3.3.7: Encontrar valores trigonométricos exactos usando fórmulas de suma y diferencia

Convierte ángulos a suma o diferencia de 30, 45 y 60 grados para resolverlos.

Mides un ángulo con tu transtractor para ser\(165^{\circ} \). ¿Cómo podrías encontrar el seno exacto de este ángulo sin usar una calculadora?

Fórmulas de suma y diferencia

Ya sabes eso\(\sin 30^{\circ} =\dfrac{1}{2}\),\(\cos 135^{\circ} =−\dfrac{\sqrt{2} }{2}\),\(\tan 300^{\circ} =−\sqrt{3}\), etc... de los triángulos rectos especiales. En este concepto, aprenderemos a encontrar los valores exactos de las funciones trigonométricas para ángulos distintos de estos múltiplos de 30^ {\ circ} ,45^ {\ circ}, y 60^ {\ circ}. Usando las Fórmulas Suma y Diferencia, podemos encontrar estos valores trigonométricos exactos.

Fórmulas de suma y diferencia

\(\begin{aligned} \sin (a\pm b)&=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b \\ \cos (a\pm b)&=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b \\ \tan (a\pm b)&=\dfrac{\tan a\pm \tan b}{1\mp \tan a\tan b}\end{aligned}\)

Busquemos los siguientes valores exactos Usando las Fórmulas Suma y Diferencia.

1. \(\sin 75^{\circ}\)

Este es un ejemplo de donde podemos usar la fórmula de suma sinusoidal desde arriba,\(\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\), donde\(a=45^{\circ} \) y\(b=30^{\circ} \).

\(\begin{aligned} \sin 75^{\circ} &=\sin (45^{\circ} +30^{\circ} ) \\&=\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} +\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \\ &=\dfrac{\sqrt{2} }{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2}+\dfrac{\sqrt{2} }{2}\cdot \dfrac{1}{2} \\ &=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{aligned}\)

En general,\(\sin (a+b)\neq \sin a+\sin b\) y se pueden hacer declaraciones similares para las otras fórmulas de suma y diferencia.

2. \(\cos \dfrac{11 \pi}{12}\)

Para este problema, podríamos usar ya sea la fórmula del coseno de suma o diferencia,\(\dfrac{11 \pi}{12}=\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\) o\(\dfrac{11 \pi}{12}=\dfrac{7\pi}{6}−\dfrac{\pi}{4}\). Usemos la fórmula de suma.

\(\begin{aligned} \cos \dfrac{11 \pi}{12}&=\cos (\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}) \\ &=\cos \dfrac{2\pi}{3}\cos \dfrac{\pi}{4}−\sin \dfrac{2\pi}{3}\sin \dfrac{\pi}{4} \\&=−\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2}−\dfrac{\sqrt{3} }{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2} \\&=−\dfrac{\sqrt{2} +\sqrt{6}}{4} \end{aligned}\)

3. \(\tan \left(−\dfrac{\pi }{12}\right)\)

Este ángulo es la diferencia entre\(\dfrac{\pi}{4}\) y\(\dfrac{\pi}{3}\).

\(\begin{aligned} \tan (\dfrac{\pi}{4}−\dfrac{\pi}{3})&=\dfrac{\tan \dfrac{\pi}{4}−\tan \dfrac{\pi}{3}}{1+\tan \dfrac{\pi}{4}\tan \dfrac{\pi}{3}} \\ &=\dfrac{1−\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}\end{aligned}\)

Este ángulo también es el mismo que\(\dfrac{23\pi}{12}\). También podrías haber usado este valor y hecho\(\tan \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{5 \pi}{3}\right)\) y llegar a la misma respuesta.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Anteriormente, se le pidió que encontrara el valor exacto de\(\sin 165^{\circ} \) sin Usar la calculadora.

Solución

Podemos usar la fórmula de suma sinusoidal,\(\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\), donde\(a=120^{\circ} \) y\(b=45^{\circ}\).

