ dfrac {\ pi} {3}\\
    2\ izquierda (\ sin x\ cos\ dfrac {\ pi} {3} +\ cos x\ sin\ dfrac {\ pi} {3}\ derecha) &=\ sqrt {3}\\
    2\ sin x\ cdot\ dfrac {1} {2} +2\ cos x\ cdot\ dfrac {\ sqrt {3}} {2} &=\ sqrt {3}\
    \ sin x+\ sqrt {3}\ cos x &=\ sqrt {3}\
    \ sin x &=\ sqrt {3} (1-\ cos x)\\
    \ sin ^ {2} x &=3\ izquierda (1-2\ cos x+\ cos ^ {2} x\ derecha) &&\ text {cuadrado ambos lados}\\
    1-\ cos ^ {2} x &=3-6\ cos x+3\ cos ^ {2} x &&\ texto {sustituto}\ sin ^ {2} x=1-\ cos ^ {2 } x\\
    0 &=4\ cos ^ {2} x-6\ cos x+2\
    0 &=2\ cos ^ {2} x-3\ cos x+1
    \ end {alineado}\)

    En este punto, podemos factorial la ecuación para ser\((2\cos x−1)(\cos x−1)=0\). \(\cos x=\dfrac{1}{2}\), y 1, entonces\(x=0,\; \dfrac{\pi}{3}, \; \dfrac{5 \pi}{3}\). Ten cuidado con estas respuestas. Cuando comprobamos estas soluciones resulta que\(\dfrac{5 \pi}{3}\) no funciona.

    \(\begin{aligned} 2\sin \left (\dfrac{5 \pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\right)&=\tan \dfrac{\pi}{3} \\ 2\sin 2\pi &=\sqrt{3} \\ 0 &\neq \sqrt{3} \end{aligned}\)

    Por lo tanto,\(\dfrac{5 \pi}{3}\) es una solución ajena.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Anteriormente, se le pidió que encontrara el valor de x a partir de la ecuación\(\sin \left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)=−1\).

    Solución

    Primero, simplifique la expresión\(\sin \left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)\) como:

    \(\begin{aligned} \sin \left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)&=\sin \dfrac{\pi}{2}\cos x−\cos \dfrac{\pi}{2}\sin x \\ &=1\cdot \cos x−0\cdot \sin x \\&=\cos x \end{aligned}\)

    Entonces lo que ahora estás buscando es el valor de\(x\) dónde\(\cos x=−1\).

    El coseno de\(180^{\circ} \) es igual a −1.

    Resuelve las siguientes ecuaciones en el intervalo\(0\leq x<2\pi\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    \(\cos (2\pi −x)=\dfrac{1}{2}\)

    Solución


    \ (\ begin {alineado}
    \ cos (2\ pi-x) &=\ dfrac {1} {2}\
    \ cos 2\ pi\ cos x+\ sin 2\ pi\ sin x &=\ dfrac {1} {2}\
    \ cos x &=\ dfrac {1} {2}\\
    x &=\ dfrac {\ pi} {3}\ texto {y}\ dfrac {5\ pi} {3}
    \ final {alineado}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    \(\sin \left(\dfrac{\pi}{6}−x\right)+1=\sin \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\)

    Solución

    \ (\ comenzar {alineado}
    \ sin\ izquierda (\ dfrac {\ pi} {6} -x\ derecha) +1 &=\ sin\ izquierda (x+\ dfrac {\ pi} {6}\ derecha)\\
    \ sin\ dfrac {\ pi} {6}\ cos x-\ cos\ dfrac {\ pi} {6}\ sin x+1 &=\ sin x\ cos\ dfrac {\ pi} {6} +\ cos x\ sin\ dfrac {\ pi} {6}\
    \ dfrac {1} {2}\ cos x-\ dfrac {\ sqrt {3}} {2}\ sin x+1 & amp; =\ dfrac {\ sqrt {3}} {2}\ sin x+\ dfrac {1} {2}\ cos x\\
    1 &=\ sqrt {3}\ sin x\
    \ dfrac {1} {\ sqrt {3}} &=\ sin x\\
    x &=\ sin ^ {-1}\ izquierda (\ dfrac {1} {sqrt {3}}\ derecha) =0.6155\ texto {y} 2.5261\ texto {rad}
    \ end {alineado}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    \(\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\tan \dfrac{\pi}{4}\)

    Solución

    \(\begin{aligned} \cos \left(\dfrac{\pi}{2}+x \right)&=\tan \dfrac{\pi}{4} \\ \cos \dfrac{\pi}{2}\cos x−\sin \dfrac{\pi}{2}\sin x&=1 \\ −\sin x&=1 \\ \sin x &=−1\\ x&=\dfrac{3 \pi}{2} \end{aligned}\)

    Revisar

    Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo\(0\leq x<2\pi\).

    1. \(\sin \left (x−\pi \right)=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
    2. \(\cos \left(2\pi +x\right)=−1\)
    3. \(\tan \left (x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1\)
    4. \(\sin \left (\dfrac{\pi}{2}−x\right)=\dfrac{1}{2}\)
    5. \(\sin \left (x+3\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin \left (x−\dfrac{3 \pi}{4}\right)=1\)
    6. \(\sin \left (x+\dfrac{\pi}{6}\right)=−\sin \left (x−\dfrac{\pi}{6}\right)\)
    7. \(\cos \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos \left(x−\dfrac{\pi}{6}\right)+1\)
    8. \(\cos \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos \left(x−\dfrac{\pi}{3}\right)=1\)
    9. \(\tan \left (x+\pi \right)+2\sin \left (x+\pi \right)=0\)
    10. \(\tan \left (x+\pi \right)+\cos \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=0\)
    11. \(\tan \left (x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\tan \left (x−\dfrac{\pi}{4}\right)\)
    12. \(\sin \left (x−\dfrac{5 \pi}{3}\right)−\sin \left (x−\dfrac{2 \pi}{3}\right)=0\)
    13. \(4\sin \left (x+\pi \right)−2=2\cos \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\)
    14. \(1+2\cos (x−\pi )+\cos x=0\)
    15. Aplicación en la vida real La altura,\(h\) (en pies), de dos personas en diferentes asientos en una noria puede ser modelada por\(h_1=50\cos 3t+46\) y\(h_2=50\cos 3\left(t−\dfrac{3 \pi}{4}\right)+46\) dónde\(t\) está el tiempo (en minutos). ¿Cuándo están las dos personas a la misma altura?

    Respuestas para problemas de revisión

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 14.14.


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