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3.3.8: Aplicaciones de fórmulas de suma y diferencia

  • Page ID
    107733
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Fórmulas de suma y diferencia de seno, coseno y tangente.

    Es muy probable que esté familiarizado con los valores de las funciones trigonométricas para una variedad de ángulos. Los ángulos como\(30^{\circ} \),\(60^{\circ} \), y\(90^{\circ} \) son comunes. No obstante, si se le pidiera encontrar el valor de una función trigonométrica para un ángulo de uso más raramente, ¿podría hacerlo? O ¿y si te pidieran encontrar el valor de una función trigonométrica para una suma de ángulos? Por ejemplo, si te pidieran que encontraras ¿\(\sin \left(\dfrac{3 \pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)\)podrías?

    Siga leyendo, y en esta sección, obtendrá práctica simplificando las funciones trigonométricas de los ángulos usando las fórmulas suma y diferencia.

    Fórmulas de suma y diferencia

    Con bastante frecuencia uno de los principales obstáculos para resolver un problema en la trigonometría es la incapacidad de transformar el problema en una forma que lo haga más fácil de resolver. Las fórmulas de suma y diferencia pueden ser muy valiosas para ayudar con esto.

    Aquí vamos a obtener algo de práctica extra poniendo a buen uso las fórmulas de suma y diferencia. Si aún no las ha revisado, es posible que desee revisar las secciones de las Fórmulas de suma y diferencia para seno, coseno y tangente.

    Resolver usando la Fórmula de Suma
    Verificar la identidad\(\dfrac{\cos (x-y)}{\sin x \sin y}=\cot x \cot y+1\)

    \ (\ begin {alineado}\ text {Verifica la identidad} &\ dfrac {\ cos (x-y)} {\ sin x\ sin y} =\ cot x\ cot y+1\
    \ cot x\ cot y+1 &=\ dfrac {\ cos (x-y)} {\ sin x\ sin y}\\
    &=\ dfrac {\ cos x\ cos y} {sin\ sin x\ sin y} +\ dfrac {\ sin x\ sin y} {\ sin x\ sin y} &&
    \ text {Expandir usando la diferencia de coseno}\\
    &=\ dfrac {\ cos x\ cos y} {\ sin x\ sin y} +1\\\ cot x\ cot y+1 &=\ cot x\ cot y+1 &&\ text {cotangente es igual a coseno sobre seno}\ end {alineado}\)

    Resolver usando la Fórmula de Diferencia

    Resolver\(3\sin (x−\pi )=3\) en el intervalo\([0,2\pi )\).

    Primero, consigue\(\sin (x−\pi )\) por sí mismo, dividiendo ambos lados por 3.

    \(\begin{aligned} \dfrac{3\sin (x−\pi )}{3}&=\dfrac{3}{3} \\ \sin (x−\pi )&=1 \end{aligned}\)

    Ahora, expanda el lado izquierdo usando la fórmula de diferencia sinusoidal.

    \(\begin{aligned} \sin x\cos \pi −\cos x\sin \pi &=1 \\ \sin x(−1)−\cos x(0)&=1 \\ −\sin x&=1 \\ \sin x&=−1 \end{aligned}\)

    El\(\sin x=−1\) cuándo\(x\) es\(\dfrac{3 \pi}{2}\).

    Resolver usando la Fórmula de Suma

    Encuentra todas las soluciones para\(2\cos^2\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=1\) en el intervalo\([0,2\pi )\).

    Obtener el\(\cos^2\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\) por sí mismo y luego tomar la raíz cuadrada.

    \ (\ begin {alineado}
    2\ cos ^ {2}\ izquierda (x+\ dfrac {\ pi} {2}\ derecha) &=1\\
    \ cos ^ {2}\ izquierda (x+\ dfrac {\ pi} {2}\ derecha) &=\ dfrac {1} {2}\
    \ cos\ izquierda (x+\ dfrac {\ pi} {2}\ derecha) &=\ sqrt {\ dfrac {1} {2}} =\ dfrac {1} {\ sqrt {2}} =\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}
    \ end {alineado}\)

    Ahora, usa la fórmula de suma coseno para expandir y resolver.

    \ (\ comenzar {alineado}
    \ cos x\ cos\ dfrac {\ pi} {2} -\ sin x\ sin\ dfrac {\ pi} {2} &=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\
    \ cos x (0) -\ sin x (1) &=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\\
    - sin x &=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\
    \ sin x &=-\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}
    \ end {alineado}\)

    El\(\sin x=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) está en los Cuadrantes III y IV, entonces\(x=\dfrac{5 \pi}{4}\text{ and } \dfrac{7 \pi}{4}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Anteriormente, se le pidió que encontrara\(\sin \left(\dfrac{3 \pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)\), use la fórmula de suma sinusoidal:

    Solución

    \ (\ comenzar {alineado}
    \ sin (a+b) &=\ sin (a)\ cos (b) +\ cos (a)\ sin (b)\
    \ sin\ izquierda (\ dfrac {3\ pi} {2} +\ dfrac {\ pi} {4}\ derecha) &=\ sin\ izquierda (\ dfrac {3\ pi} {2}\ derecha)\ veces\ cos\ izquierda (\ dfrac {\ pi} {4}\ derecha) +\ cos\ izquierda (\ dfrac {3\ pi} {2}\ derecha)\ veces\ sin\ izquierda (\ dfrac {\ pi} {4}\ derecha)\\
    &= (-1)\ izquierda (\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ derecha) + (0)\ izquierda (\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ derecha)\\
    &=-\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}
    \ end {alineado}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra todas las soluciones para\(2\cos ^2 \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=1\), cuando\(x\) es entre\([0,2\pi )\).

    Solución

    Para encontrar todas las soluciones, entre\([0,2\pi )\), necesitamos expandirnos usando la fórmula de suma y aislar el\(\cos x\).

    \ (\ begin {alineado}
    2\ cos ^ {2}\ izquierda (x+\ dfrac {\ pi} {2}\ derecha) &=1\\
    \ cos ^ {2}\ izquierda (x+\ dfrac {\ pi} {2}\ derecha) &=\ dfrac {1} {2}\
    \ cos\ izquierda (x+\ dfrac {\ pi} {2}\ derecha) &=\ pm\ sqrt {\ dfrac {1} {2}} =\ pm\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\
    \ cos x\ cos\ dfrac {\ pi} {2} -\ sin x\ sin\ dfrac {\ pi} {2} &=\ pm\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\
    \ cos x\ cdot 0-\ sin x\ cdot 1 &=\ pm\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} {2}\
    -\ sin x &=\ pm\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\
    \ sin x &=\ pm\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}
    \ final {alineado}\)

    Esto es cierto cuando\(x=\dfrac{\pi}{4},\; \dfrac{3 \pi}{4},\; \dfrac{5\pi}{4},\; \text{ or } \dfrac{7 \pi}{4}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Resolver para todos los valores de\(x\) entre\([0,2\pi )\) para\(2\tan^2 \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)+1=7\).

    Solución

    Primero, resolver para\(\tan \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\).

    \(\begin{aligned} 2\tan^2 \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)+1=7 \\ 2\tan^2 \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=6 \\ \tan^2 \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=3 \\ \tan \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\pm \sqrt{3} \end{aligned}\)

    Ahora, usa la fórmula de suma tangente para expandir para cuando\ tan (x+\ dfrac {\ pi} {6}) =\ sqrt {3}.

    \ (\ begin {alineado}
    \ dfrac {\ tan x+\ tan\ dfrac {\ pi} {6}} {1-\ tan x\ tan\ dfrac {\ pi} {6}} &=\ sqrt {3}\
    \ tan x+\ tan\ dfrac {\ pi} {6} &=\ sqrt {3}\ izquierda (1-\ tan x\ bronceado\ dfrac {\ pi} {6}\ derecha)\\
    \ bronceado x+\ dfrac {\ sqrt {3}} {3} &=\ sqrt {3} -\ sqrt {3}\ tan x\ cdot\ dfrac {\ sqrt {3}} {3} }\\
    \ tan x+\ dfrac {\ sqrt {3}} {3} &=\ sqrt {3} -\ tan x\\
    2\ tan x &=\ dfrac {2\ sqrt {3}} {3} {3}
    \\ tan x &=\ dfrac {\ sqrt {3}} {3}
    \ end {alineado}\)

    Esto es cierto cuando\(x=\dfrac{\pi}{6}\) o\(\dfrac{7 \pi}{6}\).

    Si la fórmula de suma tangente se expande para cuando\(\tan (x+\dfrac{\pi}{6})=−\sqrt{3}\), no obtenemos ninguna solución como se muestra.

    \ (\ begin {alineado}
    \ dfrac {\ tan x+\ tan\ dfrac {\ pi} {6}} {1-\ tan x\ tan\ dfrac {\ pi} {6}} &=-\ sqrt {3}\
    \ tan x+\ tan\ dfrac {\ pi} {6} &=-\ sqrt {3}\ izquierda (1- bronceado\ x\ tan\ dfrac {\ pi} {6}\ derecha)\\
    \ tan x+\ dfrac {\ sqrt {3}} {3} &=-\ sqrt {3} +\ sqrt {3}\ tan x\ cdot\ dfrac {\ sqrt {3} } {3}\\
    \ tan x+\ dfrac {\ sqrt {3}} {3} &=-\ sqrt {3} +\ tan x\\
    \ dfrac {\ sqrt {3}} {3} &=-\ sqrt {3}
    \ end {alineado}\)

    Por lo tanto, la fórmula de suma tangente no se puede utilizar en este caso. No obstante, ya que sabemos que\(\tan (x+\dfrac{\pi}{6})=−\sqrt{3}\) cuando\(x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5 \pi}{6}\) o\(\dfrac{11 \pi}{6}\), podemos resolver para\(x\) lo siguiente.