\ (\ comenzar {alineado}
\ sin 165^ {\ circ} &=\ sin\ izquierda (120^ {\ circ} +45^ {\ circ}\ circ}\ derecha)\\
&=\ sin 120^ {\ circ}\ cos 45^ {\ circ} +\ cos 120^ {\ circ}\ sin 45^ {\ circ}\\
&=\ dfrac {\ sqsql rt {3}} {2}\ cdot\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} +\ dfrac {-1} {2}\ cdot\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\\
&=\ dfrac {\ sqrt {6} -\ sqrt {2}} {4}
\ final {alineado}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el valor exacto de\(\cos 15^{\circ} \).

Solución

\ (\ begin {alineado}
\ cos 15^ {\ circ} &=\ cos\ izquierda (45^ {\ circ} -30^ {\ circ}\ circ}\ derecha)\\
&=\ cos 45^ {\ circ}\ cos 30^ {\ circ} +\ sin 45^ {\ circ}\ sin 30^ {\ circ}\\
&=\ dfrac {\ sqrt 2}} {2}\ cdot\ dfrac {\ sqrt {3}} {2} +\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ cdot\ dfrac {1} {2}\\
& ; =\ dfrac {\ sqrt {6} +\ sqrt {2}} {4}
\ final {alineado}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra el valor exacto de\(\tan 255^{\circ} \).

Solución

\ (\ comenzar {alineado}
\ tan\ izquierda (210^ {\ circ} +45^ {\ circ}\ derecha) &=\ dfrac {\ tan 210^ {\ circ} +\ tan 45^ {\ circ}} {1-\ tan 210^ {\ circ}\ tan 45^ {\ circ}}\\
&=\ dfrac {\ dfrac\ sqrt {3}} {3} +1} {1-\ dfrac {\ sqrt {3}} {3}} =\ dfrac {\ dfrac {\ sqrt {3} +3} {3}} {\ dfrac {3-\ sqrt {3}} {3}} =\ dfrac {\ sqrt {3} +3} {3-\ sqrt { 3}}
\ final {alineado}\)

Revisar

Encuentra el valor exacto de las siguientes funciones trigonométricas.

1. \(\sin 15^{\circ}\)
2. \(\cos \dfrac{5 \pi}{12}\)
3. \(\tan 345^{\circ}\)
4. \(\cos (−255^{\circ} )\)
5. \(\sin \dfrac{13 \pi}{12}\)
6. \(\sin \dfrac{17\pi}{12}\)
7. \(\cos 15^{\circ}\)
8. \(\tan (−15^{\circ} )\)
9. \(\sin 345^{\circ}\)
10. Ahora, usa\(\sin 15^{\circ} \) de #1, y encuentra\(\sin 345^{\circ} \). ¿Llega a la misma respuesta? ¿Por qué o por qué no?
11. Usando\(\cos 15^{\circ} \) de #7, encuentra\(\cos 165^{\circ} \). ¿Cuál es otra manera que podrías encontrar\(\cos 165^{\circ} \)?
12. Describe cualquier patrón que veas entre el seno, el coseno y la tangente de estos “nuevos” ángulos.
13. Usando su calculadora, encuentre el\(\sin 142^{\circ} \). Ahora, usa la fórmula de suma y tu calculadora para encontrar el\(\sin 142^{\circ}\) Usando\(83^{\circ}\) y\(59^{\circ}\).
14. Usa la fórmula de diferencia sinusoidal para encontrar\(\sin 142^{\circ} \) con cualquiera de los dos ángulos que elijas. ¿Llega a la misma respuesta? ¿Por qué o por qué no?
15. Desafío Usando\(\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\) y\(\cos (a+b)=\cos a\cos b−\sin a\sin b\), demuestra eso\(\tan (a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1−\tan a\tan b}\).

Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 14.12.

Recursos adicionales

Video: Encontrar valores exactos de funciones trigonométricas usando fórmulas de suma y diferencia - Descripción general

Práctica: Encontrar valores trigonométricos exactos usando fórmulas de suma y diferencia