    \(\begin{aligned} x+\dfrac{\pi}{6}&=5\dfrac{\pi}{6} \\ x&=\dfrac{4 \pi}{6} \\ x&=\dfrac{2 \pi}{3} \end{aligned}\)

    \(\begin{aligned} x+\dfrac{\pi}{6}&=\dfrac{11 \pi}{6}\\x&=10\dfrac{\pi}{6} \\ x&=\dfrac{5 \pi}{3} \end{aligned}\)

    Por lo tanto, todas las soluciones son\(x=\dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{2 \pi}{3},\; \dfrac{7 \pi}{6},\; \dfrac{5 \pi}{3}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Encuentre todas las soluciones para\(\sin \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin \left(x−\dfrac{\pi}{4}\right)\), cuando x está entre\([0,2\pi )\).

    Solución

    Para resolver, expanda cada lado:

    \(\begin{aligned} \sin \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)&=\sin x\cos \dfrac{\pi}{6}+\cos x\sin \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\dfrac{1}{2}\cos x \\ \sin \left(x−\dfrac{\pi}{4}\right) &=\sin x\cos \dfrac{\pi}{4}−\cos x\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x\end{aligned}\)

    Establezca los dos lados iguales entre sí:

    \ (\ comenzar {alineado}
    \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}\ sin x+\ dfrac {1} {2}\ cos x &=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ sin x-\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ cos x\
    \ sqrt {3}\ sin x+\ cos &x =\ sqrt {2}\ sin x-\ sqrt {2}\ cos x\
    \ sqrt {3}\ sin x-\ sqrt {2}\ sin x &=-\ cos x-\ sqrt {2}\ cos x\\
    \ sin x (\ sqrt {3} -\ sqrt {2}) &=\ cos x (-1-\ sqrt {2})\
    \ dfrac {\ sin x} {\ cos x} &=\ dfrac {-1-\ sqrt {2}} {\ sqrt {3} -\ sqrt {2}}\\ tan
    \ x &=\ dfrac {-1-\ sqrt {2}} {\ sqrt {3} -\ sqrt {2}}\ cdot\ dfrac {\ sqrt {3} +\ sqrt {2}} {\ sqrt {3} +\ sqrt {2}}\\
    &=\ dfrac {-\ sqrt {3} -\ sqrt {2} + \ sqrt {6} -2} {3-2}\\
    &=-2+\ sqrt {6} -\ sqrt {3} -\ sqrt {2}
    \ end {alineado}\)

    Como decimal, esto es\(−2.69677\), así\(\tan ^{−1}(−2.69677)=x\),\(x=290.35^{\circ} \) y\(110.35^{\circ} \).

    Revisar

    Demostrar cada identidad.

    1. \(\cos (3x)+\cos (x)=2\cos (2x)\cos (x)\)
    2. \(\cos (3x)=\cos 3(x)−3\sin 2(x)\cos (x)\)
    3. \(\sin (3x)=3\cos 2(x)\sin (x)−\sin 3(x)\)
    4. \(\sin (4x)+\sin (2x)=2\sin (3x)\cos (x)\)
    5. \(\tan (5x)\tan (3x)=\dfrac{\tan^2 (4x)−\tan^2 (x)}{1−\tan^2 (4x)\tan^2 (x)}\)
    6. \(\cos \left(\left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)−y \right)=\sin (x+y)\)

    Usa fórmulas de suma y diferencia para ayudarte a graficar cada función.

    1. \(y=\cos (3)\cos (x)+\sin (3)\sin (x)\)
    2. \(y=\cos (x)\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right)+\sin (x)\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)\)
    3. \(y=\sin (x)\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos (x)\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)\)
    4. \(y=\sin (x)\cos \left(\dfrac{3 \pi}{2}\right)−\cos (3)\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)\)
    5. \(y=\cos (4x)\cos (2x)−\sin (4x)\sin (2x)\)
    6. \(y=\cos (x)\cos (x)−\sin (x)\sin (x)\)

    Resuelve cada ecuación en el intervalo\([0,2\pi )\).

    1. \(2\sin \left(x−\dfrac{\pi}{2} \right)=1\)
    2. \(4\cos (x−\pi )=4\)
    3. \(2\sin (x−\pi )=\sqrt{2}\)

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.9.

    El vocabulario

    Término Definición
    Fórmula de diferencia Existen fórmulas de diferencia de función trigonométrica para cada una de las funciones trigonométricas primarias. Por ejemplo, la fórmula de diferencia de coseno es\(\cos (A−B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B\).
    Fórmula de suma Una fórmula de suma es una fórmula para ayudar a simplificar una función trigonométrica de la suma de dos ángulos, como\ sin (a+b).

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